Похідна оберненої функції
Означення похідної
Нехай на проміжку (a, b) визначена деяка функція y = f (x) . Візьмемо будь–яке значення x з цього проміжку і надамо йому приросту . Різницю
називають приростом функції в точці x . Приріст аргументу може набувати як додатних , так і від’ємних значень, але так, що значення не виходить за межі області визначення функції f (x) .
Похідною функції y = f (x) в точці x називають границю (якщо вона існує) відношення приросту функції до приросту аргументу ,коли останній прямує до нуля, тобто
Функцію, яка має скінчену похідну в точці x , називають диференційовною в цій точці. Обчислення похідної називають диференціюванням.
Позначення похідної: y' (x) , f ' (x) ( за Лагранжем) або (за Лейбніцем).
З означення похідної випливає, що похідна y' (x) в точці x є числом. Але якщо таке число існує для кожної внутрішньої точки проміжку (a, b) , то похідну можна розглядати як функцію точки x з даного проміжку.
Запам’ятайте!
- Похідна функції у = x дорівнює одиниці;
- Похідна степеневої функції дорівнює показнику степеня, помноженому на основу в степені, на одиницю меншу; (похідна функції у = xn дорівнює добутку n і xn-1);
- Похідна функції у = 1/x дорівнює одиниці, поділеній на х2, узятій зі знаком мінус;
- Похідна функції у = √x для додатних х дорівнює 1/(2√x);
- Похідна функції синус х дорівнює косинусу х;
- Похідна функції косинус х дорівнює синусу х, взятому зі знаком мінус;
- Похідна функції тангенс х на її області визначення дорівнює одиниці, поділеній на квадрат косинуса х;
- Похідна функції котангенс х на її області визначення дорівнює одиниці, поділеній на квадрат синуса х, взятій зі знаком мінус;
- Похідна показникової функції у = ах дорівнює цій функції, помноженій на натуральний логарифм основи ах∙ ln а;
- Похідна функції у = ех дорівнює самій функції, тобто ех;
- Похідна логарифмічної функції у = logax на її області визначення дорівнює 1/(х∙ ln а);
- Похідна функції у = ln x на її області визначення дорівнює одинці, поділеній на х .
Можна визначити похідні вищих порядків. Похідною n-го порядку (n-ною похідною) називається похідна від похідної (п – 1) порядку.
Похідна оберненої функції.
Теорема .
Нехай функція строго монотонна і неперервна на відрізку [a;b] . Якщо в точці існує похідна , то обернена функція в точці має похідну, причому
Доведення.
Обернена функція визначена строго монотонна і неперервна на деякому проміжку [A;B ] . Оскільки то, тоді неперервна в точці y ,причому внаслідок строгої монотонності.
Отримаємо
Перейдемо в цій рівності до границі
Для того щоб знайти похідну неявної функції y від x,визначеної рівнянням F(x,y) = 0 слід продеференціювати ліву і праву частини цього рівняння,розглядаючи yяк фунцію від x,і розв’язати одержаний вираз = 0 відносно y.
Якщо функцію задано параметричними рівняннями x=x(t), y=y(t),то її знаходимо за формулою:
=
Якщо функція у=f(x) має в точці х похідну у то
Звідси =
Головну частину приросту ф-ції,лінійну відносно приросту аргументу ,називають диференціалом цієї функції і позначають dy,df(x)^
dy = або dy =
Має місце наближена формула або f( яку застосовують для наближеного обчислення значень функції.