Суть прямої та оберненої геодезичних задач

Прямою геодезичною задачею на площині називається спосіб визначення координат точки по відомих прямокутних координатах заданої (вихідної) точки, відстані між ними і дирекційному куту з заданої точки на визначаєму.

На рис.9 ОХ і ОY – координатні осі з початком координат у точці О. через точки А і В проведемо лінії, які паралельні осям координат. Точку пересічення лінії, що паралельна осі абсцис, і проходить через точку А, і лінії, яка паралельна осі ординат, і проходить через точку В, позначимо С.

Рисунок 9 - Пряма і зворотна геодезична задачі на площині

На рис.9 показані відомі координати точки А (х_А і у_А) і координати точки В (х_В і у_В), що визначаються. Проекції прямої АВ на осі координат позначимо відповідно ∆х і ∆у. Ці проекції є катетами прямокутного трикутника АСВ. Катет АС = х_В - х_А. Катет СВ = у_В - у_А.

Величини ∆х і ∆у називають прирощеннями координат, тоді

x_B = x_A + Dх;

y_B = y_A + Dy.

Із прямокутного трикутника АСВ находимо прирощення координат по величині гіпотенузи АВ і гострому куту (АВ):

Dх = АВ cos (АВ);

Dy = АВ sin (АВ).

Склавши алгебраїчно прирощення координат з координатами точки А, отримаємо координати точки В:

x_B = x_A+ АВ cos (АВ);

y_B = y_A+ АВ sin (АВ).

Приведені формули є математичним виразом прямої геодезичної задачі.

Пряма геодезична задача на площині може бути вирішена у тому випадку, коли дирекційний кут (АВ₁) (рис.10) розташований у першій чверті, тобто має значення від 0 до 90⁰. Залежно від розташування точки, що визначається, відносно заданої напрямок між ними може перебувати у різних чвертях кола. Для рішення прямої геодезичної задачі у другій, третій і четвертій чвертях необхідно від дирекційного куту напрямку перейти до значення гострого куту у першій чверті α’.

Правило приведення заданого дирекційного кута до гострого кута у залежності від координатної чверті видно на рис.10.

Рисунок 10 - Приведення дирекційних кутів до гострого кута

Дирекційний кут (АВ₂) у другій чверті приводиться до гострого кута за формулою

α’₂ = 180⁰ – (АВ₂),

де α’₂ – гострий кут у другій чверті;

(АВ₂) – дирекційний кут напрямку у другій чверті.

Дирекційний кут (АВ₃) у третій чверті приводиться до гострого кута за формулою

α’₃ = (АВ₃) - 180⁰

і у четвертій чверті -
α’₄ = 360⁰ – (АВ₄).

Знаки прирощень координат ∆х і ∆у залежать від взаємного розташування точок А і В, і як наслідок, і від знаків функцій косинусу і синусу дирекційного куту напрямку, за яким обчислюється прирощення координат. На рис.11 показана залежність знаків прирощення координат ∆х і ∆у від розташування точки, що прив’язується, у чвертях кола за умови, що положення точки А співпадає з початком координатних осей.

Рисунок 11 - Знаки прирощень координат

У першій чверті значення координат точки В₁ більше, ніж у точки А₁, оскільки точка В₁ розташована вище по осі абсцис і правіше по осі ординат відносно точки А. Синуси і косинуси дирекційних кутів від 0 до 90⁰ позитивні, тому прирощення координат ∆х і ∆у також позитивні. У другій чверті точка В₂ розташована нижче точки А по осі абсцис і правіше від неї по осі ординат. Синуси дирекційних кутів від 90 до 180⁰ позитивні, косинуси – негативні, тобто значення ∆х негативні, а значення ∆у позитивні.

У третій чверті обидва прирощення мають негативні значення. У четвертій чверті ∆х позитивне, ∆у негативне.

Пряма геодезична задача може вирішуватися графічним або аналітичним методом.

Вибір методу і засобів для рішення прямої геодезичної задачі залежить від виду топогеодезичної прив’язки і потрібної точності визначення координат.

Рішення прямої геодезичної задачі графічним методом може бути виконано на карті (аерознімку), планшеті або на приладі управління вогнем. При аналітичному вирішенні прямої геодезичної задачі прирощення координат ∆х і ∆у можна визначити за допомогою п’ятизначних таблиць логарифмів, чотирьох – або п’ятизначних таблиць натуральних значень тригонометричних функцій з використанням арифмометру, за допомогою програмованих мікрокалькуляторів, счислителю СТМ, логарифмічної лінійки і номограми інструментального ходу (НІХ).