Умозаключения из суждений с отношениями
Умозаключение, посылки и заключение которого являются суждения с отношениями, называется умозаключением с отношениями.
Важнейшими логическими свойствами отношений являются: рефлективность, симметричность, транзитивность, функциональность (однозначность).
Рефлексивным называется такое отношение между предметами А и В, в котором предмет находится в таком же отношении и к самому себе.
Если R обладает свойством рефлексивности, то оно выражается формулой: A R B 
A R A ∩ B R B
Например: «Если А ≡ В, то А ≡ А и В ≡ В»
Симметричным называется такое отношение, которое имеет место как между предметами А и В, так и между предметами В и А. Логическое свойство симметричности можно записать в виде формулы: A R B → B R A.
Например, свойством симметричности обладает отношение «быть родственником»: если А родственник В, то В - родственник А.
Транзитивным называется такое свойство отношений, когда при наличии этого отношения между предметами А и В, В и С можно установить это отношение между А и С, т.е. A R C. Логическое свойство транзитивности можно выразить формулой (A R B) ∩ (B R C) →A R C
Например: A>B 6 > 4
B>C или 4 > 2
A>C 6 > 2
Функциональным (однозначным) называется отношение в том, и только в том случае, если каждому значению отношения у отношения x R y соответствует лишь одно единственное значение х. Например, «х отец у», так как у каждого человека (у) имеется один единственный отец.
Логическое свойство функциональности символически можно записать в виде следующей аксиомы:
(A R B ∩ C R B) → A ≡ C
Упражнение 13
Из данных понятий сформулируйте суждения с отношениями, определите вид отношений.
1. Владивосток, Хабаровск, Магадан.
2. Покупка первая, покупка вторая, покупка третья, дороже на пять тысяч рублей.
3. Ярославль, Куйбышев, Астрахань, выше по течению Волги.
4. х, у, равно.
5. Эльбрус, Монблан, Эверест, выше.
6. Событие А, событие В, сообщение С, быть раньше.
7. А, В, С, быть больше.
8. Александр, Николай, быть братом.
9. Событие А, событие В, быть одновременным.
10. А, В, С, быть подобным.
11. Павел, Александр, быть другом.
12. Московский университет, Санкт-Петербургский университет, Томский университет, основан раньше.
13. Волков, Спиридонов, Кузнецов, земляк.
14. Москва, Брянск, Санкт-Петербург, основан раньше.
15. Волга, Днепр, Десна, быть больше по площади.
Пример:
Добролюбов, Шевченко, современник.
Добролюбов (В) – современник Шевченко (С).
Белинский (А) – современник Добролюбова (В).
Следовательно, Белинский (А) – современник Шевченко (С).
Отношение транзитивности (A R B ∩ B R C) →A R C
Упражнение 14
Укажите свойства отношений, на основании которых сделан вывод, запишите схему вывода.
1. G. равно F., следовательно F. равно G.
2. G. = F., следовательно, G. = D., F. = F.
3. Предмет С отличается некоторыми признаками от предмета D. Значит предмет D отличается этими же признаками от предмета С.
4. Фет родился позднее М. Лермонтова, М. Лермонтов – позднее Ф. Тютчева.
5. Петр – брат Сергея. Сергей – брат Максима. Значит, Петр – брат Максима.
6. G. находится на месте преступления одновременно с F., а F. – одновременно с D. Следовательно, G. находится на месте преступления одновременно с D.
7. G. подобно F., следовательно, F. подобно G.
8. Искомое число Х больше 4, 4 больше 8, следовательно, искомое число Х больше 8.
9. Все числа равные G., будут и F. D. равно G., следовательно, D. равно F.
10. Осло западнее Стокгольма, Стокгольм западнее Хельсинки. Следовательно, Осло западнее Хельсинки.
11. Александр старше Алексея. Алексей старше Антона. Значит, Александр старше Антона.
12. Территория Франции меньше территории Украины. А территория последней меньшей территории России. Следовательно, территория Франции меньше территории России.
13. G. эквивалентно F., В. подобно С., а С. эквивалентно D. Значит, G. эквивалентно D.
14. На факультете международных отношений количество студентов меньше чем на факультете рекламы, а на последнем количество студентов меньше чем на факультете экономики и управления. Следовательно, на факультете международных отношений количество студентов меньше чем на факультете экономики и управления.
15. События G. произошли одновременно с событием F., следовательно, и событие F. произошло одновременно с событием G.
Пример: Смоленск севернее Рязани. Рязань севернее Тулы. Следовательно, Смоленск севернее Тулы.
Отношение транзитивности: (A R B ∩ B R C) → A R C.
Глава VII
ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
(выводы из сложных суждений)
УСЛОВНЫЙ СИЛЛОГИЗМ
Силлогизм, в котором, по крайней мере, одна из посылок – условное суждение, называетсяусловным.
Различают чистоусловный и условно категорический силлогизм.
Силлогизм, в котором обе посылки являются условными, называется чисто условным.
Чисто условный силлогизм выражается формулой:
Если А, то В
Если В, то С
Следовательно, если А, то С.
т.е (А → В) ∩ (В → С)
А → C
Та часть посылки, которая начинается словом «если», называется антецедентом, или основанием. Та часть посылки, которая начинается словом «то», называется консеквентом, или следствием. Заключение в условном силлогизме может быть получено не из двух, а большего числа посылок. Такие умозаключения имеютсхему:
(A → B) ∩ (B ∩ C) ∩ (C → D) ... ∩ (E → S)
(A →S)
Силлогизм, в котором одна посылка - условное суждение, а другая – категорическое, называется условно – категорическим.
Условно – категорический силлогизм имеет два правильных модуса: утверждающий и отрицающий.
Разновидность условно – категорического силлогизма, в котором ход заключения направлен от утверждения основания к утверждению следствия (т.е. от признания истинности основания к признанию истинности следствия), называется утверждающим модусом (modus ponens).
Его схема: A → B, A
B
Вторым правильным модусом условно – категорического силлогизма является отрицающий(modus tollens), по которому ход умозаключения направлен от отрицания следствия к отрицанию основания, т.е. из ложности следствия условной посылки всегда с необходимостью следует ложность основания.
Этот силлогизм имеет формулу:
A → B, не-B
не–А
Выводы из отрицания основания к отрицанию следствия и от утверждения следствия к утверждению основанию с необходимостью не следуют. Эти выводы могут быть ложными.
Их схемы: если не-А, то В, не-А
не-В
если А, то В, В
А
Пользуясь модусами чисто условного силлогизма, необходимо следить за тем, чтобы не только посылки в этом умозаключении были истинными, но и за тем, чтобы суждения А и «не-А» действительно отрицали друг друга.
Кроме рассмотренного выше модуса чисто условного силлогизма, включающего три термина А, В, С, существуют модусы чисто условных умозаключений, если принимать во внимание не только термины А, В, С но и их отрицания (не-А, не-В, не-С).
Следующие формы умозаключений при истинности посылок будут давать истинные заключения:
Если А, то В (1)
Если не-А, то С
Следовательно:
1) если не–В, то С
2) если не–С, то В
Если А, то В (2)
Если С, то не-В
Следовательно:
1) если А, то не-С
2) если С, то не–А
Упражнение 1
Определите посылки и заключение в следующих, условно категорических умозаключениях, постройте схему вывода, определите модус и проверьте правильность умозаключений по их форме:
1. Люди оспаривали бы аксиомы математики, если этого требовали их интересы. Но интересы людей не затрагиваются этими аксиомами. Следовательно…
2. Если Аристотеля можно считать непогрешимым авторитетом, то логику стоит изучать. Но Аристотеля нельзя считать непогрешимым авторитетом. Следовательно…
3. Если бы этот писатель был выразителем интересов дворянства, то он не обрушил бы всю мощь своего таланта на этот строй. Следовательно…
4. Если бы наши приборы позволяли наблюдать явные признаки жизни на Марсе, то наличие жизни на этой планете нельзя было бы подвергнуть сомнению. Но наши приборы не позволяют рассмотреть на Марсе такие подробности. Следовательно…
5. Если кто похитил вещь, то он постарается ее спрятать, а обвиняемый вещь не спрятал. Значит…
6. Если бы ваш сын был убит, то он был бы поименован в списке найденных на поле сражения офицеров. Но в этом списке он не был поименован. Значит…
7. Если сделка может быть двухсторонней или многосторонней, а совершенная сделка не является двухсторонней. Значит…..
8. Если бы реформа 1861г. удовлетворяла требования крестьян, то не было бы массовых крестьянских волнений. Между тем, в ответ на опубликование Манифеста от 19 февраля за два последующих года произошло свыше 2000 крестьянских волнений. Значит…
9. Если он не изучал логику, то он не может решить эту задачу. Он изучал логику. Значит…
10. Петров не будет чемпионом, если он не выиграет эту партию. Он выиграл эту партию. Значит…
11. Если я не любил Вас самой преданной любовью, то я бы тотчас предложил Вам бежать со мной. Но я Вам этого не предлагаю. Значит…..
12. Если бы цветы поливали, то они не засохли бы. Но они засохли. Ясно….
13. Если в силлогизме три термина, то он правильный. В данном силлогизме три термина. Следовательно….
14. Если студент не прочитает этой книги, то он не приобретет необходимых знаний. Студент прочитал эту книгу. Значит….
15. Если х делится на шесть, то х делится на два. Значит….
Пример:
Если Луна находится в узле своей орбиты (А), то происходит солнечное затмение (В).
Луна в новолуние находится в узле своей орбиты (А).
Следовательно, происходит солнечное затмение (В).
Если А, то В, А – утверждающий модус.
В
Упражнение 2
Использую условную посылку, постройте умозаключение: а) по утверждающему модусу, б) по отрицательному модусу; запишите их схему.
1. Если будет засуха, то посевы погибнут.
2. Если на улице стоит Солнце, то предметы отбрасывают тень.
3. Не знаешь – молчи.
4. Поверь ему – окажешься обманутым.
5. Была бы охота, а дело найдется.
6. Если хочешь быть хорошим оратором, учись выразительно читать.
7. Если условия среды становятся для клетки неблагоприятными, то ее функции постепенно ослабевают.
8. Не могут служить доказательством фактические данные, сообщаемые свидетелем, если он не может указать источник своей осведомленности.
9. Если следственным экспериментом устанавливается лишь возможность течения события определенным образом, выводы из этого эксперимента могут быть только вероятными.
10. Если температура воздуха + 350 С, то вода в море теплая.
11. «В плен взяла тебя нужда – нет дороги никуда». (пословица)
12. «Обстоятельства переменчивы, принципы никогда». (О. Бальзак)
13. «Кто ни о чем не спрашивает, тот ничему не научиться» (Т. Фуллер)
14. «Кто ясно мыслит, тот ясно и излагает». (Н. Буало)
15. «Если бы мы не льстили сами себе, нас не портила бы чужая лесть». (Ф. Ларошфуко)
Пример:
«Если машина неисправна (А), то ее в рейс отправлять нельзя (В)».
а) Строим умозаключение по утверждающему модусу.
Машина неисправна (А). Следовательно, ее в рейс отправлять нельзя. (В).
Если А, то В, А
В
Б) Строим умозаключение по отрицательному модусу.
Машина исправна (не-А). Следовательно, ее можно отправлять в рейс.
(не-В).
Если А, то В, не-А
не-В
РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЙ СИЛЛОГИЗМ
Силлогизм, в котором, по крайней мере, одна из посылок – разделительное суждение, называется разделительным.
Разделительно – категорические силлогизмы имеют два правильных модуса: утверждающе-отрицающий и отрицающе-утверждающий.
В умозаключении по утверждающе-отрицающему модусу (modus ponendo tollens) производится отрицание посредством утверждения.
Пример:
Облигации могут быть предъявительскими или именными.
Данная облигация предъявительская.
Следовательно, данная облигация не является именной.
Этот модус имеет формулу:
А U В, А
не-В
Вторая категорическая посылка утверждает один из членов дизъюнкции; в выводе отрицается другой ее член.
В умозаключении по отрицающе-утверждающему модусу (modus tollendo ponens) производится утверждение посредством отрицания.
Пример:
Приговор суда может быть или обвинительным, или оправдательным.
Приговор суда по данному делу не является обвинительным.
Следовательно, он является оправдательным.
Формула этого модуса:
А U В, не-А
В
Вторая посылка отрицает один из членов дизъюнкции, вывод утверждает другой ее член.
Условиями правильного вывода по модусам разделительного силлогизма являются:
1. В утверждающе-отрицающем модусе разделительная посылка должна быть исключающее - разделительным суждением. Из соединительно-разделительной посылки вывод по этому модусу с необходимостью не следует.
Пример:
из посылок:
Это преступление совершил G., или F., или D.
Это преступление совершил G.
нельзя с необходимостью сказать, что это преступление не совершил ни F., ни D. Действительно, преступление могли, например, совершить G., F. и D. в соучастии.
2. В отрицающее - утверждающем модусе в разделительной посылке должны быть перечислены все возможные альтернативы.
Пример:
Смерть могла наступить в результате убийства или самоубийства.
Смерть не могла наступить в результате самоубийства.
Следовательно, смерть произошла в результате убийства.
Данное умозаключение может оказаться ложным, если, например, смерть произошла в результате несчастного случая. Однако вывод будет правильным по утверждающе-отрицающему модусу.
Упражнение 3
Проверьте логическую состоятельность следующих силлогизмов, определите его форму.
1. Некоторые люди, не выполняющие своих обещаний, являются безвольными или непорядочными. G. не назовешь непорядочным. Следовательно, он безвольный.
2. В книге ценится или ее содержание, или форма изложения. В научной книге ценится ее содержание. Значит, в научной книге не ценится форма изложения.
3. Либо все мы овладели логикой, либо ни один из нас не усвоил этой науки. Но ясно, что нельзя сказать, что все мы овладели логикой. Следовательно, ни один из нас ею не овладел.
4. Всякий философ является либо материалистом, либо идеалистом. Платона нельзя считать материалистом. Следовательно, Платон – идеалист.
5. Право либо дано природой, либо оно основано на соглашении между людьми. Но право не дано природой; оно, следовательно, основано на соглашениях (Руссо «Общественный договор»)
6. Всякое суждение является либо общим, либо частным, либо единичным. Это суждение не является общим, а также не является частным. Значит, оно единичное.
7. Одно из двух: либо он хотел обмануть меня, либо сам ошибался. Но нельзя допустить, что он хотел меня обмануть. (На это он совершенно не способен.) Следовательно, он сам ошибался.
8. Кто был учеником Сократа: Платон или Ксенофонт? Конечно, Платон. Следовательно, Ксенофонт не был учеником Сократа.
9. Этот холст – либо подлинная картина Серова, либо очень искусная копия. Но невозможно до такой степени точно воспроизвести манеру великого художника. Надо, значит, признать, что это - подлинная картина Серова.
10. Обилие ошибок в этой письменной работе означает со стороны студента либо проявление лени, либо небрежности. Но он сам признает, что поленился, как следует выполнить работу. Значит, небрежности здесь не было.
11. «Санкт-Петербург занимает огромную территорию. G. Житель Санкт-Петербурга. Следовательно, G. занимает огромную территорию.
12. Все юристы изучают логику. G. изучает логику. Значит, G. – юрист.
13. Опиумный мак не растет в Ботаническом саду МГУ. Конопля – не опиумный мак. Следовательно, конопля растет в ботаническом саду МГУ.
14. Все таможни – правоохранительные органы. G. – сотрудник таможни. Следовательно, G. – сотрудник правоохранительного органа.
15. Все преподаватели вуза имеют высшее образование. G. – не преподаватель вуза. Значит, G. не имеет высшего образования.
Пример:
Суждение может быть простым или сложным (А U В).
Суждение «Все розы – растения» – простое (А).
Следовательно, данное суждение не является сложным (не-В) – это утверждающе – отрицающий модус.
Формула этого модуса:
А U В, А
не-В
Данное рассуждение правильно, так как выполняются все условия правильности настоящего модуса.
ЭНТИМЕМА
Энтимема– в переводе с греческого языка «в уме», «в мыслях». Это название говорит о том, что та или иная часть силлогизма подразумевается, а не высказывается. В процессе мышления мы часто не высказываем всех частей силлогизма, а мыслим энтимемами.
Энтимемой называется силлогизм, в котором пропущена либо одна из посылок, либо заключение.
Различают следующие виды этимем:
а) с пропущенной большей посылкой;
б) с пропущенной меньшей посылкой;
в) с пропущенным заключением.
Как любое умозаключение энтимема может быть правильной(корректной) или неправильной (некорректной). Энтимема с пропущенной посылкой считается корректной, если она восстанавливается в правильный силлогизм и при этом пропущенная посылка не является ложной. Энтимема с опущенным заключением считается корректной, если заключение выводится из посылок.
Чтобы восстановить энтимему в полный силлогизм, следует руководствоваться следующими правилами:
1. Найти заключение и так его сформулировать, чтобы больший и меньший термины были четко выражены.
2. При нахождении посылок и заключения следует исходить из того, что заключение обычно помещается после слов «значит», «следовательно» и т.п. или перед словами «потому, что», «ибо», «так как». Другое суждение, естественно, будет являться одной из посылок.
3. Если опущена одна из посылок, а заключение наличествует, то нужно установить, какая из них (большая или меньшая) имеется. Это производится путем проверки, какой из крайних терминов содержится в данной посылке. Если больший термин, значит, имеется большая посылка; если в посылке присутствует меньший термин, значит, меньшая посылка.
4. Зная, какая из посылок опущена, а также зная средний термин, можно определить оба термина недостающей посылки.
Упражнение 6
Восстановите пропущенную часть силлогизма.
1. Этот студент не является отличником, так как он имеет удовлетворительные оценки по ряду предметов.
2. Роман «Война и мир» – гениальное произведение, ибо оно – реалистическое произведение.
3. У хороших преподавателей не бывает плохих студентов. Значит, ты не являешься хорошим преподавателем.
4. Иванов обязан соблюдать правила дорожного движения, так как все люди обязаны соблюдать правила дорожного движения.
5. Обвиняемый имеет право на защиту, а G. – обвиняемый.
6. Каждый гражданин Российской федерации имеет права и обязанности, а В.В. Путин – гражданин Российской Федерации.
7. Этот человек может работать врачом, так как все выпускники медицинских вузов могут работать врачами.
8. Эта квартира не может быть продана, так как она является залогом.
9. Данный договор не может быть признан действительным, так как заключен несовершеннолетним лицом.
10. Сидоров студент, поэтому он сдает экзамены.
11. Михайлов находится под арестом, потому что он содержится в строгой изоляции.
12. G. не изучает логику и он не является студентом юридического ВУЗа.
13. G. не знает критерия правильности умозаключения, постольку не может проверить предложенное ему умозаключение.
14. Работа – не вол, поэтому она в лес не убежит.
15. Большинство существительных русского языка склоняются, а слово «навстречу» не склоняется.
Пример:
Золото соединяется с галогенами непосредственно. Следовательно, золото – металл.
1. Находим заключение, оно начинается в данном примере со слова «следовательно»: «Золото (S) – металл (Р)».
2. Посылка «Золото (S) соединяется с галогенами непосредственно (М)» является меньшей, так как в нее входит меньший термин – субъект заключения.
3. Восстановим пропущенную большую посылку: «Все металлы (Р) соединяются с галогенами непосредственно (М)».
Силлогизм принимает форму:
Все металлы (Р) соединяются с галогенами непосредственно (М).
Золото (S) соединяется с галогенами непосредственно (М).
Золото (S) – металл (Р).