Третья игра – два дополнительных раунда

Оба братца тепло поздравили Алису: ведь она выиграла подряд все раунды до единого!

– Прежде чем ты отправишься дальше, – сказал с лукавой улыбкой Труляля, – мы с братцем хотим предложить тебе две сверхнеобыкновенные игры, каждая по одному раунду. Карты нам больше не понадобятся, мы будем играть знаками. Играть будем так. Мы с братцем заходим в домик. Потом один из нас выходит первым, а второй – немного погодя с большим знаком (вроде дорожного), на котором вопрос будет написан такими крупными буквами, что и ты и тот, кто вышел первым, легко разберете его издали. Прочитав вопрос, тот из нас, кто вышел первым, отвечает знаком, рисуя в воздухе квадрат или круг. Один из этих знаков означает «да», другой – «нет», но, какой из знаков что означает, мы тебе не скажем. Знак, означающий «да», нарисован на оборотной стороне того знака с вопросом, но мы не покажем тебе ее, пока ты не скажешь, кто из нас Труляля и кто Траляля. Разумеется, тот из нас, кто вышел первым (ему предстоит отвечать на вопрос), видел, что нарисовано на оборотной стороне знака, и поэтому знает, какой знак означает «да», а какой «нет». Но, отвечая на вопрос на языке знаков, он может не только говорить правду, но и лгать!

– Боюсь, что я не совсем вас понимаю, – сказала Алиса.

– Я имею в виду, что если, например, круг означает «да», то тот из нас, кто говорит правду, в ответ на вопрос нарисует в воздухе круг, а тот, кто лжет, нарисует квадрат.

– Вот теперь все понятно! – обрадовалась Алиса.

– Прекрасно! Тогда начнем! Да, хочу предупредить тебя еще вот о чем. Мы с братцем договорились, что если на вопрос отвечает Траляля, то он лжет, а если Труляля, то он говорит правду.

Кто есть кто?

Оба братца зашли в домик. Почти сразу же один вышел и молча встал рядом с Алисой. Вскоре из домика появился и второй братец со «знаком», на котором было написано:

Квадрат ли начерчен на оборотной стороне этого знака?

Братец, стоявший рядом с Алисой, в ответ нарисовал в воздухе круг.

Кто из братцев Траляля?

О чем спросила Алиса?

– Поздравляем! – закричали братцы. – Ты опять выиграла.

– А теперь самая интересная из всех игр! – сказал Труляля. – Выиграешь ее – получишь специальный приз!

– На этот раз, – продолжал он, – мы не договорились между собой, кто из нас лжет и кто говорит правду. Поэтому мы поступим так. Мы оба войдем в домик и оба выйдем. У каждого из нас в кармане будет по карте красной или черной масти. Тот, у кого карта красной масти, говорит правду. Тот, у кого карта черной масти, лжет. Кроме того, у одного из нас в другом кармане припрятан специальный приз. Угадаешь, у кого из нас приз, получишь его. Кто из нас Труляля и кто Траляля, на этот раз неважно. Твое дело угадать, у кого приз. Когда мы выйдем из домика, ты укажешь на одного из нас и задашь ему вопрос, только такой, чтобы на него можно было ответить «да» или «нет». Тот, кому ты задашь вопрос, ответит тебе знаком. Он нарисует в воздухе квадрат или круг. Но вот что важно: если приз у него, то квадрат означает «да», а круг означает «нет». Если же приз не у него, то квадрат означает «нет», а круг означает «да». К тому же он может либо говорить правду, либо лгать – в зависимости от того, какой масти у него карта – красной или черной.

– А какой вопрос я должна ему задать? – поинтересовалась Алиса.

– А это уж тебе знать лучше! – торжествующе ответил Труляля. – Выбрать правильный вопрос – самое трудное в?той игре. Сумеешь придумать правильный вопрос – получишь приз. Непременно!

– Боюсь, что без карандаша и бумаги на этот раз не обойтись, – заметила Алиса. – Кроме того, отправляясь в Зазеркалье, я забыла взять с собой мою записную книжку.

Труляля быстро сбегал в дом и принес блокнот и карандаш.

– Мы с братцем побудем в домике, пока ты придумаешь свой вопрос. Когда у тебя все будет готово, ты нас позовешь и мы выйдем. Времени у тебя предостаточно – думай, сколько хочешь.

Братцы отправились к себе в домик, а Алиса принялась напряженно размышлять над задачей. Наконец она закричала:

– Готово!

Братцы вышли из домика, Алиса задала одному из них свой вопрос, и тот ответил, нарисовав в воздухе либо квадрат, либо круг. Тогда Алиса указала пальцем на одного из братцев и сказала:

– Приз у вас!

Приз действительно оказался у него. Какой вопрос, позволивший сразу определить, у кого находится приз, придумала Алиса?

– Прими еще раз наши поздравления! – сказали оба братца. – Ты безусловно заслужила свой приз!

С этими словами они вручили Алисе приз, изящно упакованный в бумагу и перевязанный ленточкой. Алиса принялась разворачивать упаковку, но напрасно: чем больше она разворачивала, тем плотнее становилась упаковка!

– Разве ты забыла, что находишься в Зазеркалье? – спросил один из братцев.

– Ах да! – вспомнила Алиса и принялась заворачивать сверток в упаковочную бумагу и завязывать ленточку. Правильный подход не замедлил сказаться: словно по волшебству, сверток сам собой развернулся!

Призом были карандаш и новенькая очень красивая записная книжка.

Глава 8

И это самое прекрасное в ней!

«Вот это действительно было интересно! – сказала про себя Алиса вскоре после того, как она рассталась с Траляля и Труляля. – Гораздо лучше, чем сдавать эти противные скучные экзамены! И записная книжечка такая красивая! Как раз то, что мне нужно!»

Подумав так, Алиса присела на пенек и некоторое время занималась тем, что заносила в свою новенькую записную книжку различные приключения, которые ей хотелось запомнить, в особенности логические игры, в которые она играла с Траляля и Труляля. Заметок оказалось так много, что Алиса исписала целых девять страничек.

«А теперь в путь, – подумала Алиса, поднимаясь с пенька. – Интересно, встречу ли я Белого Рыцаря? Мне бы очень хотелось повидаться с ним. Мне так много нужно ему рассказать!»

Вскоре Алиса увидела Шалтая-Болтая. Он сидел на том же самом месте на той же самой стене. Увидев Алису, он ухмыльнулся во весь рот – от уха до уха.

– Чистая работа! Чисто сделано! – сказал он.

– Что чисто сделано? – спросила Алиса.

– Как что? Ловко ты одурачила этих Королев с их двенадцатым вопросом! Поделом им! Нечего приставать к тебе с этим дурацким экзаменом!

– Как, вы об этом знаете? – удивилась Алиса.

– Должен заметить, однако, – начал Шалтай-Болтай, – что если бы я устроил тебе экзамен, то…

– Пожалуйста, не нужно никаких экзаменов! – поспешно перебила его Алиса.

– Если бы я устроил тебе экзамен, – повторил Шалтай-Болтай, – то… Как ты думаешь, что бы я сделал?

– Не имею ни малейшего представления, – ответила Алиса с некоторым беспокойством.

– Так знай же, дитя мое, что если бы я вздумал устроить тебе экзамен (заметь, что я и не думаю делать этого!), но если бы я все же вздумал устроить тебе экзамен, то задавал бы тебе только такие вопросы, на которые нет ответа! Такие вопросы лучше всего, уж поверь мне!

– А какой смысл задавать вопросы, на которые нет ответа? – спросила Алиса.

– Именно такие вопросы и заставляют думать, – ответил Шалтай-Болтай.

– Думать о чем? – спросила Алиса.

– О том, каким мог бы быть ответ! – ответил Шалтай-Болтай.

– Но вы же сами сказали, если мне не послышалось, что ответов на эти вопросы нет.

– Нет, – подтвердил Шалтай-Болтай, – и это самое прекрасное в них!

Алиса немного подумала, но, как она ни старалась, не смогла придать хоть какой-нибудь смысл словам Шалтая-Болтая.

– А вы не могли бы привести хоть один пример такого вопроса? – попросила Алиса.

– Вот теперь ты говоришь как разумный ребенок, – похвалил ее Шалтай-Болтай. – Почему же не могу? Хочешь, я, не сходя с места, придумаю тебе два примера? С какого ты предпочла бы начать?

– Откуда я знаю? – сказала Алиса. – Я же не знаю, какие примеры вы придумаете. Как же я могу сказать, с какого примера лучше начать?

– Ты абсолютно права! – просиял Шалтай-Болтай. – Вот это то, что я называю логически мыслящим ребенком! Я приведу сейчас замечательный пример вопроса, на который нет ответа. Вот как он звучит:

– Можно ли считать «нет» правильным ответом на этот вопрос?

– На какой вопрос? – спросила Алиса.

– На вопрос, который я только что задал! – пояснил Шалтай-Болтай.

Алиса немного подумала.

– Нет, – сказала она, – конечно же, нет!

– Вот ты и попалась! – с гордостью заявил Шалтай-Болтай.

– Как? – не поверила Алиса.

– Суди сама, дитя мое! На мой вопрос ты ответила «нет», правильно?

– Правильно! – согласилась Алиса.

– А разве ты ответила правильно? – спросил Шалтай-Болтай.

– Конечно! – уверенно ответила Алиса. – Какие могут быть сомнения?

– Вот тут-то ты и попалась! – заявил Шалтай-Болтай. – Так как ты ответила «нет» и ответила правильно, то на заданный вопрос правильного ответа не существует!

– Именно это я и утверждаю! – сказала Алиса.

– Не совсем так! Если «нет» – правильный ответ, то когда я спрашиваю тебя, можно ли считать его правильным, ты должна была бы ответить «да», а не «нет»!

Алиса задумалась, и внезапно ей все стало ясно.

– Ну конечно же! – закричала она. – Вы абсолютно правы! Я должна была бы ответить «да», а не «нет»!

– Вот ты и опять попалась! – торжествующе заметил Шалтай-Болтай.

– Почему? – в изумлении воскликнула Алиса.

– Конечно, попалась, дитя мое! – «Да» не может быть правильным ответом!

– Почему? – спросила Алиса, удивленная еще больше, чем прежде.

– Ответить «да» – значит утверждать, что «нет» – правильный ответ. Но если «нет» – правильный ответ, то ты должна была бы дать его вместо того, чтобы давать неправильный ответ «да»!

– Ах так! – сказала Алиса, окончательно запутавшись. – Выходит, я правильно ответила в первый раз. Значит, на ваш вопрос мне все же следовало ответить «нет».

– Вовсе не следовало! – резко оборвал ее Шалтай-Болтай. – Я же доказал тебе это!

– Сдаюсь! – устало сказала Алиса. – А какой ответ правильный?

– Правильного ответа не существует, – торжествующе заявил Шалтай-Болтай, – и это – самое прекрасное в таких вопросах!

– А откуда вы берете эти головоломные вопросы? – спросила Алиса.

– Я придумываю их сам! – с гордостью ответил Шалтай-Болтай.

– Разве я не прав?

– Правы в чем? – спросила Алиса.

– Разве такие вопросы не заставляют думать?

– Еще как заставляют! – призналась Алиса. – У меня от вашего вопроса чуть не разболелась голова! Уж не парадокс ли ваш вопрос?

– Вот именно, дитя мое! Великолепный пример парадокса, и это – самое прекрасное в нем! Я сам его придумал!

– Знаю, – подтвердила Алиса. – Вы повторили это уже дважды.

– Не совсем! – возразил Шалтай-Болтай. – Я сказал это дважды, а повторил только один раз.

– Но дело не в этом, – продолжал он. – Обычно парадоксам придают форму утверждений, а не вопросов. Мой же парадокс (и в этом его новизна) облечен в форму вопроса, а не утверждения. В основе его та же замечательная идея, которая заложена в знаменитом утверждении, утверждающем, что оно ложно!

– А что это за утверждение? – спросила Алиса.

– Это очень известное утверждение. Если хочешь, могу записать тебе его на память.

Алиса протянула Шалтаю-Болтаю карандаш и записную книжку. Шалтай-Болтай просмотрел первые девять страниц.

– Очень интересно, – заметил он, – но ты забыла пронумеровать страницы. Не забывай, что страницы нужно непременно нумеровать. Иначе как ты узнаешь, какая страница за какой следует?

– Но ведь странички не вырваны из записной книжки, – возразила Алиса, – а переплетены вместе, поэтому сразу видно, какая страничка за какой следует!

– Все равно страницы нужно нумеровать! – настаивал Шалтай-Болтай. – Я их тебе сейчас перенумерую.

Он перенумеровал первые девять страниц, а затем еще чистые десятую и одиннадцатую страницы. Затем на десятой странице он написал

– 10 —

Утверждение на странице 10 ложно

и отдал записную книжку Алисе.

– Что ты теперь скажешь? – спросил Шалтай-Болтай. – Истинно или ложно утверждение на странице 10 твоей записной книжки?

– На этот вопрос невозможно ответить, – сказала Алиса, немного подумав. – Оно может быть и истинным, и ложным.

– Неправильно! – воскликнул Шалтай-Болтай. – Неправильно, что оно может быть и истинным, и ложным. Оно не может быть ни истинным, ни ложным!

– А почему? – спросила Алиса.

– Сейчас объясню, дитя мое. Как, по-твоему, может ли это утверждение быть истинным?

– А почему бы нет? – удивилась Алиса.

– Хорошо, будь по-твоему. Предположим, что это утверждение истинно. Тогда то, что в нем говорится, должно соответствовать действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Следовательно, в действительности оно должно быть ложно. Значит, если оно истинно, то оно ложно. Но одно и то же утверждение не может быть одновременно и истинным, и ложным. Следовательно, оно не может быть истинным.

– Совершенно верно! – сказала Алиса. – А раз оно не может быть истинным, то должно быть ложным.

– Опять неправильно! – торжествующе сказал Шалтай-Болтай. – Оно не может быть и ложным!

– А почему? – спросила Алиса.

– А вот почему. Предположим, что оно ложно. Тогда то, что в нем говорится, не соответствует действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Поскольку то, что в нем говорится, не соответствует действительности, оно в действительности не ложно. Значит, в действительности оно истинно. Следовательно, если оно ложно, то оно истинно, и мы опять приходим к противоречию. Значит, это утверждение не может быть ложным. Вот тебе и весь сказ!

– Как же быть? – огорченно сказала Алиса. – Я опять в таком же затруднительном положении, как с вашей первой задачей!

– Совершенно верно! – согласился Шалтай-Болтай. И это самое прекрасное.

– Припоминаю, – продолжала Алиса, – что мне приходилось слышать о похожем парадоксе и раньше – историю о древнегреческом философе Эпимениде Критском. По преданию, он сказал:

«Все критяне лжецы». Если Эпименид говорит правду, то он лжет, а если Эпименид лжет, то он говорит правду. Это и есть парадокс.

– Неправильно! – решительно возразил Шалтай-Болтай. – Это не парадокс, а распространенная логическая ошибка. Одна из таких ошибок, которые только выглядят как парадокс, а на самом деле никакой это не парадокс!

– Не могли бы вы объяснить это мне подробнее? – попросила Алиса.

– Прежде всего выясним, кого ты называешь лжецом – того, кто все время лжет, или того, кто лжет время от времени?

– Я никогда не задумывалась над этим раньше, – призналась Алиса, – но, полагаю, что даже того, кто лжет время от времени, следовало бы называть лжецом.

– Тогда то, о чем ты говоришь, заведомо не парадокс, – ответил Шалтай-Болтай. – Утверждение Эпименида вполне может быть истинным, если понимать слово «лжец» по-твоему. Оно означает лишь, что все критяне время от времени лгут. Сам Эпименид, будучи критянином, также время от времени лжет, но это отнюдь не означает, что высказанное им вполне определенное утверждение о критянах (а нас интересует именно такое утверждение – о том, что все критяне лжецы) ложно. Как видишь, никакого парадокса тут нет.

– Вижу, – сказала Алиса. – Наверное, мне нужно было иначе определить, что такое лжец? По-видимому, лжец – это человек, который всегда лжет. Может быть, тут мы придем к парадоксу?

– Нет, и тогда никакого парадокса не возникло бы, – уверил ее Шалтай-Болтай. – Если определить лжеца так, как ты теперь предлагаешь, то утверждение Эпименида не может быть истинным. Действительно, если все критяне всегда лгут, то и Эпименид, будучи критянином, также всегда лжет. Следовательно, он лгал и тогда, когда высказывал свое утверждение. Таким образом, если бы оно было истинным, то должно было бы быть ложным, и мы приходим к противоречию.

– Да ведь это парадокс! – сказала Алиса.

– Нет! – возразил Шалтай-Болтай. – Противоречие возникает только в том случае, если мы предположим, что утверждение истинно. Если считать, что утверждение ложно, то никакого противоречия не возникает!

– Объясните, пожалуйста, а то мне не совсем понятно, – попросила Алиса.

– Охотно, – согласился Шалтай-Болтай. – Что мы имеем в виду, когда говорим, что утверждение Эпименида ложно? Очевидно, следующее: неверно, что все критяне лжецы. Иначе говоря, по крайней мере один критянин время от времени говорит правду. Значит, из утверждения Эпименида следует лишь, что он лжет и что по крайней мере один критянин время от времени говорит правду, а это совсем не парадокс!

– Как интересно! – воскликнула Алиса.

– Кстати сказать, – заметил Шалтай-Болтай, – если мы примем дополнительно два допущения о том, что Эпименид – единственный критянин и что высказанное им утверждение – единственное утверждение, когда-либо сделанное им за всю жизнь, то действительно получим парадокс! Он будет в точности таким же, как то утверждение, которое я написал на листке из твоей записной книжки. Помнишь, в нем говорилось о том, что оно ложно?

– Поразмысли над этим, – посоветовал Шалтай-Болтай, – а я хочу предложить тебе провести еще один опыт. Не дашь ли ты мне еще раз свою записную книжку?

Алиса с готовностью протянула ему карандаш и записную книжку. Шалтай-Болтай что-то написал в ней и, вернув записную книжку, сказал:

– Взгляни на страницу 11. Истинно написанное там утверждение или ложно?

Алиса открыла записную книжку на странице 11 и прочитала:

– 11 —

Утверждение на странице 11 истинно

Алиса немного подумала и ответила:

– Я ничего не могу сказать. Мне кажется, что оно может быть и истинным, и ложным. Если оно истинно, то никакого противоречия не возникает. Если же оно ложно, то никакого противоречия также не возникает.

– На этот раз ты абсолютно права! – согласился Шалтай-Болтай.

– Да ты, я вижу, хамелеонная девочка!

– Что вы имеете в виду? – удивилась Алиса.

– А то, что ты говоришь то неправильно, то правильно, совсем как хамелеон, который меняет свою окраску: то он одного цвета, то другого.

Такое употребление слова «хамелеонный» показалось Алисе весьма странным. Впрочем, у Шалтая-Болтая (как она вспомнила) слова означали только то, что он хотел, не больше и не меньше.

– Я хотел бы провести еще один опыт, – сказал Шалтай-Болтай. – Дай-ка мне еще раз твою записную книжку.

Взяв у Алисы ее записную книжку, Шалтай-Болтай стер номера 10-й и 11-й страниц и вместо 10 написал 11, а там, где стоял номер 11, написал 10, после чего странички стали выглядеть так:

– 10 — 11 — Утверждение на странице 10 ложно Утверждение на странице 11 истинно

– Как, по-твоему, – спросил Шалтай-Болтай, – ложно или истинно утверждение на странице 11?

Алиса задумалась, как вдруг ей в голову пришло решение.

– Утверждение на странице 11 не может быть ни ложным, ни истинным, – сказала она. – Это еще один парадокс!

– Правильно! – сказал Шалтай-Болтай. – Но как это доказать?

– Очень просто, – сказала Алиса. – В утверждении на странице 11 в действительности говорится только не прямо, а косвенно, что оно ложно: в нем говорится, что истинно утверждение на странице 10, в котором говорится, что утверждение на странице 11 ложно. Следовательно, если утверждение на странице 11 истинно, то оно должно быть ложно, а если оно ложно, то должно быть истинно, и мы снова получаем парадокс.

– Ты растешь прямо на глазах! – воскликнул Шалтай-Болтай, очень довольный своей ученицей.

– Вы знаете, есть один парадокс, который мне так и не удалось решить, сколько я ни старалась, – сказала Алиса. – Может быть, вы сможете мне чем-нибудь помочь?

– Буду очень рад, – ответил Шалтай-Болтай, которому очень польстила просьба Алисы. – Я перерешал все задачи, которые когда-либо были изобретены, и еще больше задач, которые никогда не были изобретены. Так в чем твоя задача?

– В ней говорится о брадобрее, – сказала Алиса. – В одном небольшом городе жил брадобрей, который брил всех жителей города, которые не брились сами. Брился ли сам брадобрей или не брился?

– Это очень старая и очень легкая задача! – засмеялся Шалтай-Балтай.

– Но я не вижу ни одного приемлемого решения! – сказала Алиса. – Я думала над этой задачей довольно долго, но ничего путного так и не придумала. Если брадобрей бреется сам, то он нарушает свое правило, по которому он бреет только тех жителей, которые сами не бреются. Если же брадобрей сам не бреется, то он принадлежит к числу тех жителей города, которые сами не бреются, а так как таких жителей он бреет, то должен брить и самого себя. Таким образом, бреется брадобрей сам не бреется, мы приходим к противоречию! Разрешить его, сказав: «Утверждение о том, что брадобрей бреется сам, не истинно и не ложно», – мы не можем, так как он либо бреется сам, либо не бреется, поэтому утверждение должно быть либо истинным, либо ложным.

– Кто бреется сам? – спросил Шалтай-Болтай.

– Как это кто? Брадобрей!

– Какой брадобрей? – допытывался Шалтай-Болтай.

– Брадобрей из истории о брадобрее! – ответила Алиса чуточку нетерпеливо.

– Ах вот кто! – протянул Шалтай-Болтай. – А кто сказал, что эта история правдива?

Алиса немного подумала.

– Послушайте, – сказала она. – Дано, что брадобрей ведет себя так, как об этом говорится в истории. Когда вы решаете задачу, разве можно отрицать то, что дано в ее условиях?

– А разве нельзя? – удивился Шалтай-Болтай. – Даже если то, что дано, внутренне противоречиво?

Такая идея не приходила Алисе в голову.

– В действительности, – продолжал Шалтай-Болтай, – такого брадобрея нет, не было и не будет. Такого брадобрея просто не могло быть потому, что, если бы он был, возникло бы противоречие.

Алисе объяснение Шалтая-Болтая показалось не очень убедительным.

– Подумай сама, – настаивал Шалтай-Болтай не без раздражения. – Предположим, я скажу тебе, что был на свете человек ростом шесть футов, а человек не был ростом шесть футов. Что ты на это скажешь?

– Скажу, что такого человека не было, – ответила Алиса.

– Хорошо! А предположим, я скажу тебе, что был на свете брадобрей, который сам ни брился, ни не брился. Что ты на это скажешь?

– Скажу, что такого брадобрея на свете не было, – ответила Алиса.

– Прекрасно! Именно о таком брадобрее и идет речь в твоей истории! Ведь твой брадобрей не мог бы ни бриться сам, ни не бриться сам! Следовательно, такого брадобрея на свете не было. Вот тебе логика!

На этот раз объяснения Шалтая-Болтая полностью убедили Алису.

– Существует близкая задача, которая позволяет яснее представить себе всю проблему, – продолжал Шалтай-Болтай. – В некотором городе живут два брадобрея. Назовем их брадобрей А и брадобрей В. Дано, что брадобрей А бреет всех жителей города, которые не бреются сами, но не дано, что он не бреет еще каких-нибудь жителей города. Относительно брадобрея В известно, что он не бреет ни одного жителя города, который бреется сам, но не обязательно бреет всех жителей города, которые не бреются сами. В этом случае вполне возможно, что брадобреи А и В существуют. Такое предположение ничему не противоречит.

– А в чем задача? – спросила Алиса.

– Задача состоит из двух частей. Бреет ли себя или не бреет брадобрей А? И бреет ли себя или не бреет брадобрей В?

Алиса немного подумала.

– Брадобрей А бреется сам, а брадобрей В сам не бреется, – ответила она, необычайно гордая своей сообразительностью.

– Хорошо! Очень хорошо! – похвалил ее Шалтай-Болтай. – А не можешь ли ты объяснить мне, почему?

– Потому, – начала весьма уверенно Алиса, – что если бы брадобрей А не брился сам, то он был бы одним из тех, кто не бреется сам, а поскольку всех таких жителей города он бреет, то должен был бы брить и самого себя, и мы приходим к противоречию. Следовательно, брадобрей А не бреется сам. Относительно брадобрея В можно сказать, что если бы он брился сам, то брил бы жителя города, который бреется сам, чего он никогда не делает. Значит, брадобрей В не может брить самого себя.

– Ты растешь просто на глазах! – сказал Шалтай-Болтай. – Тебе необычайно повезло, что у тебя такой прекрасный учитель!

Алиса не знала, что сказать на это. С одной стороны, уроки логики, которые преподал ей Шалтай-Болтай, действительно были весьма поучительными! И все же ее не покидало ощущение, что он чуточку хвастает!

– Вы сказали, что это позволяет по-новому взглянуть на задачу о брадобрее, – напомнила Алиса. – Какая же связь существует между задачей об одном брадобрее и задачей о двух брадобреях?

– Я очень рад, что ты спросила об этом, – оживился Шалтай-Болтай. – Видишь ли, на свете вполне мог бы быть такой брадобрей, как А, и он должен был бы бриться сам. На свете вполне мог бы быть и такой брадобрей, как В, только он не мог бы бриться сам. Но ни один брадобрей не мог бы быть одновременно и брадобреем А, и брадобреем В Между тем в исходной задаче речь шла об одном брадобрее, который совмещал в себе отличительные особенности и брадобрея А, и брадобрея В, а именно это и невозможно!

– Понятно! – воскликнула Алиса. – Как интересно!

– Есть у меня еще одна задачка для тебя, – сказал Шалтай-Болтай. – В отличие от предыдущей она допускает вполне определенное решение. Слышала ли ты что-нибудь о «Клубе Червей»?

– Ничего! Терпеть не могу червей, – ответила Алиса, – да еще свернувшихся в клуб! Нет, о клубе червей я ничего не слышала!

– Прекрасно! – продолжал Шалтай-Болтай. – Тогда тебе досталось то, что надо!

– А что надо?

– Как что? Разумеется, та самая задача, которую я хочу тебе задать. Ведь я спросил тебя, что ты знаешь о «Клубе Червей», а ты ответила, что не знаешь ничего. Значит, и про задачу о «Клубе Червей» ты ничего не знаешь!

– Правильно! – согласилась Алиса. – Но как вы узнали, что мне надо?

– Очень просто! Я сам придумал эту задачу и никому ее еще не рассказывал.

– А что это за задача о «Клубе Червей»? – спросила Алиса.

– Видишь ли, жители одного города очень любили создавать различные клубы. Один клуб получил название «Клуб Червей». О нем нам известно следующее:

Первое. Любая жительница города, если она не состоит членом всех клубов, состоит членом «Клуба Червей». Второе. Ни один житель города не состоит членом «Клуба Червей», если не существует по крайней мере еще один клуб, членом которого он не состоит. Третье. Какой бы из клубов мы ни выбрали, все мужское население города, не состоящее членами этого клуба, влюблено в каждую жительницу города, состоящую членом «Клуба Червей».

Лиллиан живет в этом городе, – продолжал Шалтай-Болтай. – Неизвестно, однако, состоит ли она членом «Клуба Червей». Ричард также живет в этом городе. Относительно него также неизвестно, состоит ли он членом «Клуба Червей».

Спрашивается, можно ли определить, любит ли Ричард Лиллиан?

– Я не знаю даже, как подступиться к этой задаче! – призналась Алиса.

– Это все от того, что ты не думаешь! – строго сказал Шалтай-Болтай. – Между тем задача вполне разрешима. Дело в том… Нет, ты ни за что не поверишь, если я тебе сейчас скажу… Тебе это покажется просто невероятным! Я хочу тебе сказать, что в городе, о котором говорится в задаче, все мужчины должны быть влюблены во всех женщин!

Поразмыслив, Алиса сказала:

– Я все еще не понимаю почему.

– Видишь ли, дитя мое, из первой посылки следует, что каждая женщина в городе должна состоять членом «Клуба Червей». Почему? Давай рассуждать. Выберем наугад любую жительницу города. Она либо состоит членом всех клубов, либо не состоит членом всех клубов. В первом случае она должна состоять членом «Клуба Червей», а во втором заведомо состоит членом этого клуба, так как «Клуб Червей» – один из существующих в городе клубов. Следовательно, и в том и в другом случае любая жительница города состоит членом «Клуба Червей». Тем самым доказано, что все жительницы города состоят членами «Клуба Червей».

– Понятно, – сказала Алиса.

– Прекрасно, – одобрительно заметил Шалтай-Болтай, – пойдем дальше. Из второй посылки следует, что не каждый житель города состоит членом всех клубов. Почему? Да потому, что если бы некий житель состоял членом всех клубов, то он состоял бы, в частности, и членом «Клуба Червей», между тем как ни один житель города, состоящий членом всех клубов, не может быть членом «Клуба Червей». Следовательно, ни один житель города не состоит членом всех клубов.

– Понятно, – сказала Алиса.

– Это означает, – продолжал Шалтай-Болтай, – что каждый житель города не состоит членом по крайней мере одного клуба, но любой житель города, не состоящий членом любого клуба, влюблен во всех жительниц города, состоящих членами «Клуба Червей». Следовательно, все мужское население города влюблено во всех жительниц города, состоящих членами «Клуба Червей», а, поскольку все жительницы города состоят членами этого клуба, мы заключаем, что все жители города влюблены во всех жительниц города.

– Необыкновенно интересно! – сказала Алиса. – Не могли бы вы рассказать мне еще какую-нибудь историю?

– Хорошо, – согласился Шалтай-Болтай. – Поверишь ли ты, если я тебе скажу, что у меня есть сыночек?

– А почему бы и нет? – удивилась Алиса.

– А поверишь ли ты, если я тебе скажу, что все любят моего сыночка?

– А почему бы и нет? – спросила Алиса.

– А поверишь ли ты, если я тебе скажу, что мой сыночек любит только меня?

– А почему бы и нет? – ответила Алиса.

– Увы, – сказал Шалтай-Болтай, – если ты поверишь во все это, то ты мыслишь непоследовательно!

– Почему? – удивилась Алиса.

– Потому что в противном случае ты путем умозаключений пришла бы к выводу, что не веришь, будто я свой собственный сыночек!

– Разумеется, в такую чушь я не верю! – возмутилась Алиса.

– Жаль! А ведь ты должна была бы верить, раз уж ты поверила во все остальное!

– Почему? – спросила Алиса, недоумевая.

– К такому выводу приводит логика, только и всего. Суди сама. Предположим, что все остальное сущая правда. Так как все любят моего сыночка, то мой сыночек также любит моего сыночка.

– Об этом я как-то не подумала! – призналась Алиса.

– Разумеется, не подумала, а должна была бы подумать! Ты всегда должна обо всем думать.

– Но я не могу думать обо всем ! – возразила Алиса.

– Я никогда не говорил, что ты могла бы думать обо всем, – парировал ее возражение Шалтай-Болтай. – Я сказал лишь, что ты должна была бы думать обо всем.

– А разве имеет смысл говорить, что я должна сделать то, чего никак не могу? – озадаченно спросила Алиса.

– Это интересная проблема из философии морали, – заметил Шалтай-Болтай, – однако она увела бы нас слишком далеко в сторону. Вернемся к нашей задаче. Так как мой сыночек любит себя и любит только меня, то из этого следует, что я и есть мой собственный сыночек! Следовательно, не все из того, о чем я рассказал тебе, может быть истинно.

– Очень интересная задача! – сказала Алиса.

– Что правда, то правда! – согласился Шалтай-Болтай. – А теперь я хотел бы рассказать тебе нечто особенное, не задачку, а конфетку! Я сам ее придумал, но не уверен, что знаю ответ. На первый взгляд кажется, что это парадокс, но я абсолютно не уверен, что это действительно так.

Алисе не терпелось поскорее узнать, что это за задача, которая поставила в тупик самого Шалтая-Болтая.

– Как бы тебе лучше сказать? – попытался объяснить Шалтай-Болтай. – Ты, должно быть, знаешь всякие задачи о рыцарях, которые всегда говорят правду, и лжецах, которые всегда лгут?

– Да, таких задач великое множество! – подтвердила Алиса.

– Так вот! Представь себе, что ты находишься в стране, где обитают только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Навстречу тебе попадается один коренной житель страны, о котором тебе ничего не известно (ты знаешь лишь, что он либо рыцарь, либо лжец, но не имеешь ни малейшего представления, кто именно из двух). Он произносит только одну фразу:

– Ты не знаешь и никогда не узнаешь, что я рыцарь.

Кто он, по-твоему?

– Давайте рассуждать, – предложила Алиса. – Предположим, что он лжец. Тогда его утверждение ложно. Это означает, что я знаю или узнаю, что он рыцарь. Но если я знаю, что он рыцарь, то он действительно должен быть рыцарем (ведь то, что достоверно известно, должно быть истинным). Следовательно, если он лжец, то ои должен быть рыцарем, и мы приходим к противоречию. Значит, он не может быть лжецом и поэтому должен быть рыцарем.

– Итак, ты знаешь, что он рыцарь, – подвел итог Шалтай-Болтай.

– Да, – ответила Алиса, – но тут возникают новые трудности. Так как я знаю, что он рыцарь, его утверждение («Ты не знаешь и никогда не узнаешь, что я рыцарь») должно быть ложным. Но тогда он должен быть лжецом, и мы приходим к парадоксу.

– Кажется, ты права, – задумчиво проговорил Шалтай-Болтай, – но я не уверен…

– Разрешить парадокс, – прервала его Алиса, – как мне думается, можно только одним способом: признать, что данные в условии задачи невозможны. Ни один коренной житель-рыцарь не мог бы высказать такое утверждение.

– Кажется, ты права, – повторил Шалтай-Болтай, – но все же я не уверен…

Он замолчал и погрузился в размышления.

– И все же вы не уверены в чем? – спросила Алиса.

– В том, что рыцарь не мог высказать такое утверждение. Уж тебе-то он мог сказать такое!

– Почему мне? – удивилась Алиса.

– Потому что ты реагируешь по-особому! – пояснил Шалтай-Болтай. – Предположим, что ты действительно отправилась в такую страну и повстречала коренного жителя, который высказал бы такое утверждение. Как бы ты поступила?

– Но я же сказала вам, – обиделась Алиса, – что усомнилась бы в непротиворечивости условий задачи. Иначе говоря, я усомнилась бы в том, что рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.

– Но тогда ты не смогла бы никак определить, кто тебе встретился, рыцарь или лжец.

– Разумеется, не смогла бы, – ответила Алиса.

– Значит, повстречавшийся тебе коренной житель сказал бы правду и мог быть рыцарем. Следовательно, условия задачи все же непротиворечивы!

– Какая жалость! – признала свое поражение Алиса. – Мне иногда кажется, что все, о чем я говорю, неверно!

– Именно так! – торжествующе подтвердил Шалтай-Болтай. – И это самое прекрасное в том, что ты говоришь!

Глава 9