Методика изучения числовых равенств и неравенств

Работа над неравенствами ведется с I класса, органически сочетаясь с изучением арифметического материала. Программа по математике для I-III классов ставит задачу выполнять сравнение чисел, а также сравнение выражений с целью установления отношений "больше", "меньше", "равно"; научить записывать результаты сравнения с помощью знаков и читать полученные неравенства.

Числовые неравенства учащиеся получают в результате сравнения заданных чисел или арифметических выражений

Однако в процессе работы над уравнениями, выражениями и неравенствами с переменной учащиеся, подставляя различные значения переменной, накапливают наблюдения и убеждаются в том, что равенства и неравенства бывают как верные, так и неверные. Такой подход к раскрытию понятий определяет соответствующую методику работы над равенствами, неравенствами.

Ознакомление с неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации и арифметических действий.

Сравнение осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, как известно, с помощью установления взаимно однозначного соответствия.

После знакомства с названиями выражений учащиеся читают равенства и неравенства так: сумма чисел 5 и 3 больше, чем число 5; число 2 меньше, чем разность чисел 7 и 4, и т.п.

Опираясь на операции над множествами и сравнение множеств, учащиеся практически усваивают важнейшие свойства равенств и неравенств (если а>b, то b<а).

Дети видят, что если кружков и треугольников поровну (рис.1), то можно сказать, что Кружков столько, сколько треугольников (3+2=5), а также треугольников столько, сколько кружков (5=3+2). Если же Предметов не поровну (рис.2), то одних - больше (3 + 1>3), а других меньше (3<3 + 1).

Таким образом, при изучении всех концентров упражнения на сравнение чисел и выражений, с одной стороны, способствуют формированию понятий о равенствах я неравенствах, а с другой стороны, усвоению знаний о нумерация и арифметических действиях, а также выработке вычислительных навыков.

Неравенства с переменной вида: х+3<7, 10-х>5, х-4>12, 72: х<36 вводятся во II классе. Заранее ведется соответствующая подготовительная работа: включаются упражнения, в которых переменная обозначается не буквой, а "окошечком" (квадратом), например: □ >0, 6+4> □, 7+ □ <10 и т.д. Рассматривая во II классе, например, неравенство х+3<10, учащиеся путем подбора находят, при каких значениях буквы х значение суммы х+3 меньше, чем 10. В каждом таком задании дается множество чисел - значений переменной. Ученики подставляют значения буквы в выражение, вычисляют значение выражения и сравнивают его с заданным числом. В результате такой работы выбирают значения переменной, при которых данное неравенство является верным.

Термины "решить неравенство", "решение неравенства" не вводятся в начальных классах, поскольку во многих случаях ограничиваются подбором только нескольких значений переменной, при которых получается верное неравенство.

Позднее в упражнениях с неравенствами значения переменной не даются, учащиеся сами подбирают их. Такие упражнения, как правило, выполняются под руководством учителя.

Можно ознакомить детей с таким приемом подбора значений переменной в неравенстве. Пусть дано неравенство 7×k<70. Сначала устанавливают, при каком значении k данное произведение равно 70 (при k=10). Чтобы произведение было меньше, чем 70, следует множитель брать меньше, чем 10. Учащиеся выполняют подстановку чисел 9, 8 и т.д. до нуля, вычисляют и сравнивают полученные значения выражения с заданным (70) и называют ответ.

14. Использование индуктивных рассуждений и аналогии в начальном обучении математике. Примеры дедуктивных умозаключений из начального курса математики.
Аналогией называют умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта. Заметим, что в этом определении термин «объект» используется в широком смысле: им может быть реальный предмет, модель, рисунок, числовое или буквенное выражение, задача и т. д. В качестве признаков могут выступать свойства объектов, отношения между ними, способы деятельности и т. д. Аналогия помогает открывать новые знания, а также использовать усвоенные способы деятельности в измененных условиях. Вывод по аналогии носит характер предположения (гипотезы) и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении. Например, ученик установил, что число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. Затем, действуя по аналогии, сделал вывод: число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4. Чтобы убедиться в ложности полученного вывода, достаточно привести контрпример: число 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8. Широко используется аналогия в обучении математике младших школьников. Это происходит при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними. Приведем несколько примеров. Аналогию можно использовать для «открытия» новых свойств изучаемых объектов. Например, если установлено, что в классе единиц три разряда – единицы, десятки, сотни, а в классе тысяч также три разряда – единица тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч, то вывод о числе разрядов в классе миллионов и их названии дети могут сделать самостоятельно, по аналогии.

-Аналогия может быть использована для установления отношений между данными объектами. Например, учащиеся установили, что 4 × (3 + 7) > 4 × 3 + 4 × 6, так как 4 × (3 + 7) = = 4 × 3 + 4 × 7, а 4 × 7 > 4 × 6. Рассматривая затем выражения 3 × (8 + 9) и 3 × 8 + 3 × 7, учащиеся могут по аналогии сделать вывод о том, что 3 × (8 + 9) > 3 × 8 + 3 × 7. Проверить его правильность можно либо путем рассуждений, аналогичных тем, что проводились при выполнении первого задания, либо с помощью вычислений.

-Аналогия может быть использована и для выводов о способе действия на основе изучения другого способа. Так, после рассмотрения способа умножения двузначного числа на однозначное на примере умножения 27 на 3 (27 × 3 = (20 + 7) × 3 = 20 × 3 + 7 × 3 = 81) детям предлагается умножить 721 на 4. Действуя по аналогии, они устанавливают, что 712 × 4 = (700 + 10 + 2) × 4 = 2800 + 40 + 8 = 2848. Далее по аналогии устанавливают, как умножить 6288 на 3.

Следующим шагом может быть обобщение, т. е. получение правила умножения многозначного числа на однозначное, т. е. использование неполной индукции.

Дедуктивные рассуждения (умозаключения) с большей или меньшей строгостью следует использовать при изучении начального курса математики, т. к. именно они воспитывают строгость, четкость, лаконичность мышления. Особенность дедуктивных рассуждений заключается в их тесной связи с индуктивными. А так же – то, что в нач. кл. они применяются в неявном виде, т. е. общая и частная посылка в большинстве случаев не проговариваются, уч-ки сразу приступают к действию, которое соответствует заключению. Для сознательного проведения дед. рассуж. необходима большая подготовительная работа, направленная на сознательное усвоение общего вывода, свойства, закономерности. Этого требуют особенности мышления мл шк., которое отличается конкретностью. Но сознательное усвоение общего вывода позволяет пользоваться дедуктивным рассуждением.

При решении простых задач на разностное сравнение имеет смысл уже обращаться к дедуктивным рассуждениям, используя наглядность только на этапе проверки решения задачи. Например: «У Коли было 6 марок, у Пети 2 марки. На сколько марок больше у Коли, чем у Пети?» Рассуждения уч-ся: «Чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньше (общая посылка). Умозаключение: значит, нужно из марок Коли вычесть марки Пети».

Для сознательного выполнения дедуктивных умозаключений необходима большая подготовительная работа, направленная на усвоение вывода, закономерности, свойства в общем виде, связанная с развитием математической речи учащихся. Например, довольно длительная работа по усвоению принципа построения натурального ряда чисел позволяет учащимся овладеть правилом: «Если к любому числу прибавить 1, то получим следующее за ним число; если из любого числа вычтем 1, то получим предшествующее ему число». Составляя таблицы + 1 и – 1, ученик фактически пользуется этим правилом как общей посылкой, выполняя тем самым дедуктивные рассуждения. Примером дедуктивных умозаключений в начальном обучении математике является и такое рассуждение: «4<5 потому, что 4 при счете называется раньше, чем 5». В данном случае общая посылка: если одно число называется при счете раньше другого, то это число меньше; частная посылка: 4 при счете называют раньше, чем 5; заключение: 4<5.

Дедуктивные рассуждения имеют место в начальном курсе математики и при вычислении значений выражений. В качестве общей посылки выступают правила порядка выполнения действий в выражениях, в качестве частной посылки – конкретное числовое выражение, при нахождении значения которого учащиеся руководствуются правилом порядка выполнения действий.

Анализ школьной практики позволяет сделать вывод о том, что для формирования у школьников умений рассуждать не всегда используются все методические возможности. Например, при выполнении задания:

Сравни выражения, поставив знак <, > или =, чтобы получилась верная запись: 6+3 ... 6+26+4 ... 4+6 учащиеся предпочитают заменять рассуждения вычислениями: «6+2 < 6+3, потому что 8<9». Этим ответ ограничивается, так как суждение «8<9» чаще всего не обосновывается. Хотя при выполнении данного задания они могли бы сравнить слагаемые в суммах и сделать умозаключение о том, какой следует поставить знак, не прибегая при этом к вычислениям. Интересный опыт работы по формированию умения рассуждать отражен в опыте работы учителя В.П. Леховой. Она предлагала детям два листа, на одном из которых были написаны общие посылки, на другом – частные. Нужно установить, какой общей посылке соответствует каждая частная. Ученикам дается инструкция: «Вы должны выполнить каждое задание на листе 2, не прибегая к вычислениям, а лишь воспользовавшись одним из правил, записанных на листе 1».

Примерные задания для детей: 1. Если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, не изменяя при этом вычитаемого, то разность увеличится на столько же единиц.

2. Если делитель уменьшить в несколько раз, не изменяя при этом делимого, то частное увеличится во столько же раз.

3. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, не изменяя при этом другое, то сумма увеличится на столько же единиц.

4. Если каждое слагаемое делится на данное число, то сумма тоже разделится на это число.

5. Если из данного числа вычесть предшествующее ему число, то получим 1.