Оценка качества канала с рекурентным способом коррекции ошибок

Практическое занятие

Анализ надежности канала связи АБС с рекурентным способом коррекции ошибок

Тема занятия. Оценка вероятности безошибочной передачи бита в симметричном двоичном канале АБС с рекурентным способом защиты от ошибок (2 из 3-х).

Цель занятия.Ознакомиться с методами определения вероятностей событий, которые происходят при проведении повторных независимых испытаний и методикой оценки эффективности применения кода для коррекции ошибок.

Оценка качества двоичного канала

Вероятностная модель двоичного канала.

Рассматривается двоичный канал передачи (Рис.1а), который подвергается воздействию помех или атакам противника Е. Это воздействие может приводить к изменению значения принимаемых бит a'=Е(а). Воздействие помех и атаки противника являются случайным явлением. Поэтому функцию помехи Е мы, как правило, можем описать при помощи вероятностной (иногда говорят стохастической) модели, которая изображена на рис.1б.

На этом рисунке изображен граф возможных изменений значения передаваемого бита информации а. Переданное значение а=0 подвергается воздействию помехи Е(а) и на приемном конце мы получаем значение а’=Е(а), которое с вероятностью q₀₀ будет равно 0 и с вероятностью р₀₁ будет равно 1. Переданное значение а=1 подвергается воздействию помехи Е(а) и на приемном конце мы получаем значение а’=Е(а), которое с вероятностью p₁₀ будет принято как значение 0, и с вероятностью q₁₁ будет принято как значение 1. В этих обозначениях первый индекс указывает, что передаем, а второй – что принимаем. Поэтому можно сказать, что р – вероятность приема бита (0 или 1) с ошибкой, а q – вероятность приема бита (0 или 1) без ошибки. Если

q₀₀¹ q₁₁ и р₀₁¹ p₁₀, (1)

то такой канал называют не симметричным двоичным каналом. В таком канале единицы и нули искажаются с разной вероятностью.

Далее мы будем рассматривать симметричные каналы (Рис.1в), в которых

q₀₀=q₁₁=q и р₀₁₌p₁₀=p (2)

В симметричных двоичных каналах вероятность искажения нуля и единицы одинакова. В двоичном симметричном канале функцию ошибки Е можно представлять как сложение по модулю 2 последовательности передаваемых бит с последовательностью двоичных значений ошибки Е. Например, если

А=а₀а₁а₂а₃…=0101….

Е=е₀е₁е₂е… =1001….

А’= =1100…. a_i’=a_iÅe_i

первый и последний из показанных бит будут искажены при передаче.

Если вероятность появления 1 в последовательности значений Е равна р, то с вероятностью р принятое значение бита а’ будет не совпадать с переданным значением а – говорят бит а’ принят с ошибкой.

За счет избыточного кодирования передаваемой информации можно уменьшить значение р - вероятности приема бита с ошибкой. Такой канал называют каналом с коррекцией ошибок.

В канале с коррекцией ошибок передаваемые данные подвергаются преобразованию в кодирующем устройстве (кодере). Это преобразование приводит к тому, что в канал вместе с информационными битами передаются дополнительные биты, которые позволяют декодирующему устройству (декодеру) на приемном конце канала исправлять некоторые ошибки.

В процессе проектирования и эксплуатации канала связи необходимо для заданной вероятности искажения бита в канале р, оценить изменение вероятности получения бита с ошибкой при использовании канала с коррекцией ошибок. Методика такой оценки зависит от типа применяемого корректирующего кода.

Оценка качества канала с рекурентным способом коррекции ошибок.

При рекурентном (иногда говорят мажоритарном) способе коррекции ошибок кодер передает в канал значение каждого бита информации многократно, а на приемном конце декодер принимает решение о значении принятого бита методом голосования. Например, пусть кодер передает в канал каждый бит а 3 раза: а₁=а, а₂=а, и а₃=а. Тогда декодер определяет значение принятого бита a’, используя булеву функцию:

a’=a’₁a’₂+a’₁a’₃+a’₂a’₃,

здесь a’₁a’₂ обозначает логическое умножение, а знак + - логическое сложение. Таким образом, a’=1, если в тройке принятых бит а’₁, а’₂ и a’₃ будет не менее двух единиц, и а’=0, если в тройке принятых бит а’₁, а’₂ и a’₃ будет не менее двух нулей (большинство). Можно сказать, что этот код способен исправить одну ошибку, которая произошла при трехратной передаче бита а.

Рассмотрим в каких случаях уменьшается вероятность ошибки при передаче бита при использовании рекурентного способа коррекции. Рекурентную коррекцию можно рассматривать как троекратный опыт (испытание) передачи бита а в канал. В результате каждого опыта (передачи) бит а может быть искажен помехой Е с вероятностью р. Тогда вероятность того, что в результате испытания (троекратной передачи) ошибка появиться более чем в одном бите

P_2Ú3=P_3,3+P_2,3=

p³+3p²q=

p²(p+3q)=

p²(p+3-3p)=

p²(3-2p).

1.Пусть р=0,9, тогда P_2Ú3=0.81(3-1.8)=0.972>p=0.9

2.Пусть р=0.3, тогда P_2Ú3=0.09(3-0.6)=0.216<p=0.3

3.Пусть р=0.5, тогда P_2Ú3=0.25(3-1)=0.5=р

Таким образом применение рекурентного кода (n=3) увеличивает вероятность ошибки в плохом канале, не дает эффекта, если вероятность ошибки и безошибочной передачи совпадают, и уменьшает вероятность ошибки, если прием бита без ошибки более вероятен.

Дополнительное замечание.Так как естественные помехи: промышленные и природные излучения, интерференция радиосигнала и искусственные помехи противника, как правило, воздействуют на группы смежных бит, то повторяющиеся биты передают с разносом по времени. Если первый экземпляр бита передается в позиции i, то второй смещается на позицию i+k, а третий передается в позиции i+2k. Такой метод, например, используется в MIL-STD-188-141 стандарте США определяющего процедуру автоматизированного вхождения в связь в сетях КВ диапазона. Процедуру временного смещения предаваемых бит называют перемежением бит.