Бесконечнозначная логика как обобщение многозначной системы Поста

Исходя из системы Р_щ Поста, мы (А. Г.) строим бесконечнозначную систему G_х0. Значениями истинности являются 1 (ис­тина), 0 (ложь) и все дробные числа в интервале от 1 до 0,построенные в форме

и в форме где к — целочисленный показатель.

Это числа: 1, ½, ¼, ¾, 1/8, 7/8, 1/16, 15/16, …,

Операции: отрицание, дизъюнкция, импликация и эквиваленция в G_х0 — определены следующими равенствами:

1. Отрицание:

2. Дизъюнкция:

3. Конъюнкция:

4. Импликация:

5. Эквиваленция:

Отрицание в системе G_х0 является обобщением второго (сим­метричного) отрицания n-значной логики Поста. Посредством именно второго отрицания строятся конъюнкция, импликация и эквиваленция в системе G_х0. Система G_х0 построенная пред­ложенным способом, имеет множество тавтологий³⁴. Тавтологи­ей, например, является формула, гласящая, что отрицание р, повторенное два раза, даст первоначальное значение Тавтологиями в G_х0 будут четыре правила де Моргана.

Тавтологии в G_х0 являются тавтологиями в двузначной ло­гике, ибо бесконечнозначная система G_х0 является обобщением системы Р_я Поста, а последняя есть обобщение двузначной логики.

Для проверки правильности построения G_х0предложенным нами способом на основании системы G_х0 построили систему G_3, взяв в качестве значений истинности 1, 1\2, 0. Система G₃ совпадает с системой Р₃Поста. Из системы G _х0 также вычленяется 4-значная система G ₄, значениями истинности аргументов которой являются 1, ½, ¼, 0, а значениями истинности функции: 1, ½, ¼, ¾, 0.

Отрицание определяется по формуле

Конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция в G₄опре­делены табл. 23.

Таблица 23

В 4-значной системе G₄содержится классическая двузначная логика [при значениях истинности 1 («истина») и 0 («ложь»)], а также система Р₃Поста (при значениях истинности 1, 1/2, 0).

Аналогично из G_х0 вычленяется система G₅ ,а также G₆,,G₇ G₈и т. д.

Об интерпретации системы G_х0

В системе G_х0 между крайними значениями истинности — 1

(«истина») и 0 («ложь») лежит бесконечное число значений истин­ности: ¹/₂ ,¹/₄, ³/₄, ¹/₈, ⁷/₈ и т. д. Процесс познания осуществляется

таким образом, что мы идем от незнания к знанию, от непо­лного, неточного знания к более полному и более точному, от относительной истины к абсолютной. Абсолютная истина (в узком смысле) складывается из бесконечной суммы относитель­ных истин. Если значению истинности, равному 1, придать семан­тический смысл абсолютной истины, а значению 0 — значение лжи (заблуждения, отсутствия знания), то промежуточные значе­ния истинности отразят процесс достижения абсолютной истины как бесконечный процесс, складывающийся из познания относи­тельных истин, значениями которых в системе G_х0 являются ¹/₂ , ¼, ¾, ¹/₈, ⁷/₈... — и т. д. Чем ближе значение истинности перемен­ных (выражающих суждения) к 1, тем большая степень приближе­ния к абсолютной истине. Так осуществляется процесс познания от незнания к знанию, от явления к сущности, от сущности первого порядка к сущности второго порядка и т. д. Этот бес­конечный процесс познания и отражает бесконечнозначная систе­ма G_х0, построенная нами как обобщение двузначной классичес­кой логики, характеризующей процесс познания в рамках опери­рования предельными значениями истинности суждений — исти­на и ложь. Такова семантическая интерпретация бесконечнозначной системы G_х0 раскрывающая ее роль в процессе познания истины.

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА

Интуиционистская логика построена в связи с развитием ин­туиционистской математики. Интуиционистская школа основана в 1907 г. голландским математиком и логиком Л. Брауэром (1881—1966)³⁵, но некоторые ее идеи выдвигались и ранее.

Интуиционизм — философское направление в математике и логике, отказывающееся от использования абстракции актуаль­ной бесконечности, отвергающее логику как науку, предшест­вующую математике, и рассматривающее интуитивную ясность и убедительность («интуицию») как последнюю основу матема­тики и логики. Интуиционисты свою интуиционистскую матема­тику строят с помощью финитных (конечных) средств на основе системы натуральных чисел, которая считается известной из интуиции. Интуиционизм включает в себя две стороны — фило­софскую и математическую.

Математическое содержание интуиционизма изложено в ряде работ математиков. Ведущие представители отечественной шко­лы конструктивной математики отмечают положительное значе­ние некоторых математических идей интуиционистов.

В целом конструктивная математика существевно отличается от интуиционистской. Советский математик-конструктивист А. А. Марков (1903—1979) пишет о том, что конструктивное направление имеет точки соприкосновения с так называемой интуиционистской математикой. Конструктивисты сходятся с интуиционистами в понимании дизъюнкции и в силу этого призна­ют правильной данную Брауэром критику закона исключенного третьего. Вместе с тем конструктивисты считают неприемлемы­ми методологические основы интуиционизма.

В этом высказывании ясно разделены две стороны интуици­онизма — математическая и философская. Если первая сторона имеет рациональную часть (в этой связи предпочтительнее гово­рить об интуиционистской математике или интуиционистской логике, а не об интуиционизме), то вторая сторона интуициониз­ма (его методологические, идеалистические, философские осно­вы) совершенно неприемлема.

Брауэр считал, что чистая математика представляет собой свободное творение разума и не имеет никакого отношения к опытным фактам. У интуиционистов единственным источни­ком математики оказывается интуиция, а критерием приемлемо­сти математических понятий и выводов является «интуитивная ясность». Но интуиционист Гейтинг вынужден признаться в том, что понятие интуитивной ясности в математике само не является интуитивно ясным; можно даже построить нисходящую шкалу степеней очевидности.

Основой происхождения математики в конечном итоге является не какая-то «интуитивная ясность» — продукт сознания человека, а отражение пространственных форм и количественных отношений действительного мира. Гейтинг, как и Брауэр, в гносеологии тоже субъективный идеалист. Он утверждает, что для математической мысли характерно, что она не выражает истину о внешнем мире, а связана исключительно с умственными построениями³⁶.

Еще в 1936 г. советский математик А. Н. Колмогоров под­верг критике субъективно-идеалистические основы интуициониз­ма, заявив, что невозможно согласиться с интуиционистами, когда они говорят, что математические объекты являются про­дуктом конструктивной деятельности нашего духа, ибо матема­тические объекты являются абстракциями реально существую­щих форм независимой от нашего духа действительности. Интуиционисты не признают человеческую практику и опыт источни­ком формирования математических понятий, методов математи­ческих построений и методов доказательств.

Особенности интуиционистской логики вытекают из характер­ных признаков интуиционистской математики.

В современной классической математике часто прибегают к косвенным доказательствам. Но их почти невозможно ввести в интуиционистской математике и логике, так как там не призна­ются закон исключенного третьего и закон которые уча­ствуют в косвенных доказательствах.

Закон исключенного третьего для бесконечных множеств в ин­туиционистской логике не проходит потому, что знак отрицания) требует общего метода для решения любой проблемы или, более явно, общего метода, который по произ­вольному высказыванию р позволил бы получать либо доказате­льство р, либо доказательство отрицания р. Гейтинг считает, что так как интуиционисты не располагают таким методом, то они и не вправе утверждать принцип исключенного третьего. Пока­жем это на таком примере. Возьмем утверждение: «Всякое целое число, большее единицы, либо простое, либо сумма двух про­стых, либо сумма трех простых». Неизвестно, так это или нет, хотя в рассмотренных случаях, которых конечное число, это так. Существует ли число, которое не удовлетворяет этому требова­нию? Мы не можем указать такое число и не можем вывести противоречие из допущения его существования.»

Эта знаменитая проблема Гольдбаха (X. Гольдбах — мате­матик) была поставлена им в 1742 г. и не поддавалась решению около 200 лет. Гольдбах высказал предположение, что всякое целое число, большее или равное шести, может быть представ­лено в виде суммы трех простых чисел. Для нечетных чисел она была положительно решена только в 1937 г. советским матема­тиком — академиком И. М. Виноградовым; все достаточно большие нечетные числа представимы в виде суммы трех про­стых чисел. Это одно из крупнейших достижений современной математики. Но закон непротиворечия представители как инту­иционистской, так и конструктивной логик считают неограничен­но применимым.

Брауэр первый наметил контуры новой логики. Идеи Брауэра формализовал Гейтинг, в 1930 г. построивший интуиционистское исчисление предложений с использованием импликации, конъюн­кции, дизъюнкции и отрицания на основе 11 аксиом и двух правил вывода — модуса поненс (modus ponens) и правила под­становки. Гейтинг утверждает, что, хотя основные различия меж­ду классической и интуиционистской логиками касаются свойств отрицания, эти логики не совсем совпадают и в формулах без отрицания. Гейтинг отличает математическое отрицание от фак­тического: первое выражается в форме конструктивного постро­ения (выполнения) определенного действия, а второе говорит о невыполнении действия (а «невыполнение» чего-либо не являет­ся конструктивным действием). Интуиционистская логика имеет дело только с математическими суждениями и лишь с математическим отрицанием, которое определяется через понятие проти­воречия, а понятие противоречия интуиционисты считают перво­начальным, выражающимся или приводящимся в форме 1 = 2, Фактическое отрицание не связано с понятием противоречия.

Проблемами интуиционистской логики в нашей стране зани­маются К. Н. Суханов, М. И. Панов, А. Л, Никифоров и др.

КОНСТРУКТИВНЫЕ ЛОГИКИ

Конструктивная логика, отличная от логики классической, своим рождением обязана конструктивной математике. Конст­руктивная математика может быть кратко охарактеризована как наука о конструктивных процессах и нашей способности их осу­ществлять. В результате конструктивного процесса возникает конструктивный объект, т. е. такой объект, который задается эффективным (точным и вполне понятным) способом построения (алгоритмом)³⁷.

Конструктивное направление (в математике и логике) ограни­чивает исследование конструктивными объектами и проводит его в рамках абстракции потенциальной осуществимости (реализу­емости), т. е. игнорирует практическое ограничение наших воз­можностей построений в пространстве, времени, материале.

Между идеями конструктивной логики советских исследова­телей и некоторыми идеями интуиционистской логики (напри­мер, в понимании дизъюнкции, в отказе от закона исключенного третьего) имеются точки соприкосновения.

Однако конструктивная и интуиционистская логики имеют существенные отличия.

1. Различные объекты исследования. В основу конструктивной логики, которая является логикой конструктивной математики, положена абстракция потенциальной осуществимости, а в качест­ве объектов исследования допускаются лишь конструктивные объекты (слова в определенном алфавите).

В основу интуиционистской логики, являющейся логикой ин­туиционистской математики, положена идея «свободно становя­щейся последовательности» (т. е. последовательности, строящей­ся не по алгоритму), которую интуиционисты считают интуитив­но ясной.

2. Обоснование интуиционистской математики и логики дает­ся с помощью идеалистически истолкованной интуиции, а обо­снование конструктивной математики и логики дается на базе научного математического понятия алгоритма (например, нор­мального алгоритма А. А. Маркова) или эквивалентного ему понятия рекурсивной функции.

3. Различные методологические основы. Методологической основой конструктивного направления в математике отечествен­ные исследователи считают положения материализма, с позиций которого критерием истинности познания (в том числе и научно­го) является практика. Это положение сохраняет свою силу и для таких наук, как логика и математика, хотя здесь практика входит в процесс познания лишь опосредованно, в конечном счете.

Интуиционисты же, оставаясь в рамках субъективно-идеали­стической философии, считают источником формирования математических понятий и методов не человеческую практику, а пер­воначальную «интуицию», а критерием истинности в математи­ке — «интуитивную ясность».

4. Различные интерпретации**. А. Н. Колмогоров рассмат­ривал интуиционистскую логику как исчисление задач. А. А. Ма­рков определял логические связки конструктивной логики как прилагаемые к потенциально осуществляемым конструктивным процессам (действиям).

Интуиционистская логика Л. Брауэра и А. Гейтинга интер­претируется ими как исчисление предложений (высказываний), причем область высказываний у них ограничивается математи­ческими предложениями.

5. Отличие ряда логических средств. Отечественные предста­вители узко-конструктивной логики признают в качестве принци­па: если имеется алгоритмический процесс и удалось опроверг­нуть, что он продолжается бесконечно, то, следовательно, про­цесс закончится. Некоторые из представителей конструктивной логики доказывают его в уточненной форме.

Представители интуиционистской логики не признают этот принцип.