Дедукция и индукция в учебном процессе

Как в любом процессе мышления (научного или обыденного), так и в процессе обучения дедукция и индукция взаимосвязаны. «Индукция и дедукция связаны между собой столь же необ­ходимым образом, как синтез и анализ. Вместо того чтобы односторонне превозносить одну из них до небес за счет другой, надо стараться применять каждую на своем месте, а этого можно добиться лишь в том случае, если не упускать из виду их связь между собой, их взаимное дополнение друг друга»⁷.В индукции мы идем от посылок, выражающих знания меньшей степени общности, к новому суждению большей степени общности, от отдельных конкретных явлений к обобщению. В дедукдии ход рассуждения противоположный, т. е. от обобщений, выводов мы идем к отдельным конкретным фактам или суждениям меньшей степени общности.

В процессе обучения индуктивный и дедуктивный методы используются в единстве. Индуктивный метод используется тог­да, когда изучается новый материал, трудный для учащихся, и когда в результате беседы они смогут сделать сами определен­ное заключение, обобщение, сформулировать правило, теорему или некоторую закономерность. Индуктивный метод в большей мере активизирует учащихся, однако требует от учителя творчес­кого подхода и гибкости в преподавании. При этом затрачивает­ся больше времени на подведение учащихся к самостоятельному заключению.

Дедуктивный метод состоит в том, что учитель сам фор­мулирует общее суждение, выражающее какое-то правило, закон, теорему и т. д., а затем применяет его, иллюстрирует частными примерами, случаями, фактами, событиями и т. д. Соединение дедукции и индукции в процессе обучения дает два пути объясне­ния материала: «Индуктивно-дедуктивный путь объяснения материала, когда последнее начинается с индукции и переходит затем в дедукцию (возможно, при значительном перевесе индук­ции), и путь дедуктивно-индуктивный, когда сообщение уча­щимся нового осуществляется самим учителем в виде готового, сформулированного им правила или положения с последующими комментариями»⁸.

К. Д, Ушинский высоко ценил применение индукции при изучении грамматики. На специально подобранных примерах он развивал у детей умение подмечать закономерности языка и де­лать самостоятельные обобщения, формулировать правила, что имело огромное значение для развития мышления младших школьников. Дедукцию Ушинский ценил не меньше индукции и большую роль в обучении языку отводил последующим упра­жнениям, направленным на подыскание самими учащимися при­меров на только что сформулированное правило. Известный советский методист А. В. Текучев, обобщив данные эксперимен­тальной проверки применения этих двух способов изучения мате­риала, сделал вывод о том, что в работе над темой «Однородные члены предложения» (общее понятие, союзы при однородных членах, обобщающие слова) с одинаковым успехом могут быть использованы оба пути; изучение же правил постановки знаков препинания при однородных членах предпочтительнее проводить дедуктивно-индуктивным способом⁹. Эти же приемы использу­ются не только на уроках родного языка, но и на уроках матема­тики, истории, физики и др. Соответствующая методика преподавания школьного предмета рекомендует учителям более конкретное использование этих методов в работе над отдельными темами учебной программы.

В математике имеется много приверженцев как индуктивного, гак и дедуктивного метода. Например, Л. Д. Кудрявцев полага­ет, что «на первых этапах обучения надо отдавать предпочтение индуктивному методу, постепенно подготавливая и используя дедуктивный подход»¹⁰, ибо индуктивные методы изложения материала, при которых происходит последовательное обобще­ние понятий, способствуют более активному усвоению материа­ла. Далее он отмечает: «В последние годы наблюдается стремле­ние заменять по возможности индуктивный подход дедуктивным, целесообразность этого часто представляется сомнительной»¹¹.

Однако как при индуктивном, так и при дедуктивном методе при изложении новых понятий или новых общих теорий необ­ходимо отводить значительное время на конкретные иллюст­рации, на разбор примеров, анализ частных ситуаций. От самого учителя зависит оптимальный выбор методов, позволяющий на высоком уровне самостоятельности организовать познаватель­ную деятельность учащихся.

В математике используются различные виды индукции: пол­ная, неполная и математическая. Применение математической индукции покажем на следующем примере. Надо определить сумму л первых нечетных чисел:

1+3 + 5 + 7 + ... + (2n-1)¹².

Обозначив эту сумму через S (n), положим n = 1, 2, 3, 4, 5; тогда будем иметь:

S(1)=1,

S (2)= 1+3=4,

S (3)=1+3 + 5 = 9,

S (4)=1+3 + 5 + 7 = 16,

S (5)=1 + 3 + 5+ 7 + 9=25.

Мы наблюдаем интересную закономерность: при n = 1, 2, 3, 4, 5 сумма л последовательных нечетных чисел равна n². Но заклю­чение по аналогии, что это имеет место при любом л, сделать нельзя, ибо оно может оказаться ошибочным. Применим метод математической индукции, т. е. предположим, что для какого-то числа л наша формула верна, и попытаемся доказать, что Тогда она верна и для следующего числа n +1. Итак, мы полагаем, что S(n)-1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)=n². Вычислим S(n+1)=1+3 + 4+ 5 + ... +(2n- 1) + (2n +1). Но по предположению сумма n первых слагаемых равна л², следовательно, S(n+1) = n² + (2n + 1) = (n+1)².Итак, предположив, что S(n) — n², мы доказали, чтo S (n+ 1) = (n +1)². Но мы выше проверили, что эта формула верна для n = 1, 2, 3, 4, 5, следовательно, она будет верна и для n=6₎ и для n=7и т. д. Формула считается доказанной для любого числа слагаемых.

Этим же методом доказывается, что сумма n первых натура­льных чисел, обозначенная S₁(n), равна т. е.

В математическом мышлении присутствуют не только логи­ческие рассуждения, но и математическая интуиция, фантазия и чувство гармонии, позволяющие предвидеть ход решения зада­чи или доказательства теоремы. Однако в математике, пишет Л. Д. Кудрявцев, «интуитивные соображения и правдоподобные рассуждения отдаются на суд холодного рассудка для их изучения, доказательства или опровержения». Истинность суждения там доказывается «не проверкой его на ряде примеров, не прове­дением ряда экспериментов, что не имеет для математики до­казательной силы, а чисто логическим путем, по законам фор­мальной логики»¹⁴. В ходе обучения математике предполагается, что «использование знаний, математического аппарата, интуи­ции, чувства гармонии, фантазии, умения думать, логики, экс­перимента происходит не последовательно по этапам — все это взаимодействует между собой в течение всего процесса...»¹⁵. В результате этого взаимодействия у учащихся вузов и средних учебных заведений формируется, воспитывается математическая культура. Итак, единство дедукции и индукции в обучении и в на­учном творчестве своеобразно и ярко проявляется в математи­ке — науке, значительно отличающейся от естественных и от общественных наук как по методам доказательства, так и по методике передачи знаний учащимся.

Выше мы приводили типы и примеры сокращенных умозак­лючений (категорического силлогизма, условных, разделитель­ных и др.).

В ходе обучения математике учащиеся приобретают способ­ность к свертыванию процесса математического рассуждения при решении задач знакомого типа — об этом писали еще известные русские методисты С. И. Шохо-Троцкий (в 1916 г.) и Ф. А. Эрн (в 1915 г.). Они отмечали, что «при многократном решении однотипных задач учащимися отдельные этапы мыслительного процесса сокращаются и перестают осознаваться, но когда нуж­но, учащийся может вернуться к полному развернутому рассуж­дению»¹⁶. Методисты-математики П. А. Шеварев и Н. А. Менчинская в начале 40-х годов также установили соответственно на алгебраическом и арифметическом материале, что «наряду с развернутыми умозаключениями в умственной деятельности школьников при решении задач занимают определенное место и сверну­тые умозаключения, когда ученик не осознает правила общего положения, в соответствии с которыми он фактически действу­ет... не выполняет всей той цепи соображений и умозаключений, которые образуют полную, развернутую систему решения»¹⁷. Сокращение процесса рассуждения возникает благодаря упра­жнениям, причем способные к математике учащиеся переходят к свернутым рассуждениям быстро, средние — медленнее, у не­способных же не замечалось сколько-нибудь заметного свертыва­ния даже в результате многих упражнений. В. А. Крутецкий высказывает такую гипотезу: «Вообще никогда и нигде, вероят­но, человек не мыслит до конца развернутыми структурами»¹⁸. Однако способные ученики мыслят свернутыми структурами, сокращенными умозаключениями при решении не только одно­типных, но и новых задач; при этом по просьбе экспериментатора эти учащиеся восстанавливали свернутые структуры до полной (с их точки зрения) структуры. «Свернутые» мыслительные струк­туры способствуют более быстрой переработке информации, ускорению процесса решения задач, упрощают выполнение сложных операций.

Изучая компоненты структуры математических способностей школьников, В. А. Крутецкий проанализировал высказывания ряда ученых-математиков и преподавателей математики средних школ по этому вопросу. Приблизительно 38% опрошенных това­рищей обратили внимание на свертывание процесса рассуждения у способных учащихся. Приведем эти высказывания. «Процесс рассуждения у способных учащихся сокращен и никогда не раз­вернут до полной логической структуры. Это очень экономно, и в этом его значение»; «Я часто наблюдал, как мыслят способ­ные ученики, — для учителя и класса это развернутый и последо­вательный во всех звеньях процесс, а для себя — это отрывоч­ный, беглый, сокращенный, прямо стенограмма мысли»¹⁹.

Перечисляя качества ума этих учащихся, почти все опрошен­ные учителя математики и математики-ученые (98%) отмечали способность к обобщению. «Способный ученик быстро обобщает не только математический материал, но и метод рассуждения, доказательства»; некоторые из опрошенных указывали на спосо­бность и даже своеобразную «страсть» к обобщению, способ­ность «видеть общее в разных явлениях», «способность прийти от частного к общему»²⁰.

Если проанализировать знания, умения и навыки учащихся, относящиеся к использованию дедукции и индукции в процессе обучения по дисциплинам нематематического профиля, то наря­ду с положительными моментами можно выделить и ряд недо­статков. Прежде всего недостаточно развито умение использовать дедуктивный ход рассуждений: дав верное определение учащийся не всегда справляется с анализом конкретного произведения под углом зрения этого определения, у некоторых yчащихся отсутствуют выводы по теме сочинения, в сознании учащихся иногда имеет место разрыв между фактологическими и те­оретическими знаниями и т. д.

Отмеченные положительные моменты и недостатки в знаниях учащихся свидетельствуют о важном значении умелого сочетания индукции и дедукции в ходе изложения, закрепления и проверки усвоения школьного материала. Общих рецептов по поводу того, как, в какой мере использовать дедуктивный или индуктивные метод в обучении, дать нельзя. В связи с этим можно отметить высказывание Л. Д. Кудрявцева о методических принципах пре­подавания математики: «К сожалению, не существует точных рецептов, как надо преподавать различные разделы математики. Методика преподавания математики не наука, а искусство, Правда, это вовсе не означает, что методике преподавания мате­матики не надо учить. Всякому искусству можно и должно учить: учатся и художники, и музыканты, и артисты, и писатели».

На основе разбора ошибок, допускаемых в педагогическом процессе, можно еще раз сделать вывод о творческом характере применения различных методов обучения и воспитания, о недо­пустимости шаблонного подхода в процессе обучения.

УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ ПО АНАЛОГИИ И ЕГО ВИДЫ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АНАЛОГИЙ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ

Термин «аналогия» означает сходство двух предметов²² (или двух групп предметов) в каких-либо свойствах или отношениях. Умозаключение по аналогии — один из самых древних видов умозаключения, присущий человеческому мышлению с самых ранних ступеней развития.

Аналогия — умозаключение о принадлежности предмету определенного признака (т. е. свойства или отношения) на основе сходства в признаках с другим предметом. В форме такого умозаключения осуществляется приписывание предмету свойства или перенос отношений.

Посредством аналогии осуществляется перенос информации с одного предмета (модели) на другой (прототип). Посылки относятся к модели, заключение — к прототипу. В аналогии между Землей (модель) и Марсом (прототип), зная, что на Земле существует жизнь, делаем вывод о том, что и на Марсе, вероятно, есть жизнь.

В зависимости от характера информации, переносимой с од­ного предмета на другой (с модели на прототип), аналогия делится на два вида: аналогия свойств и аналогия отношений.

В аналогии свойств рассматриваются два единичных предмета

(или два множества однородных предметов, два класса), а пере­носимыми признаками являются свойства этих предметов. Схема аналогии свойств в традиционной логике такова:

Предмет А обладает свойствами а, b, с, d, e,f.

Предмет В обладает свойствами а, b, с, d.

___________________________________________

Вероятно, предмет В обладает свойствами е, f.

Примером аналогии свойств может служить аналогия симп­томов протекания той или иной болезни у двух разных людей (два единичных предмета) или у двух групп людей (например, взрослых и детей). Исходя из сходства признаков болезни (симп­томов), врач ставит диагноз.

Аналогия свойств двух предметов иногда дает не только правдоподобное, но даже достоверное заключение. Например, обнаружено, что геологическая структура Южно-Африканского плоскогорья имеет много общего с геологической структурой Восточно-Сибирской платформы. В алмазных жилах Южной Африки находили голубоватый минерал. Случайно обнаружили такой же голубоватый минерал в устье одной из речек Якутии. Сделали по аналогии заключение, что, вероятно, и в Якутии есть месторождение алмазов. Это заключение подтвердилось. Теперь в Якутии осуществляется промышленная добыча алмазов²³.

В аналогии отношений информация, переносимая с модели на прототип, характеризует отношения между двумя предметами. Пусть имеется отношение (aRb) и отношение (mR₁n).Сходными, аналогичными выступают отношения R и R₁, но а не аналогично m, а b не аналогично n. Примером является предложенная Резерфордом планетарная модель строения атома, которую он по­строил на основании аналогии отношения между Солнцем и пла­нетами, с одной стороны, и ядром атома и электронами, которые удерживаются на своих орбитах силами притяжения ядра, — с другой. Здесь R — взаимодействие противоположно направлен­ных сил — сил притяжения и отталкивания — между планетами и Солнцем, а R₁— взаимодействие противоположно направлен­ных сил — сил притяжения и отталкивания — между ядром ато­ма и электронами.

Кроме деления на два вида — аналогия свойств и аналогия отношений — по характеру выводного знания (по степени достове­рности заключения) умозаключения по аналогии можно разделить на три вида: 1) строгая аналогия, дающая достоверное заключе­ние; 2) нестрогая аналогия, дающая вероятное заключение; 3) ложная (вульгарная) аналогия, дающая ложное заключение.

Строгая аналогия

Характерным признаком, отличающим строгую аналогию от нестрогой и ложной, является наличие необходимой связи общих признаков с переносимым признаком. Схема строгой аналогии такова:

Предмет А обладает признаками а, b, с, d, e.

Предмет В обладает признаками а, b, с, d.

Из совокупности признаков а, b, с, d необходимо следует е.

______________________________________________

Предмет В обязательно обладает признаком е.

Если из совокупности признаков М={а, b, с, d} закономерно, необходимо следует признак е, то эту зависимость можно запи­сать так:

(Здесь — знак вывода.) Структура строгой аналогии подобна структуре правила modus ponens условно-категорического умозаключения и поэтому дает достоверный, а не правдоподоб­ный вывод.

Строгая аналогия применяется в научных исследованиях, в математических доказательствах. Так, например, формулиров­ка признаков подобия треугольников основана на строгой анало­гии. «Если три утла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники подобны» (подо­бие — вид аналогии).

На свойствах умозаключения по строгой аналогии основан метод моделирования. Научные аналогии позволяют использо­вать имеющийся к настоящему времени опыт, при этом кроме формально-логических принципов проведения аналогий необхо­димо учитывать и методологическое требование конкретности истины, рассмотрения явления в конкретно-исторической обста­новке.

При овладении управляемой термоядерной реакцией и созда­нии термоядерной энергетики люди получат практически неог­раниченные топливные ресурсы. В природе высокотемпературная плазма в естественном виде существует в атмосфере звезд. «Для управляемого термоядерного синтеза необходимо необычное в земных условиях солнечное вещество — водородная плазма с температурой около ста миллионов градусов. На Солнце она удерживается гравитационным полем, а на Земле ее можно дер­жать в повиновении магнитным полем. Но ведь по воздействию на частицы плазмы магнитное поле совершенно не похоже на гравитационное...»²⁴

Ученые нашей страны предложили способ решения этой про­блемы. Созданная ими теория равновесия и устойчивости плаз­мы уже используется при проектировании термоядерных устано­вок.

Нестрогая аналогия

В отличие от строгой аналогии нестрогая аналогия дает не достоверное, а лишь вероятное заключение. Если ложное сужде­ние обозначить через 0, а истину — через 1, то степень вероят­ности заключений по нестрогой аналогии лежит в интервале от 1 до 0, т. е. 1>Р(а)>0, где Р (а) — обозначение вероятности заключения по нестрогой аналогии.

Примерами нестрогой аналогии являются, в частности, следу­ющие: испытание модели корабля в бассейне и заключение о том, что настоящий корабль будет обладать теми же характеристи­ками, испытание прочности моста на модели, затем построение настоящего моста. При строгом выполнении всех правил постро­ения и испытания модели этот способ умозаключения может приближаться к строгой аналогии и давать достоверное заключе­ние, однако чаще заключение бывает вероятным. Разница в мас­штабах, между моделью и прототипом (самим сооружением) иногда бывает не только количественной, но и качественной. Так же не всегда можно учесть различие между лабораторными условиями испытания модели и естественными условиями рабо­ты самого сооружения, в результате чего возникают ошибки.

Для повышения степени вероятности заключений по нестро­гой аналогии следует выполнить ряд условий:

1) число общих признаков должно быть возможно большим;

2) сходные признаки должны быть существенными. Аналогия на основе сходства несущественных признаков типична для ненауч­ного и детского мышления. Например, дети могут съесть ядови­тые ягоды на основе их внешнего сходства со съедобными;

3) общие признаки должны быть по возможности более раз­нородными; 4) необходимо учитывать количество и существен­ность пунктов различия. Если предметы различаются в сущест­венных признаках, то заключение по аналогии может оказаться ложным; 5) переносимый признак должен быть того же типа, что и сходные признаки.

Ложная аналогия

При нарушении указанных выше правил аналогия может дать ложное заключение, т. е. стать ложной. Вероятность заключения по ложной аналогии равна 0 (Р (а) = 0). Ложные аналогии иногда делаются умышленно, с целью ввести противника в заблуждение, и тогда они являются софистическим приемом, в других случаях они делаются случайно, в результате незнания правил постро­ения аналогий или отсутствия фактических знаний относительно предметов А и В и их свойств, на основании которых осуществля­ется аналогия.

Подобную ошибку совершали в XIX в. сторонники вульгар­ного материализма Л. Бюхнер, К. Фохт и Я. Молешотт, которые, проводя аналогию между печенью и мозгом, утверждали, что мозг выделяет мысль так же, как печень выделяет желчь.

Обобщим сказанное о строгой, нестрогой и ложной аналоги­ях. Если Р (а)=1, т. е. заключение получается достоверным, то это будет строгая аналогия. Если 1 > Р (а) > 0, т. е. заключение будет вероятным, то это будет нестрогая аналогия. Если Р (а) = 0, т. е. заключение — ложное суждение, то это будет ложная анало­гия.

Итак, рассмотрены три вида аналогии в зависимости от хара­ктера выводного знания, т. е. по степени достоверности заключе­ния: получено истинное заключение, определенная степень веро­ятности заключения или ложное заключение. Вероятностные за­ключения тем ценнее, чем их вероятность ближе к 1 (истине).

Мы полагаем, что это деление на три вида в зависимости от степени достоверности заключения можно проследить и на ин­дуктивных умозаключениях, а позднее, в теме «Гипотеза», — и на гипотезах.

В теме «Гипотеза» мы увидим, что существуют гипотезы, превращающиеся в научную теорию, вероятность такой гипотезы равна 1; степень вероятности других гипотез 1 >Р (a)>0; вероят­ность ложных гипотез, которые являются ложными суждениями или ложными теоретическими построениями, равна 0 (т. е. P(а) = 0).