Самостоятельная работа: Выпишите аналитический выражения функций 2-х переменных

Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики

Пусть F(х₁, х₂ .....х _n ) произвольная функция алгебры логики n переменных.

Рассмотрим формулу

которая составлена следующим образом: каждое слагаемое этой логической суммы представляет собой конъюнкцию, в которой первый член является значением функции F при некоторых определенных значениях переменных х₁ , х ₂ ,..., х _n , остальные же члены конъюнкции представляют собой переменные или их отрицания. При этом под знаком отрицания находятся те и только те переменные, которые в первом члене конъюнкции имеют значение 0. Вместе с тем формула содержит в виде логических слагаемых всевозможные конъюнкции указанноrо вида.

Ясно, что формула полностью определяет функцию F(х₁, х₂ .....х _n ). Иначе говоря, значения функции F и формулы совпадают на всех наборах значений переменных х₁, х₂ .....х _n

Вид этой формулы может быть значительно упрощен. если в ней отбросить те логические слагаемые,

в которых первый член конъюнкции имеет значение 0 (и, следовательно. вся конъюнкция имеет значение 0). Если же в логическом слагаемом первый член конъюнкции имеет значение 1, то

, этот член конъюнкции можно не выписывать.

Таким образом, в результате получается формула , которая содержит только элементарные переменные высказывания и обладает следующими свойствами:

1) Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(х₁, х₂ .....х _n ).

2) Все логические слагаемые формулы различны.

3) Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одновременно переменную и ее отрицание.

4) Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.

Перечисленные свойства будем называть свойствами совершенства или. коротко. свойствами (С)..

Нормальные формы.

Определение 1. Элементарной конъюнкцией n переменных называется конъюнкция переменных или их отрицаний.

Элементарная конъюнкция n переменных может быть записана в виде:

Определение 2. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы А называется равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций.

Для любой формулы алгебры логики путем равносильных преобразований можно получить ее ДНФ. причем не единственную. Среди многочисленных ДНФ А существует единственная ДНФ А, для которой выполняются перечисленные выше четыре свойства совершенства (свойства (С)). Такая ДНФ А называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой формулы А (СДНФ А ).

Способы приведения формулы к СДНФ.

1. СДНФ А может быть получена с помощью таблицы истинности.

Пример1 . Пусть функция f(x₁, x₂, x₃) задана таблицей истинности. Запишем ее в виде СДНФ.

x1	x2	x3	f

Выберем наборы, на которых функция равна 1. Их три: (0, 1, 0), (1, 0, 0) и (1, 1, 1), поэтому

f(x₁, x₂, x₃)º &x₂& Úx₁& & Úx₁&x₂&x_3.

2. Другой способ получения СДНФ формулы А основан на равносильных преобразованиях формулы и состоит в следующем:

Алгоритм приведения формулы к СДНФ.

1. Путем равносильных преобразований формулы А получают одну из ДНФ А.

2. Если в полученной ДНФ А входящая в нее элементарная конъюнкция В не содержит переменную x_i, то используя равносильность В&(х_i Ú ) ºВ, элементарную конъюнкцию В заменяют на две элементарных конъюнкции (В& х_i) и (В& ). каждая из которых содержит переменную х_i.

3. Если в ДНФ А входят две одинаковых элементарных конъюнкции В, то лишнюю можно отбросить, пользуясь равносильностью В ÚВ º В .

4. Если некоторая элементарная конъюнкция В, входящая в ДНФ А. содержит переменную и ее отрицание , то элементарная конъюнкция В будет равна 0, и В можно исключить из ДНФ А, как

нулевой член дизъюнкции.

5. Если некоторая элементарная конъюнкция, входящая в ДНФ А, содержит переменную Х; дважды, то одну переменную можно отбросить.

Пример2:Следующую формулу привести к СДНФ, предварительно приведя её равносильными преобразованиями к ДНФ: А=

Решение:

Определение 3. Элементарной дизъюнкцией n переменных называется дизъюнкция переменных или их отрицаний. Элементарная дизъюнкция n переменных может быть записана в виде:

Определение 4. Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) формулы А называется равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций.

Для любой формулы алгебры логики путем равносильных преобразований можно получить ее КНФ, причем не единственную.

Способы приведения формулы к СКНФ.

1. СКНФ может быть получена с помощью таблиц истинности.

Пример3. Пусть f(x₁, x₂, x₃) = x₁ (x₂ (x₃ ~ x₁)). Представим ее в виде КНФ, для этого получим таблицу истинности.

x1	x2	x3	x3~x1	x2 (x3~x1)	f
0	0	0	1	1	1

(Выберем наборы, на которых функция принимает значение 0). Функция равна нулю только на наборе (1, 1, 0), поэтому f(x₁ x₂ x₃)= Ù Ù x₃.

2. Другой способ получения СКНФ, использующий равносильные преобразования, состоит в следующем:

Алгоритм приведения к СКНФ.

1. Путем равносильных преобразований формулы А получают одну из КНФ А .

2. Если в полученной КНФ А входящая в нее элементарная дизъюнкция В не содержит переменную х_i то используя равносильность ВÚ (х_i & ) ºВ. элементарную дизъюнкцию В заменяют на две элементарные дизъюнкции В Úх_i и ВÚ . каждая из которых содержит переменную х_i .

3. Если в КНФ А входят две одинаковых элементарных дизъюнкции В, то лишнюю можно отбросить, пользуясь равносильностью В& В º В .

4. Если не которая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ А. содержит переменную х_i дважды, то лишнюю можно отбросить. пользуясь равносильностью xÚxºx ; .

5. Если некоторая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ А . содержит переменную и ее отрицание. то элементарная дизъюнкция имеет значение 1, а поэтому ее можно отбросить. как единичный член конъюнкции.

Пример4: Следующую формулу привести к СКНФ, предварительно приведя её равносильными преобразованиями к КНФ: А= .

Решение: