Перевод чисел из некоторой позиционной системы счисления в десятичную систему счисления

Системы счисления

Основные определения

Система счисления - совокупность приемов записи чисел. Алфавит системы счисления - упорядоченное множество символов для записи чисел. Цифра - элемент алфавита системы счисления. Основание системы счисления - количество цифр в алфавите. Система счисления определяет способ записи чисел, при котором используются цифры алфавита.

Позиционные системы счисления - системы, в которых значение каждой цифры зависит от ее места в изображении числа. Позиционные системы счисления также называются аддитивно-мультипликативными. Непозиционные системы счисления - системы, в которых значение каждой цифры не зависит от ее места в изображении числа.Непозиционные системы счисления также называются аддитивными.

Примеры систем счисления:

  1. Десятичная система счисления:
    позиционная (аддитивно-мультипликативная), алфавит {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
  2. Римская система счисления:
    непозиционная (аддитивная), алфавит {I, V, X, L, C, D, M}, где I =1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.
    Правила построения чисел:
    • Если цифра справа меньше либо равна цифре слева, то эти цифры складываются (например, VII=7, XVI=16).
    • Если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой (например, IV=4, XL=40).

Вид числа в позиционной системе счисления

Пусть имеется позиционная система счисления с основанием P и алфавитом AP={0,1,2, ..., P} и вещественное число X, записанное цифрами этого алфавита в виде anan-1an-2...a1a0,a-1a-2...a-m (цифры в записи числа - разряды; разряды нумеруются с 0; n - количество разрядов в десятичной части числа, m - количество разрядов в дробной части числа). Тогда X представимо в виде полинома X=anPn+an-1Pn-1+...+a1P1+a0P0+a-1P-1+a-2P-2+...+a-mP-m.

Основание системы счисления показывает соотношение весов цифр соседних разрядов.

Пример:

1237,089=1*103+2*102+3*101+7*100+0*10-1+8*10-2+9*10-3

Двоичная система счисления

В компьютерах используется в основном двоичная система счисления. Одна из основных причин - для ее реализации нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями ("есть ток"-"нет тока" и т.д., а не, например, с десятью, - как в десятичной системе счисления). Алфавит A2={0,1}.

Таблица сложения

+

Таблица умножения

*

Примеры:

101112+11012=1001002; 101112*11012=1001010112; 101112-11012=10102. (Проверьте вручную, используя таблицы сложения и умножения!)

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Двоичная система счисления приводит к громоздкой записи чисел, поэтому для кодирования используют также 8-ю и 16-ю системы счисления. Алфавит A8={0,1,2,3,4,5,6,7}. Алфавит A16={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}(используются латинские буквы, т.к. для записи алфавита не хватает арабских цифр).

Изображение чисел одной системы счисления с помощью цифр другой системы счисления

Для изображение чисел системы счисления с основанием P с помощью цифр системы счисления с основанием Q (Q<P) используется смешанная система счисления (Q-P)-ичная со старшим основанием P и младшим основанием Q. Для представления числа в смешанной системе счисления каждая его цифра из AP заменяется на соответствующую цифру из AQ, причем используется всегда такое количество Q-ичных разрядов, которое достаточно для представления любой цифры из AP.

Примеры:

Для изображения любой 10-чной цифры требуется 4 двоичных разряда. Тогда 72310=0111 0010 00112-10. Для изображения любой 8-чной цифры требуется 3 двоичных разряда. Тогда 7238=111 010 0112-8.

Перевод чисел из некоторой позиционной системы счисления в десятичную систему счисления

Пусть имеется число X, записанное P-ичной системе счисления в виде anan-1an-2...a1a0,a-1a-2...a-m и требуется найти представление X в 10-й системе счисления.

Для перевода необходимо вычислить полином X=anPn+an-1Pn-1+...+a1P1+a0P0+a-1P-1+a-2P-2+...+a-mP-m, где цифры ai заменяются их десятичными изображениями и операции выполняются в 10-й системе счисления.

Примеры:

Пусть требуется перевести 5478 в 10-чную систему счисления. Запишем число в виде в виде полинома и выполним действия в 10-чной системе счисления. Получим 5*82+4*81+7*80=359. Таким образом, 5478 есть 35910.

Пусть требуется перевести DF,316 в 10-чную систему счисления. Запишем число в виде в виде полинома и выполним действия в 10-чной системе счисления. Получим 13*162+15*161+3*16-1=223,1875. Таким образом, DF,316 есть 223,187510.

Наши рекомендации