Теорема Байеса и принятие решений

¹⁰Точнее: задачи с гипотетическими условиями.— Прим. ред.

Мышление, раздел 1: формирование понятий, логика и принятие решений

Предположим, что долгие, романтические и эмоциональные отноше­ния между вами и вашей возлюбленной закончились ужасной стычкой и вы поклялись никогда не встречаться с этим человеком снова. Проходит несколько месяцев, в течение которых вы тщательно избегаете ситуаций, в которых могли бы "случайно" встретить вашу бывшую любовь. Ваш общий друг приглашает вас на большую вечеринку. Решение идти или нет, зависит от ощущаемой вероятности, что ваша бывшая любовь тоже там будет. Поразмыслив над ситуацией, вы решаете, что общий друг вряд ли мог оказаться нечувствителен, чтобы пригласить и вас, и ее. Далее, с учетом прошлого опыта аналогичных ситуаций, вы можете оценить веро­ятность "встречи" как примерно 1/20. Математически эту гипотезу мож­но записать как

Р(Н) = 1/20

Это уравнение читается так: "вероятность гипотезы равна 5% (или 5 из 100)". Эта гипотеза основана на априорной вероятности, т.е. на вероят­ности, что событие произойдет при наличии аналогичных ситуаций. Мож­но выдвинуть другую гипотезу о том, что вероятность не встретиться с вашей любовью на вечеринке составит

Р(Н)—= 19/20

или "вероятность, что событие не произойдет составляет 95%".

Если бы реальные ситуации можно было свести к таким вероятност­ным утверждениям, жизнь была бы простой и скучной. Вы могли бы срав­нить вероятность нежелательной встречи с вероятностью получить удо­вольствие от посещения вечеринки, а затем принять решение. В нашем случае предположим, что вы решили пойти на вечеринку. Подъезжая к дому, вы замечаете припаркованный у подъезда желтый Фольксваген. За несколько секунд вы вычисляете вероятность того, что этот автомобиль принадлежит бывшей пассии (что означало бы также, что она тоже на этой вечеринке) и взвешиваете эту новую информацию с прежней инфор­мацией о вероятности того, что хозяин пригласил вас обоих на одну вече­ринку. Эта ситуация называется условной вероятностью — вероятнос­тью, что новая информация верна, если верна конкретная гипотеза. В этом случае, предположим, что вероятность того, что этот автомобиль принадлежит бывшей пассии, составляет 90% (другие 10% можно припи­сать различным факторам, включая возможность того, что этот автомо­биль был продан кому-то еще, дан кому-то взаймы или это просто похо­жий автомобиль). Согласно теореме Байеса, совместная вероятность (1/ 20 за то, что этого человека пригласили + 9/10 за то, что наличие автомо­биля говорит о его присутствии) может быть вычислена по следующей формуле¹¹:

ИЕЦОХРШ)

Р(Е|Н)ХР(Н) + Р(Е|Н)ХР(Н)

"Формула взята из: Anderson (1985).

Мышление и интеллект - естественный и искусственный 448

где Р(Н | E) - это вероятность того, что верна гипотеза (Н) при наличии условия Е; в нашем случае это вероятность того, что этот человек будет на вечеринке с учетом первоначальной низкой вероятности и новой полу­ченной информации. Р(Е|Н) обозначает вероятность того, что E истинно при условии H (например, вероятность того, что автомобиль принадлежит этому человеку = 90%). Р(Н) - это вероятность первоначальной гипоте­зы (Р=5%), а переменные Р(Е|Н-) и Р(Н-) обозначают вероятность того, что событие не произойдет (10% и 95%). Подставив эти числа в формулу, мы можем решить уравнение для Р(Н|Е).

р_(Н|Е)= _ - - 032

¹ (0.9X0.05) + (0.1 Х0.95)

Так, согласно этой модели, шансы нежелательной встречи на вечеринке составляют примерно 1/3. При таком раскладе вы можете принять науч­но обоснованное решение о том, насколько отвратительной может ока­заться эта встреча и насколько приятной будет вечеринка. Пожалуй, вам стоит доехать до ближайшего таксофона и позвонить пригласившему вас.

Однако, насколько хорошо теорема Байеса согласуется с реальной жизнью? Весьма маловероятно, что находясь в вышеописанных обстоя­тельствах вы достали бы из кармана калькулятор и начали вычислять величину Р(Н|Е). Некоторые данные, собранные Эдвардсом (Edwards, 1968), указывают на то, что мы оцениваем обстоятельства условной веро­ятности более консервативно, чем это предполагает теорема Байеса. Изу­чая влияние новой информации на оценки испытуемых, Эдварде давал студентам колледжа два мешка по 100 покерных фишек в каждом. В од­ном мешке было 70 красных фишек и 30 синих, а в другом — 30 красных и 70 синих. Наугад выбирался один из мешков, и испытуемые должны были определить, который это мешок из двух, вынимая из него по одной фишке, рассматривая ее и возвращая обратно в мешок, а затем продолжая процесс. Первоначально вероятность вынуть красную фишку из мешка, где красных фишек больше, составляет 70%, а из мешка, где синих боль­ше — 30%. Однако, если мы вынули из мешка только одну фишку и она оказалась красной, тогда, согласно теореме Байеса, вероятность, что в этом мешке доминируют красные, равна 70%. Люди обычно недооценива­ют реальное (математическое) значение этого наблюдения и предполага­ют, что вероятность того, что в этом мешке доминируют красные, равна 60%. Если следующая фишка тоже красная, то реальная вероятность того, что это "красный" мешок, равна 84%. Суждения испытуемых в этом слу­чае, как и при более крупных выборках остаются консервативными.

Применение теоремы Байеса к задачам "реального мира" — это особая задача, поскольку трудно наверняка точно оценить вероятность событий. Рассмотрим пример из международной политики. В течение примерно десяти последних лет или около того существовала значитель­ная напряженность в отношениях между США и СССР¹², что по мнению многих привело к увеличению вероятности открытой агрессии, а может и тотальной войны. Если бы можно было точно оценить все силы и опреде­лить вероятность войны, тогда в формулу Байеса можно было бы вклю­чить влияние событий, определяющих вероятность мира или войны —

¹²Данная книга вышла в начале 1988 года.— Прим. ред.

Мышление, раздел 1: формирование понятий, логика и принятие решений

таких как встреча Президента Рейгана с Генеральным секретарем Горба­чевым в Рейкьявике в Исландии в 1986 году — и что особенно ценно, можно было бы получить вероятностную статистику. Некоторые честолю­бивые ученые из области психологии, социологии и политологии предпри­няли как раз такие глобальные исследования.