Похідна оберненої функції

Означення похідної

Нехай на проміжку (a, b) визначена деяка функція y = f (x) . Візьмемо будь–яке значення x з цього проміжку і надамо йому приросту Похідна оберненої функції - student2.ru . Різницю

Похідна оберненої функції - student2.ru

називають приростом функції в точці x . Приріст аргументу Похідна оберненої функції - student2.ru може набувати як додатних , так і від’ємних значень, але так, що значення Похідна оберненої функції - student2.ru не виходить за межі області визначення функції f (x) .

Похідною функції y = f (x) в точці x називають границю (якщо вона існує) відношення приросту функції Похідна оберненої функції - student2.ru до приросту аргументу Похідна оберненої функції - student2.ru ,коли останній прямує до нуля, тобто

Похідна оберненої функції - student2.ru

Функцію, яка має скінчену похідну в точці x , називають диференційовною в цій точці. Обчислення похідної називають диференціюванням.

Позначення похідної: y' (x) , f ' (x) ( за Лагранжем) або Похідна оберненої функції - student2.ru (за Лейбніцем).

З означення похідної випливає, що похідна y' (x) в точці x є числом. Але якщо таке число існує для кожної внутрішньої точки проміжку (a, b) , то похідну можна розглядати як функцію точки x з даного проміжку.

Похідна оберненої функції - student2.ru

Запам’ятайте!

- Похідна функції у = x дорівнює одиниці;

- Похідна степеневої функції дорівнює показнику степеня, помноженому на основу в степені, на одиницю меншу; (похідна функції у = xn дорівнює добутку n і xn-1);

- Похідна функції у = 1/x дорівнює одиниці, поділеній на х2, узятій зі знаком мінус;

- Похідна функції у = √x для додатних х дорівнює 1/(2√x);

- Похідна функції синус х дорівнює косинусу х;

- Похідна функції косинус х дорівнює синусу х, взятому зі знаком мінус;

- Похідна функції тангенс х на її області визначення дорівнює одиниці, поділеній на квадрат косинуса х;

- Похідна функції котангенс х на її області визначення дорівнює одиниці, поділеній на квадрат синуса х, взятій зі знаком мінус;

- Похідна показникової функції у = ах дорівнює цій функції, помноженій на натуральний логарифм основи ах∙ ln а;

- Похідна функції у = ех дорівнює самій функції, тобто ех;

- Похідна логарифмічної функції у = logax на її області визначення дорівнює 1/(х∙ ln а);

- Похідна функції у = ln x на її області визначення дорівнює одинці, поділеній на х .

Можна визначити похідні вищих порядків. Похідною n-го порядку (n-ною похідною) називається похідна від похідної (п – 1) порядку.

Похідна оберненої функції - student2.ru

Похідна оберненої функції - student2.ru

Похідна оберненої функції.

Теорема .

Нехай функція Похідна оберненої функції - student2.ru строго монотонна і неперервна на відрізку [a;b] . Якщо в точці Похідна оберненої функції - student2.ru існує похідна Похідна оберненої функції - student2.ru , то обернена функція Похідна оберненої функції - student2.ru в точці Похідна оберненої функції - student2.ru має похідну, причому

Похідна оберненої функції - student2.ru

Доведення.

Обернена функція Похідна оберненої функції - student2.ru визначена строго монотонна і неперервна на деякому проміжку [A;B ] . Оскільки Похідна оберненої функції - student2.ru то, Похідна оберненої функції - student2.ru тоді Похідна оберненої функції - student2.ru неперервна в точці y ,причому Похідна оберненої функції - student2.ru внаслідок строгої монотонності.

Отримаємо

Похідна оберненої функції - student2.ru

Перейдемо в цій рівності до границі

Похідна оберненої функції - student2.ru

Для того щоб знайти похідну неявної функції y від x,визначеної рівнянням F(x,y) = 0 слід продеференціювати ліву і праву частини цього рівняння,розглядаючи yяк фунцію від x,і розв’язати одержаний вираз Похідна оберненої функції - student2.ru = 0 відносно y.

Якщо функцію задано параметричними рівняннями x=x(t), y=y(t),то її Похідна оберненої функції - student2.ru знаходимо за формулою:

Похідна оберненої функції - student2.ru = Похідна оберненої функції - student2.ru

Якщо функція у=f(x) має в точці х похідну у Похідна оберненої функції - student2.ru то

Похідна оберненої функції - student2.ru

Звідси Похідна оберненої функції - student2.ru = Похідна оберненої функції - student2.ru

Головну частину приросту ф-ції,лінійну відносно приросту аргументу Похідна оберненої функції - student2.ru ,називають диференціалом цієї функції і позначають dy,df(x)^

dy = Похідна оберненої функції - student2.ru Похідна оберненої функції - student2.ru або dy = Похідна оберненої функції - student2.ru

Має місце наближена формула Похідна оберненої функції - student2.ru Похідна оберненої функції - student2.ru або f( Похідна оберненої функції - student2.ru яку застосовують для наближеного обчислення значень функції.

Наши рекомендации