Особенности традиционного способа формирования понятия числа у детей

Наряду с общей характеристикой усвоения учебного материала по математике целесообразно рассмотреть особенности образования у школьников какого-либо одного понятия. Мы выделили для этого такое важное математическое понятие, как понятие числа, с которого начинается вхождение ребенка в школьную

174

математику и которое сохраняет свое назначение на всем протяжении ее усвоения. На этом примере мы попытаемся раскрыть детали применения эмпирической теории обобщения в практике формирования понятий у школьников.

Рассмотрим способ ознакомления ребенка-первоклассника с числом по учебнику A. C. Пчелко и Г. Б. Поляка, длительное время используемому в нашей школе, и по соответствующим методическим руководствам [252], [267], [268]¹.

В первые дни учитель устанавливает объем знаний по арифметике, полученных детьми до школы: знание последовательности числительных, умение считать группы предметов и оценивать результат счета. Конечно, опыт ребенка-дошкольника довольно разносторонний, в частности, это касается оценки зависимостей математического характера². Но учитель выявляет лишь те стороны этого опыта, которые прямо связаны со счетом, ибо с него и начинается вхождение ребенка в математику³.

Учебник открывается темой «Первый десяток». Сначала дается задание различить мячи и карандаши по объему и длине («больше — меньше», «длиннее — короче»). На следующих двух страницах перед ребенком встают задачи, требующие установления соответствия между совокупностями реальных предметов (детьми, деревьями, огурцами) и совокупностями палочек или кружков: «Покажи столько палочек, сколько нарисовано деревьев», «Положи столько кружков,

175

сколько нарисовано огурцов» [268, стр. 4—5]. Выполняя эти задания, ребенок учится выделять отдельные предметы из их группы и уравнивать эту группу с набором специальных «стандартных единиц» вроде палочек и кружочков (их выкладывается «столько», «сколько» выделено предметов).

Следующий этап — знакомство детей с конкретными числами, начиная с числа «один». На странице 7 учебника [268] нарисован мальчик, чуть ниже — гриб, затем — белка, еж и рядом с ними отдельная косточка на проволоке счетов и отдельная точка («числовая фигура»). Все это обозначается цифрой «1».

На следующей странице дается число «два». Здесь нарисованы мальчики, пара ботинок с коньками, пара лыж, велосипед, пары палочек, косточек и точек. Рядом — цифра «2».

Остальные числа до «десяти» даются аналогичным образом, меняются лишь конкретные предметы, но их наборы по числу отдельностей совпадают с наборами косточек и точек на фигурах. Изучая каждое число, ребенок должен образовать его путем присоединения одной единицы к ранее изученному предшествующему числу, а также «рассмотреть естественные группы предметов, которые характеризуются данным числом: например, при изучении числа «четыре» рассмотреть четыре ножки у стула, стола, четыре ноги у лошади, кошки и т. п., четыре кружочка в числовой фигуре, четыре стекла в оконной раме. Это будет первой ступенью абстрагирования числа, выделение в различных совокупностях его одинаковой количественной стороны» [267, стр. 146].

Затем ребенок учится выполнять прямой и обратный счет (овладевает последовательностью словесных обозначений чисел), узнает соотношение чисел («пять больше четырех, но меньше шести», «пять следует за четырьмя и предшествует шести» и т. д.), знакомится с составом данного числа («шесть — это два, два и еще два»), учится писать цифры.

176

Такова общая канва работы, предлагаемая учебником. Она реализуется в практике обучения на основе некоторых методических приемов. Укажем основные из них. Так, учитель ставит задания, при выполнении которых дети сами создают те или иные группы предметов, прибавляя их по одному (по одной единице). Если к «двум» стульям присоединить еще «один» стул, то получится ряд в «три» стула. Выполняя такие упражнения на различных предметах, ребенок приходит к общему правилу: когда к «двум» прибавляется еще «единица», то получается «три», еще «единица» — «четыре» и т. д. Названия «два», «три» и другие даются всей группе в целом. При каждом названии числа у ребенка должно возникать правильное представление о группе предметов, обозначенной этим числом. С этой целью важно задавать детям вопрос: «Сколько получилось предметов?» (как только они создают ту или иную группу). Ответ — название числа — ассоциируется с данной группой. «От этого название нового числа получает совершенно определенное и конкретное содержание. Величина числа конкретизируется через величину той совокупности предметов, обозначением которой оно является» [267, стр. 144].

При этом важно, чтобы дети удерживали в памяти всю группу предметов в целом. Этому помогает счет на слух (счет хлопков, ударов), когда каждый звук исчезает и при ошибке нельзя начать счет сначала, как это еще возможно при пересчитывании ряда предметов. Наиболее ясное и правильное представление о числе получается у ребенка тогда, когда группа дается в легко обозримой форме. Этому помогает применение разнообразных числовых фигур, используемых для образования наглядных числовых представлений. Например, в учебнике показана совокупность предметов, соответствующая ей числовая фигура и ассоциирующаяся с ними цифра, обозначающая число «четыре» [267, стр. 148]. Числовые фигуры «являются средством для формирования конкретных представлений о числах» (267, стр. 145]. Они помогают усвоить отношение между числами (каждое последующее число больше предыдущего и т. д.).

177

Для этой схемы ознакомления ребенка с числом характерны следующие внутренние особенности. Путем сравнения многих разнокачественных вещей ребенок выделяет в них нечто сходное, общее, им оказывается отделенность каждого предмета друг от друга, некоторая пространственная или временная их ограниченность. Это единичный предмет, и в каждом предмете содержится такая внешне воспринимаемая единичность, отдельность. Если ее выделить и отделить от других свойств предмета (а именно это и происходит при постепенном переходе мысли учащихся от «реального мальчика» через «реальный гриб» к любой, но одной палочке), то мы получаем единицу. Каждый отдельный предмет суть единица. Группа предметов — множество единиц (совокупность «отдельностей»). Ребенок прежде всего учится в любом наблюдаемом предмете выделять эту его особенность — быть отдельностью, а к группам предметов подходить лишь как к наборам, множествам единиц. Так образуется абстракция количества. Умение ребенка усматривать определенное количество единиц в любых предметах (в «мальчиках», в «колесах» в «палочках» и т. д.) и обозначать его числительным говорит о наличии понятия о данном количестве, о данном числе. Так формируется понятие о числе «один», о числе «два» и т. д.

Как подчеркивается в одном методическом руководстве [267, стр. 144—145], содержание каждого такого понятия должно быть наглядно представляемо ребенком за каждым конкретным словом-числительным должно стоять представление о соответствующей совокупности предметов. Поскольку это могут быть любые предметы, то данные представления удобнее формировать на особых «числовых фигурах», состоящих из хорошо обозримых «точек».

Важным этапом образования понятия числа выступает «освобождение» от его наглядных опор. Как это становится возможным? К сожалению, ни учебники, ни методики, ни психологические работы не дают на этот вопрос определенного ответа. По сути дела, все сводится к тому, что дети начинают запоминать

178

словесно выраженные результаты действий сложения и вычитания, с которыми они знакомятся после счета: «Один да один — два, два да один — три; один и два — три» и т. п. [267, стр. 147—149].

В предыдущих главах мы подробно рассмотрели гносеологические предпосылки эмпирической теории обобщения и образования понятий. Установившийся способ формирования понятия числа у школьников может служить характернейшей иллюстрацией к сказанному.

Так, количественная сторона предметов выделяется путем сравнения самых различных предметных групп и выражает сходное, формально общее их свойство — быть «группой отдельностей», элементы которой между собой реально не связаны, друг от друга не зависят и реального единства не составляют. Каждый такой элемент ничего не теряет, если он изымается из группы и рассматривается как самостоятельная единица. Единство таких самостоятельных единиц возможно лишь в понятии, в мысленном плане, в «словесной системе». Как видим, этот подход к понятию числа, присущий традиционной методике обучения и ее психологическому обоснованию, имеет четкий и откровенно выраженный номиналистический характер.

Способ выделения единицы — это абстрагирование и обобщение такого чувственно-данного, внешнего свойства предмета, как его единичность, отделенность. В содержание понятия о единице и о множестве единиц входит лишь то, что вначале непосредственно наблюдалось. Даже отношения чисел могут быть созерцаемы при оперировании, например, числовыми фигурами. Отличие понятия от представления прежде всего состоит в оперировании числом без наглядных средств, в «словесной системе». Функция понятия заключается в четком различении разных множеств единиц с точностью до одной единицы. За таким истолкованием источников понятия, принятым в методике и психологии обучения арифметике, отчетливо просматривается односторонняя сенсуалистическая установка.

179

Каждое различаемое множество единиц получает в словесном плане особую метку, ассоциативно связывается со словом-числительным. Понимать такое слово — это значит четко представлять себе ассоциированную с ним конкретную совокупность предметов. Термин «ассоциация» имеет здесь точно тот смысл, который ему придается сторонниками ассоциативной природы умственной деятельности. Если учесть, что ассоциативная психология всякую отвлеченную идею представляла как выражение сходного, общего в группе чувственных впечатлений, то связь традиционной методики с этой психологией может быть понята как далеко не случайная.

В соответствии с концептуализмом этой теории в методике отсутствует задача формирования у детей особого конкретного действия, раскрывающего им объект понятия числа (это действие заменяется формальным сравнением предметных групп). Как показывает специальный анализ (см. его результаты в серии наших работ [428], [432], [433]), таким действием является нахождение кратного отношения величин, когда одна из них служит мерой для выражения другой. Необходимость определения такого отношения и его фиксации в форме числа возникает в ситуации опосредствованного уравнивания величин [428]. При этом выбор меры счета или измерения, приводящий к определенной числовой характеристике величин, зависит от сложившейся ситуации, от общественного опыта и т. п. Во всяком случае мера («единица») счета и измерения не обязательно по своим физическим свойствам должна совпадать с отдельным предметом (эта мера может быть составной).

В форме числа, т. е. в единицах стандартной совокупности, фиксируется отношение одной величины к любой другой, взятой за меру. Поэтому единицы, входящие в число, не совпадают с частями объекта, выделяемыми через меру и могущими состоять из собственных элементов. При традиционной методике ознакомления детей с числом как раз отождествляются единицы числа и физические отдельные предметы. Ребенок

180

не различает отчетливо самого объекта счета и средств фиксации его результата. Это существенный недостаток понятия числа. Он проявится в том, что ребенок не сможет проводить счет или измерение произвольными, наперед заданными мерами. Кроме того, он будет отождествлять элементы объекта с единицами числа.

Для проверки этого предположения мы провели обследование особенностей понятия числа у первоклассников, осваивающих его по принятой методике (в 1 «А» классе обследование проходило в конце января — первой половине февраля, в 1 «Б» классе — в конце февраля — первой половине марта 1961 г.). Дети свободно складывали и вычитали числа в пределе 10, хорошо ориентировались в построении числового ряда (какое число на 1 или 2 меньше больше указанного и т. д.), правильно и быстро пересчитывали группы предметов (палочек, зерен, столов), сравнивали группы по их числовой характеристике. Учащиеся были знакомы с отдельными единицами измерения (метр, сантиметр, килограмм, литр). Они уже неоднократно наблюдали случаи использования этих единиц для измерения длины, веса, емкости¹. Все учащиеся хорошо усвоили ту часть программы, которая указывает объем сведений, необходимых для сознательного счета (по обычным к нему требованиям), а также для понимания смысла измерения.

Каждый ученик индивидуально должен был выполнить пять заданий, существенно отличающихся от тех, которые он выполнял в классе, но предполагающих использование понятия числа.

Задание 1. Экспериментатор предлагает ученику планку (50 см) и просит, чтобы он принес из другой комнаты планку такой же длины. Но образец брать с собой нельзя — можно захватить лишь маленькую палочку (10 см). Цель задания: выяснить, умеет

181

ли ученик производить опосредствованное уравнивание с помощью числа.

Задание 2. На столе лежит 12 кубиков, разделенных на 4 части (по три кубика в каждой). Экспериментатор задаст вопрос: «Сколько здесь?» — не указывая единицы счета («рядок» или «кубик»). В этом задании выяснялось, улавливает ли ученик неопределенность вопроса и будет ли он требовать его уточнения («Сколько чего?») или сам выберет ту или иную единицу.

Задание 3. Ученику предлагается ряд из 20 кубиков и указывается единица счета — часть ряда из четырех кубиков (она показывается, но числительное при этом не называется): «Сколько здесь вот таких?» (отделяется и показывается часть кубиков). После пересчитывания и ответа («Здесь пять таких!») ученик выполняет дополнительные задания: «Подай мне один из этих пяти», «Сделай на один больше (меньше)». Цель задания: выявить умение находить отношение объекта к наперед данной единице счета («групповому элементу») и умение выделять «один» через соотношение части объекта и этой единицы.

Задание 4. Ученику предлагаются две составленные планки (по 20 см) и мерка (10 см). Вопрос: «Сколько здесь (в двух планках) уложится по длине таких (мерок)?» После ответа («четыре») следуют вопросы: «Где эти четыре (мерки) уложатся?», «Какие четыре (мерки)?», «Покажи, где уложатся две из этих четырех (мерок)?» Цель задания: выявить умение соотносить число с измеряемым предметом через использованную мерку.

Задание 5. Перед учеником ставится ряд баночек (две «большие» и две «маленькие», каждая из которых равна половине «большой»). Экспериментатор объясняет: «В этой большой баночке умещаются две такие маленькие» — это обстоятельство демонстрируется путем переливания воды. Затем дается задание, состоящее из двух частей: 1) «Сколько сюда (показывается весь ряд) можно налить вот таких баночек воды (мерка — маленькая баночка)? Ты знаешь, что в одну большую входят две такие маленькие баночки»,

182

2) «Сколько сюда (показывается ряд) войдет вот таких баночек (показывается большая баночка)?» Цель задания: выявить умение ребенка использовать при счете единицу, не совпадающую с отдельными элементами ряда.

Эти задания были предложены на таком материале и в такой форме, которые «провоцировали» ребенка к пересчитыванию отдельных кубиков (баночек) и к отождествлению единицы стандартной совокупности («одного») с отдельным кубиком (баночкой). Преодоление этих «провоцирующих» влияний предполагает умение четко связывать вопрос «Сколько?» с указанием соответствующей единицы счета (измерения) и умение выделять «один» через соотношение части объекта с заданной единицей.

По выполнению каждого задания все испытуемые были подразделены нами на три группы: 1) одни учащиеся самостоятельно и сразу правильно выполняли задание, 2) другие учащиеся вначале выполняли задание неправильно, но затем с той или иной помощью экспериментатора исправляли ошибки, 3) наконец, третьи не справлялись с заданием даже при помощи экспериментатора (при наводящих вопросах, разъяснениях ситуации и т. п.). В табл. 5 приведены данные о количестве учащихся, вошедших в эти группы при выполнении каждого задания (в одном классе было 28 человек, в другом — 25).

Таблица 5

Задания	Количество испытуемых
самостоятельно выполнивших задание	сделавших ошибки и выполнивших задание с помощью эксперментатора	не выполнивших задание
1 «А»	1 «Б»	1 «А»	1 «Б»	1 «А»	1 «Б»
2*

183

* Примечание. В задании 2 испытуемые разделились на группы: 1) требующих уточнения единицы счета, 2) сразу пересчитывающих группы кубиков, 3) сразу пересчитывающих отдельные кубики.

Результаты 1 «Б» класса, который проверялся месяцем позже, лучше результатов 1 «А» класса (в основном по количеству детей, принимающих помощь экспериментатора). Для дальнейшего рассмотрения данные по обоим классам целесообразно объединить. Всеми 53 учениками было получено 265 заданий. Из них самостоятельно и безошибочно выполнено 82 задания (31%), при ошибках и с помощью экспериментатора — 111 задании (42%) и не выполнено совсем 72 задания (27%). При этом все пять заданий самостоятельно и безошибочно выполнили лишь 2 ученика, четыре задания — 1 ученик, три задания — 8 учеников, два и одно задание — по 14 учеников, ни одного задания не смогли самостоятельно выполнить 14 учеников. Таким образом, большинство испытуемых (42 человека) либо вообще не справились с заданиями, либо могли выполнить лишь одно-два задания из пяти¹.

Последние три задания (3, 4, 5-е) предлагались на относительно сходном материале и имели сходные цели (они несколько отличались от первых двух заданий). К тому же в них создавались наиболее «острые» условия для выделения единицы. Данные по выполнению этих трех задании приводим отдельно. Испытуемые получили 159 таких заданий. Из них самостоятельно и безошибочно было выполнено 61 задание (38%), при ошибках и с помощью экспериментатора — 71 задание (45%), не было выполнено совсем 27 заданий (17%). Самостоятельно и безошибочно все эти три задания выполнили 9 учеников, два задания — 5 учеников, одно задание — 21 ученик, ни одного задания не выполнили 18 учеников. Итак, большинство испытуемых

184

(39 человек) либо не справились совсем, либо самостоятельно выполнили лишь одно из указанных трех заданий.

Количественные данные показывают, что при выполнении перечисленных заданий многие первоклассники испытывали значительные трудности. Самостоятельно и безошибочно был сделан 31% всех пяти заданий и 38% из группы трех заданий. Лишь небольшая часть детей безошибочно выполнила 5—4 задания (из всех пяти) и 3—2 задания из специально выделенной группы.

Рассмотрим кратко особенности действий испытуемых при выполнении отдельных заданий и характер наблюдаемых при этом ошибок (подробное изложение соответствующих материалов содержится в другой нашей работе [428]). При выполнении первого задания часть испытуемых (в обоих классах 9 человек из 53) измеряла маленькой палочкой планку-образец, а затем в другой комнате с помощью полученного числа и той же палочки находила другую нужную планку. При отчете о способе действия эти дети, как правило, употребляли слова «измерил», «отложил» и т. п. Они, видимо, хорошо понимали смысл измерения, хотя навыки этого действия (при измерении длины) отработаны у них были еще слабо. Дети второй группы (33 человека), получив задание, сразу «срывались с места» и пытались на глаз отыскать нужную планку. Экспериментатор указывал на возможность использования палочки, однако они не обращали на это внимания. Лишь после ряда наводящих вопросов или даже при прямом указании на необходимость измерения эти дети использовали палочку как единицу измерения и получали определенное число. Но характерно, что и после этого они могли идти в другую комнату, забыв взять с собой мерку. Наконец, третья группа детей (11 человек) вообще не понимала смысла ситуации. И даже измерив планку-образец — при прямом требовании экспериментатора, — эти дети не знали, что делать дальше, как применять полученное число.

185

Во втором задании 12 человек сразу поставили контрвопрос: «Чего сколько? Кубиков?» — и, получив подтверждение, пересчитали их. Еще 7 человек без такого встречного вопроса сразу по собственному усмотрению пересчитали группы кубиков («линейки», «рядки»), лишь с помощью экспериментатора они нашли и другую возможную единицу счета. Остальные 34 человека без какого-либо сомнения сразу стали пересчитывать отдельные кубики, не «смущаясь» наличием четко выделенных рядков.

В третьем задании почти все ученики правильно использовали указанную единицу счета (группу из четырех кубиков) и получили число «5». Но затем при просьбе «подать один из этих пяти» и «сделать на один больше»¹ лишь 13 человек отодвигали вначале часть ряда, равную единице счета, а затем увеличивали ее на такую же часть (некоторые называли ее «кучкой», «рядком» и т. п.). У 29 человек второй группы первоначально были ошибки. Три ученика при выделении «одного» сразу отодвигали нужную часть кубиков, но при увеличении на «один» придвинули к этой части отдельный кубик. Лишь при дополнительных указаниях экспериментатора: «Правильно ли? Каких было у нас пять?» и т. д. — они выделили «один» в соответствии с единицей счета. Еще 26 человек из этих 29 с самого начала отодвигали отдельный кубик. Только при помощи экспериментатора, который порой прямо демонстрировал ранее используемую единицу счета, эти дети начинали правильно выделять «один» в предложенных условиях. Третья группа испытуемых (11 человек) ошибалась даже при самой настойчивой помощи. Эти дети выделяли только отдельный кубик, хотя экспериментатор отчетливо и неоднократно демонстрировал им подлинную единицу счета.

В четвертом задании все дети правильно выполнили измерение и указали как его объект,

186

так и мерку. Затем 28 человек при требовании выделить в объекте часть, равную двум меркам, сразу же передавали экспериментатору одну из планок (она имела 20 см, а мерка — 10 см). Еще 19 человек вначале сделали ошибку — они передали обе планки, составляющие объект измерения. Но с помощью экспериментатора, демонстрирующего мерку, они смогли выполнить это задание правильно. Остальные 6 человек даже после отчетливого выделения того факта, что в обеих планках содержится по длине четыре мерки, все равно при указанном требовании передавали обе эти планки.

Пятое задание было выполнено самостоятельно и правильно 20 учениками (ответы «шесть» и «три» — в соответствии с единицами счета). Большинство детей первую часть задания (единица — маленькая баночка) выполнило путем сложения: «Здесь две, еще две, еще одна и одна — шесть». Вторую часть задания (единица — большая баночка) почти все эти ученики выполнили, опираясь на представление о «половине»: «Сюда одна, сюда одна, сюда половину, еще половину — всего три». Таким образом «один» выделялся здесь не через прямое отношение к единице счета, а окольным путем (и он был рациональным). Один испытуемый все же непосредственно использовал мерку. Он взял в руку большую баночку и вначале прикладывал ее к каждой большой, а затем сразу к обеим маленьким («один, два... три»).

Вторая группа детей (23 человека) самостоятельно и правильно выполняла первую часть задания. Большинство детей действовало следующим образом: они прикасались пальцем к верхней части большой баночки, затем к нижней («один, два»), то же самое повторяли на второй баночке («три, четыре») и заканчивали счет на маленьких («пять, шесть»). Но во второй части задания они сделали ошибку — каждую маленькую баночку принимали за «один», как и большую (ответ «четыре» вместо «три»). Нужна была помощь экспериментатора и для некоторых учеников весьма существенная, чтобы они две маленькие баночки

187

приняли за «один». Наконец, остальные 10 испытуемых так и не смогли правильно выполнить это задание, хотя экспериментатор несколько раз демонстрировал им то обстоятельство, что большая баночка вмещает две маленькие баночки воды.

Подведем общие итоги выполнения всех заданий. Для большинства детей неожиданной была ситуация, требующая опосредствованного сравнения, и они самостоятельно разрешить ее не могли. Характерно, что лишь 12 учеников (из 53) уловили неопределенность вопроса «Сколько?». Многие же дети (34 человека) сразу обратились к пересчитываниюотдельных кубиков, хотя в материале отчетливо были выделены и «рядки». Все ученики свободно оперировали единицей счета, состоящей из нескольких кубиков, при непосредственном, прямом ее «наложении» на ряд, здесь «один» означал результат соотнесения этой единицы с частью ряда (задание 3). Однако без такого внешнего «наложения» ошибку в выделении «одного» сделали 40 человек. Они при числительном «один» ориентировались на отдельный кубик, хотя только что получили число «пять», работая с «групповыми элементами». Аналогичное затруднение в выделении части объекта через ее соотнесение с единицей измерения и числом наблюдалось и в 4-м задании (здесь ошибку допустили 25 человек).

Особый интерес представляют результаты выполнения 5-го задания. Все дети свободно оперировали меркой, равной маленькой баночке. Они не забывали того, что большая баночка равна двум маленьким. Многие дважды касались пальцем большой баночки, чтобы выделить ее части и обозначить их числительными («один, два...»).

Однако положение существенно изменилось при другой мерке: 33 человека сделали ошибку, принимая каждую маленькую баночку за «один», как бы забывая о том, что маленькая баночка не равна большой. Числительными опять-таки были обозначены отдельные элементы ряда без соотнесения с указанной единицей счета.

188

Таким образом, у многих обследованных нами первоклассников отчетливо наблюдалась тенденция к пересчитыванию лишь отдельных предметов, к отождествлению единицы стандартной совокупности («одного») с отдельным предметом самой пересчитанной совокупности, а также затруднения в выделении частей совокупности через соотнесение с фактической единицей счета и измерения¹.

Эти фактические особенности понятия числа, сложившегося у детей, являются следствием основных установок принятой методики обучения, теоретический смысл которых был подробно рассмотрен выше. В ситуациях, требующих понимания смысла единицы стандартной совокупности, многие дети не учитывали того обстоятельства, что такая единица обозначает отношение любой физической части объекта к любой наперед заданной мере. Вместе с тем именно такое понимание характеризует, в частности, полноценность ориентации ребенка в количественных отношениях с помощью чисел.