Формы представление чисел в ЭВМ для позиционной системы счисления

В ЭВМ используются 3 формы записи чисел: естественная, нормальная и нормализованная.

При естественной форме – местоположение запятой, отделяющей целую часть от дробной, строго фиксировано: для правильных дробей – перед старшим разрядом, для целых чисел – после младшего разряда. (25,18 0,526). В современных ЭВМ естественная форма используется в основном для представления целых чисел.

При нормальной форме любое число Х представляется в виде

Х= Рⁿ * |M_x|,

где Р – основание системы счисления

n – целое число (порядок, разряд числа, место запятой)

M_x – мантисса числа (последовательность цифр числа)

Напр. Х = 45,2 м.б. представлено как 4,52*10

452*10^-1

При нормализованной форме мантисса лежит в пределах 0 ≤ | M_x| ≤ 1

Напр. Х = 45,2 нормализованная форма 0,452*10²

Х = 0,000687 нормализованная форма 0,687*10^-3

Запятая фиксируется перед старшим разрядом числа.

В непозиционнойс/с цифры не меняют своего количественного значения при изменении их положения в числе. Число отображается равным количеством каких-либо значков.

1.3.2. Двоичная система счисления, как основная для ЭВМ и дополнительные — восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

В вычислительных машинах при кодировании информации используется двоичнаясистема счисления. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры - 0 и 1 (основаниесистемы счисления = 2). Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы - триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.

Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать.

Для человека самая привычная система счисления – десятеричная, т.е. все числа мы можем описать с помощью 10 цифр, это 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, т.е. основаниесистемы счисления = 10

В программировании часто используется системы счисления, родственные двоичной - восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр.

В восьмеричной(в записи числа присутствуют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) и

В 16-теричной (в записи числа присутствуют цифры0 – 9, а дальше используют заглавные латинские буквы А (10), B(11), C(12), D(13), E(14),F(15)).

РИС. (1.3)1 Соответствие чисел в двоичной, восьмеричной, десятеричной и шестнадцатеричной системах счисления

Перевод чисел из одной системы счисления в другую, осуществляется по своим правилам.

1.3.3. Правила перевода чисел из десятеричной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

Выполнить последовательное деление с остатком исходного числа и каждого полученного частного на основание новой системы счисления.

Записать вычисленные остатки, начиная с последнего (т.е. в обратном порядке)

Пример

РИС. (1.3)2 Перевод десятичного числа в двоичное

Для перевода правильных дробей из одной системы счисления в любую другую используется метод, базирующийся на умножении переводимой дроби на основание новой системы счисления

1.3.4. Правила перевода чисел из двоичной (восьмеричной и шестнадцатеричной) в десятеричную систему счисления

Обозначив цифры числа как ai, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

x = a_nрⁿ + a_n-1р^n-1 + ... + a₂р² + a₁р¹ + a₀р⁰ + a_-1р^-1 + ...

В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и т.д. Например:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

Можно пойти еще дальше и разложить так:

1476 = 1 * 10³ + 4 * 10² + 7 * 10¹ + 6 * 10⁰

Здесь цифры 1, 4, 7 и 6 - это набор цифр из которых состоит число 1476. Все эти цифры поочередно умножаются на десять (основание системы счисления) возведенную в ту или иную степень. Степень, в которую возводится основание – это разряд цифры за минусом единицы.

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

1. пронумеровать разряды исходного числа;

2. записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;

3. выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления — 10).

Примеры

РИС. (1.3)3 Перевод числа из двоичной системы счисления в десятеричную

1.3.5. Правила перевода чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную

РИС. (1.3)4 Соответствие чисел двоичной системы счисления числам в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления

При работе с компьютерами широко применяют двоичную систему счисления (поскольку на ней основано представление информации в компьютере), а также восьмеричную и шестнадцатеричную, запись в которых более компактна и удобна для человека. С другой стороны, благодаря тому что 8 и 16 — степени 2, переход между записью в двоичной и одной из этих систем, с кратными основаниями, осуществляется без вычислений.

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

1.3.6. Правила перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления в двоичную

Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

Логические основы ЭВМ

1.4.1. Элементы алгебры логики

Основой построения любого устройства, использующего цифровую информацию, являются элементы двух типов: логические и запоминающие. Логические элементы выполняют простейшие логические операции над цифровыми сигналами. Запоминающие элементы служат для хранения цифровой информации (состояния разрядов кодовой комбинации).
Логическая операция состоит в преобразовании по определенным правилам входных цифровых сигналов в выходные.

Математически цифровые сигналы обозначают поразрядно символами, например x1, x2, x3, x4. Их называют переменными. Каждая переменная может принимать значение "0" или "1". Результат логической операции часто обозначают "0" (ложь) или "1" (истина) . Значения логических функций определяются с помощью таблиц истинности.

1.4.2. Логические операции: дизъюнкция, конъюнкция, инверсия, импликация, эквиваленция и их таблицы истинности.

Математическим аппаратом логики является алгебра Буля. В булевой алгебре над переменными "0" или "1" могут выполняться действия:

1. Дизъюнкция(логическое сложение, от лат. disjunctio - разъединение) – это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно, если оба простых логических выражения ложны.

Обозначение: А + В

А ν В

А or B (Паскаль)

A || B (Си)

А	В	А ν В

2. Конъюнкция(логическое умножение, от лат. conjunctio - соединение) – сложное логическое выражение, которое является истинным только в том случае, когда истинны оба входящих в него простых выражения.

Обозначение: А * В

А Λ В

А and B (Паскаль)

A && B (Си)

А	В	А Λ В

3. Инверсия (логическое отрицание) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.

Обозначение:

А	А

4. Импликация(логическое следствие) – это сложное логическое выражение, которое является ложным тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно.

Обозначение:

А	В	А → В

5. Эквиваленция (равнозначность) – это сложное логическое высказывание, которое определяет результат сравнения двух простых логических выражений и является истинным только при одинаковых значениях истинности простых выражений, входящих в него

Обозначение:

А	В	А ↔ В

6. Штрих Шеффера– операция, отрицающая конъюнкцию, т.е. значение ложно тогда и только тогда, когда оба простых выражения истинны.

Обозначение:

А	В	А | В

7. Стрелка Пирса – операция, отрицающая конъюнкцию, т.е. значение истинно тогда и только тогда, когда оба простых выражения ложны.

Обозначение:

А	В	А ↓ В

При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций:

1. Инверсия

2. Конъюнкция

3. Дизъюнкция

4. Импликация

5. Эквиваленция

6. Штрих Шеффера

7. Стрелка Пирса

Для последних двух операций приоритет не определен.

Замечание. Если необходимо изменить указанный порядок выполнения логических операций используются скобки.

1.4.3. Связь между алгеброй логики и двоичным кодированием.

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: "1" и "0".

Из этого следует два вывода:
1. одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных;

2. на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

1.4.4. Запись данных и команд в памяти компьютера и регистрах процессора.

Данные и команды представляются в виде двоичных последовательностей различной структуры и длины и заносятся в регистры или ячейки логических устройств (процессор, сопроцессор, оперативная память и др.), которые состоят из логических элементов.

Логическими элементами называются функциональные устройства, с помощью которых реализуются элементарные логические функции.

Логические элементы используются в устройствах цифровой электроники (логических устройствах) для выполнения простого преобразования логических сигналов.

Современные логические элементы выполняются в виде микросхем различной степени сложности. Для этих схем характерно что состояние на входах схем и выходах, определяется только двумя состояниями, к примеру транзистор должна быть либо закрыт, либо насыщен (открыт). В качестве параметра, характеризующего состояние сигнала, обычно выбирают напряжение, уровень которого должен быть ВЫСОКИМ или НИЗКИМ. Состояния высокого и низкого уровня определяют некоторым заданным образом значения булевой алгебры логики. Так для положительной логики принимают состояние ВЫСОКОГО уровня за логическую “1” (иногда это логическое значение называют “ИСТИННОЙ”), а состояние НИЗКОГО уровня за логический “0” (“ЛОЖЬ”),

например:

РИС. (1.4)5 Состояние сигнала

1.4.5.Базовые логические элементы, реализующие логические функции в ЭВМ.

Базовые логические элементы реализуют 3 основные логические операции:

· логический элемент "И" - логическое умножение

· логический элемент "ИЛИ" - логическое сложение

· логический элемент "НЕ" - инверсия

Логические элементы компьютера оперируют с сигналами - электрическими импульсами. Есть импульс - логический смысл сигнала - 1. Нет импульса - 0.

На входы логического элемента поступают сигналы-значения аргументов, на выходе появляется сигнал-значение функции. Преобразование сигнала логическим элементом задается таблицей состояния, которая фактически является таблицей истинности

Логический элемент "И", "ИЛИ"

На входы А и В логического элемента подаются 2 сигнала (00, 01, 10, 11).

На выходе получается сигнал 0 или 1 в соответствии с таблицей истинности

РИС. (1.4)6 Работа конъюнктора

РИС. (1.4)7 Работа дизъюнктора

Логический элемент "НЕ"

На вход логического элемента подается сигнал 0 или 1.

На выходе получается сигнал 0 или 1 в соответствии с таблицей истинности инверсии

РИС. (1.4)8 Работа инвертора

Логический элемент (логический вентиль) — это электронная схема, выполняющая некоторую простейшую логическую операцию. На рис. приведены примеры условных графических обозначений некоторых логических элементов.

РИС. (1.4)9 Условные графические обозначения основных логических элементов

Логический элемент может быть реализован в виде отдельной интегральной схемы. Часто интегральная схема содержит несколько логических элементов.