Система уравнений движения

Углы, определяющие положение летательного аппарата относительно вектора скорости

Угол атаки α - угол между связанной осью и проекцией вектора скорости на плоскость симметрии ЛА.

Угол скольжения β - угол между вектором скорости и плоскостью симметрии ЛА. Знаки углов атаки и скольжения определены на рис. 4.

Углы, определяющие положение летательного аппарата относительно Земли

По определению нормальной и связанной систем координат положение ЛА относительно Земли определяется углами между осями связанной и нормальной системы координат.

Угол тангажа υ–угол между связанной осью и горизонтальной плоскостью ;

Угол рыскания ψ –угол между осью и проекцией связанной оси на горизонтальную плоскость ;

Угол крена γ – угол между связанной осью и осью смещенной в положение, соответствующее нулевому углу рыскания.

Знаки углов определены на рис. 3.

Воздушная скорость летательного аппарата – скорость центра масс (начала О связанной системы координат) относительно воздушной среды, не возмущенной летательным аппаратом.

Земная скорость летательного аппарата – скорость центра масс (начала О связанной системы координат) относительно выбранной земной системы координат.

Путевая скорость летательного аппарата – проекция земной скорости летательного аппарата на горизонтальную плоскость.

Траекторные углы

Угол пути ψ – угол между осью и путевой скоростью летательного аппарата (рис.5)

В продольном движении центра масс на самолет как на любое тело, действуют четыре силы, условно приложенные в центре масс. Эти силы фактически являются суммой сил, действующих на различные элементы самолета.

1. Сила тяжести (земная система координат)

2. Подъемная сила (скоростная с-ма координат)

3. Сила сопротивления (скорост. с-ма координат)

4. Сила тяги двигателей (связанная система)

- режим работы двигателей.

Система уравнений движения

Уравнения движения записываются в проекциях на скоростную систему координат

Поскольку , равно центростремительному ускорению

- мал, - мал, то уравнения (1), (2) можно переписать в виде:

Для определения ЛТХ нужно добавить переход от скоростной системы к земной, а также отдельное уравнение для расхода топлива.

Получим систему из дифференциальных уравнений (опуская индекс «а», т.е. , ):

- секундный расход топлива двигателя, задается в виде:

,

- данные моторного завода.

Из решения уравнений (1)-(6) можно найти показатели ЛТХ: .

Эти уравнения решаются, как правило, методами численного интегрирования, для чего необходимо записать еще ряд аналитических и графических зависимостей:

- стандартная атмосфера
- стандартная атмосфера, скорость звука

8А

Система уравнений (1) – (13) содержит 15 неизвестных, т.е. две неизвестных должны быть заданы и называются управлениями. Для типового профиля полета задаются:

1)

Взлет: , .

2) Набор высоты: , .

3) Крейсерский полет: а.) , ,

б.) , .

4) Снижение (планирование): , .

5) Заход на посадку: , .

На предварительных этапах проектирования система уравнений (1) – (13) обычно решается приближенными методами. Для этого вводятся допущения для режимов 2, 3, 4: , . Параметры скорость и угол наклона траектории меняются медленно для транспортных магистральных самолетов. Кроме того, в ряде случаев можно считать, что угол мал, т.е. , .

3. Расчет летно-технических характеристик (ЛТХ)

Расчет основных ЛТХ включает:

- определение эксплуатационной области высот и скоростей полета: максимальной и минимальной скорости, практического потолка;

- расчет расхода топлива, времени и дальности полета на участках набора крейсерской высоты 2, снижения 4, крейсерского полета 3, в том числе расхода топлива на взлет 1, предпосадочный круг и посадку 5. (рис. - типовой профиль полета);

- определение общей практической дальности и продолжительности полета.

Типовой профиль полета

Часто уравнения (1) и (2) преобразуют:

- продольная перегрузка,

- поперечная перегрузка.

Тогда получим уравнения движения, выраженные через перегрузки:

Остальные уравнения (3)-(13) остаются в том же виде.

Упрощение уравнений (1) и (2)

11А

Т.к. ,	уравнение описывает набор высоты с постоянной скоростью

Умножим обе части уравнения (1) на :

В уравнении величина по внешнему виду соответствует в уравнении , однако в уравнении описывает вертикальную скорость набора высоты в общем виде (при ). В уравнении величина

описывает «фиктивную» вертикальную скорость набора высоты (ее называют также избыточной удельной мощностью) упрощение приводит уравнение к виду или

( , полет горизонтальный).

Это условие соответствует «квази»-горизонтальному полету с постоянной скоростью (т.к. ).

Таким образом, для участков профиля полета 2 – набор высоты, 3 – крейсерский полет 4 – снижение для расчетов параметров можно принять упрощенные уравнения и , если объектами являются достаточно большие, медленно маневрирующие транспортные самолеты, у которых и .

И уравнения (1) и (2) из дифференциальных превращаются в алгебраические

или
или

Остальные уравнения остаются в прежнем виде.

Первым этапом расчетов является построение совмещенных графиков потребных тяг (сопротивления самолета) и располагаемых тяг силовой установки. В уравнении ,

где - располагаемая тяга двигателя,

- тяга, потребная для горизонтального полета.

Исходные данные (для среднемагистрального с-та):

Масса	т
Высота	км
Скорость звука	(м/c)
Плотность	(кг/м3)
Площадь крыла	м2

3.1. Определение эксплуатационной области полета

Для расчетов используется метод совмещения располагаемых тяг двигателя на номинальном, максимальном бесфорсажном или форсажном режиме и тяг, потребных для горизонтального полета (метод тяг Н.Е. Жуковского).

Тяги, потребные для горизонтального полета рассчитываются в зависимости от числа для ряда значений высот и среднего полетного веса или для ряда значений веса .

,

где:

	- взлетный вес
	- вес топлива

Например, для дозвукового пассажирского самолета могут быть взяты высоты (или другие).

Расчет производится по упрощенному методу тяг [1].

Тяга, потребная для горизонтального полета:

,

где:

- скоростной напор (или );

- площадь крыла;

- определяется по поляре для соответствующего числа для значений , определяемых формулой

или .

Результаты расчетов сводятся в таблицу №1

		0,3	0,5	0,7	0,9	Примечание
		0,09	0,25	0,49	0,81
						Скоростной напор
	(в поляре)
						- скорость звука

15A

По данным таблицы №1 строится график

На этот же график наносится располагаемая тяга силовой установки с учетом потерь, определенная в соответствии ВСХ для (см. рис. ) на заданном режиме работы двигателя ( ).

Аналогичные таблицы и графики строятся для других значений высоты полета при той же величине выбранного веса . Затем расчеты повторяются для других весов.

Точки пересечения линий и . Определят на каждой высоте максимальную скорость, т.е. правую границу области полета.

Левая граница области полета определяется значениями минимальных скоростей (чисел ), которые для каждой из заданных высот определяются по формуле:

,

где:

- скорость звука на заданной высоте;

- заданный вес;

- по рис. ;

- коэффициент безопасности (по нормам).

Диаграммы потребных и располагаемых тяг (рис.2) используются также для расчета скоростей установившегося набора высоты (или удельной избыточной мощности):

По графикам , рис. 4 для каждой из заданных высот определяются точки , соответствующие максимальной скороподъемности, с помощью которых находится практический потолок (рис. ), ограничивающий эксплуатационную область полета сверху, (рис. ), а также соответствующая величина скорости полета .

	Определение практического потолка
		дозв. сверхзв.

Внутри области полета с некоторым (нормированным) запасом от её границ намечаются оптимальные траектории набора высоты, крейсерского полета, снижения. Одна из возможных программ (траекторий) набора высоты может быть найдена на рис. 4 – это точки , соответствующие на каждой высоте , т.е. режим максимальной скороподъемности. Он больше характерен для истребителей-перехватчиков. Для транспортных самолетов могут быть другие программы набора высоты, например, .

Для примера остановимся на программе (рис .4) .

Как же летчик реализует эту траекторию (помним, что режим двигателя при наборе высоты задан .

Практика показывает, что любые траектории в координатах или близки к тем или иным постоянным значениям скоростного напора , которому можно условно приписать некоторую величину приборной скорости , (как известно из курса аэродинамики, скорость потока замеряется скоростной трубкой именно по величине ), величина есть у летчика на приборе и ее достаточно просто поддерживать заданной (постоянной) управляя самолетом:

- самолет отклонился вверх – отдать штурвал «от себя»

- самолет отклонился вниз – тянуть «на себя»

- рычаг управления двигателем (РУД) не трогать!

Аналогично задается программа снижения и управление по ней.

(рис.7).

Можно включить автопилот.

На область полета (рис. ) наносятся также ограничения по прочности (максимальный скоростной напор ), траектория набора высоты , соответствующая оптимальному режиму, в частности (рис. ), траектория снижения и другие ограничения (например, - формула стр. ).