Аксиоматика теорий множеств: цели создания этих теорий и новые цели

В Теории Виртуальности значение имеет способ создания целокупностей имманентных объектов: истолковываем ли мы некоторую целокупность имманентных объектов, которая ею является природным образом, или мы создаем целокупность имманентных объектов концептуально, и она не является целокупностью в своей актуальности. Способ создания целокупностей для традиционной теории множеств был не важным. В теории множеств произвольно использовались такие понимания как «существование множества» и «конструирование множества».

Так у нас в традиционной теории множеств появляются два фундаментальных допущения: 1) что имманентные и концептуальные объекты суть объекты одной и той же актуальной среды; 2) что отношение подмножества к множеству и отношение элемента к множеству суть эквивалентны. Из критики этих фундаментальных допущений в Теории Виртуальности появляется понимание принципиально важных моментов: 1) создание совокупностей зависит от онтологической позиции, из которой эти совокупности создаются (из истолковательной — актуальные совокупности, из конструктивной — виртуальные совокупности); 2) сами совокупности, независимо от того, являются ли они актуально конечными или бесконечными, допустимо являются еще и виртуально конечными или бесконечными, то есть суть обладают свойством движения в структуре (объект, объект с аспектами-атрибутами, аспект аспекта (атрибут атрибута) и т.д.); 3) одномоментное рассмотрение актуальной и виртуальной совокупностей допустимо как контрафлексивный структурный континуум, выражаемый в специально различаемых в ТВ уровнях нормирования. Именно это обстоятельство — различение уровней нормирования — то, чего критически не хватало теории множеств.

Кроме того — радикальное и выразительное отличие структурного и лингвистического нормирования — теория множеств традиционно игнорирует. Структурное и лингвистическое нормирование происходя в разных реальностях. Так мы утверждаем следующее — парадокс о множестве всех множеств построен на нотации, поименовании, то есть на том, что Теория Виртуальности рассматривает в исследовании лингвистического нормирования как лексификацию. Нельзя называть концептуальные объекты разного уровня одним и тем же именем — вот какое нормативное требование мы получим при правильном применении лексификации, рассматриваемой в лингвистическом нормировании. Если мы хотим иметь непротиворечивую теорию лингвистического нормирования, то у нотата должен быть лишь один денотат.

Таким образом, парадокс о множестве всех множеств существует за счет неопределенности среды анализа, где производится создание множества, неопределенности онтологической позиции, в которой множество создается, неопределенности и неразличенности существования-конструирования множества в различных способах нормирования (не стадиях, а уровнях нормирования), неопределенности и неразличенности структурного и лингвистического нормирования, нарушении правила лингвистического нормирования: у нотата должен быть один денотат.

ТВ далее будет показана как альтернатива теории множеств, потому что: 1) она содержательно вносит операцию создания множества из-за скобок вовнутрь самого рассмотрения; 2) она не ведет спор, что же такое элементы: объекты или атрибуты, но рассматривает и различает их в одно и то же время как атрибутированный виртуальный объект и как аспектированный актуальный объект через процессы имманентной и концептуальной апперцепции; 3) она различает релевантность и референтность — и четко устанавливает релевантность и референтность виртуальной реальности к актуальной реальности.

Мы будем исходить из того, что полагание на интуицию не является больше надежным условием для построения любой теории. Теория — не интуитивный инструмент, и не может основываться на интуиции. Мы изначально полагаем свое понимание как рефлексивное, а не как интуитивное. Интуиция не позволяет понимать, что такое, например, «множество всех множеств, содержащих себя в качестве члена». К примеру, «список всех списков, включающий себя» не позволяет интерпретировать это интуитивно как противоречие. В практике — здесь нет никакого противоречия (содержание книги содержит «содержание» как отдельный пункт для указания на страницу, где находится само содержание). В интуитивном представлении вообще не может быть никакого противоречия. Начинающееся же после этого рассуждение — «из этого следует» — является уже рефлексивным, а не интуитивным.

Интуиция заканчивается там, где начинаются рефлексивные рассуждения, где определения и ограничения призваны позволить избежать противоречий. Требование избегать противоречий — не является интуитивным, оно является рефлексивным. Собственно поэтому мы предлагаем не расширить понятие «интуиции», а наоборот сузить его до понимаемого как «один шаг мышления». Если нам нужно «два шага» мышления, это уже не интуиция, это рефлексия. Попытки использовать термины типа «интуитивная модель» лишены интуитивных же оснований. Модель — не интуитивна, модель всегда рефлексивна.

При рассмотрении абстрактной теории множеств нас будут интересовать идеи, на которых основаны различные аксиоматические системы, а не подробное изложение самих аксиоматических систем. Нас будут интересовать прежде всего цели, под которые создаются эти аксиоматические системы, как и выводы относительно целей самой абстрактной теории множеств по отношению к каждой аксиоматической системе[49].

Основные тенденции развития абстрактной теории множеств:

1) в теорию на формальном уровне вносится все больше и больше того содержания, что обычно оставалось на уровне описательных рассуждений;

2) в общем виде она становится все менее интуитивной, все более рефлексивной;

3) ее развитие демонстрирует новые цели самих исследователей, даже если они их не проговаривают: теория становится более универсальной и междисциплинарной (использующей другие теории и другие способы записей);

4) структурная по своей природе теория множеств нерефлексируемым для самих теоретиков образом превращается в пропозициональную теорию множеств.

Основная цель, которую можно увидеть при развитии абстрактной теории множеств, — что исследователи считают одинаково важным как силу аксиоматической системы, так и универсальность ее применения. Развитие абстрактной теории множеств происходило в этом разломе: сила — универсальность.

При этом происходит интересное явление: со времен Кантора логики в теории множеств пользуются ограниченной рефлексией, считая ее интуицией. Когда их ограниченная рефлексия входит в противоречие с опытом и наталкивает их на те или иные парадоксы, они вместо того, чтобы расширять применение рефлексии и развивать теоретические инструменты, наоборот, стремятся свести все к простому перечню ограничений, накладываемых на применение уже имеющихся инструментов. В целом с этим можно согласиться, — ведь таким образом был точно ограничен круг тех ситуаций, которые можно интерпретировать при помощи теории множеств. И оказалось, что это очень ограниченный круг ситуаций.

В связи с этим мы выдвигаем еще одну важную цель для развития абстрактной теории множеств, которая подспудно содержится в описанных нами теориях, — интерпретировать более широкий круг явлений и ситуаций более сложными инструментами, нежели множество. Вот мы построили множество, а где мы его построили: в языке, в опыте, в логике, в мышлении, в речи, в действии? Таким образом мы будем иметь не индивидуальные объекты эмпирической реальности или совокупности по общему свойству в логической реальности. Мы будем иметь еще нечто иное — совокупности по общему свойству в языке, в мышлении, в речи, в действии. И это разный тип свойств. Именно это создавало довольно известное опровержение для понимания классов: дескать, общее свойство допустимо найти (усмотреть) для вообще любой совокупности. С точки зрения представлений о реальности это не так, потому что общее свойство в эмпирической реальности допустимо найти только тогда, когда оно следует из опыта. А общее свойство, например, «быть записанным на этом листе», это не эмпирическое свойство — это свойство, относящееся к реальности высказываний. То есть мы различаем свойства в их отношении к тому или иному нормированию реальности, а также атрибутивные свойства и функциональные отношения (функциональные свойства), то есть трансвиртуальные атрибуты и трансактуальные аспекты[50].

И самое важное предложение ТВ — жестко разграничить структурное и пропозициональное описание на совершенно разные типы нормирований — структурное нормирование и лингвистическое нормирование. «Множество всех множеств» — не высказывание и не объект подобно иному объекту, оно — разноуровнево-структурное множество, о котором мы будем говорить далее.

Собственно наше предложение можно было бы описать как теорию типов свойств и соорудить очередную систему аксиом. Однако дело в том, что мы предлагаем вообще нечто новое:

1) мы различаем структурное нормирование и лингвистическое нормирование, то есть предполагаем, что объекты структурного нормирования и объекты лингвистического нормирования принадлежат принципиально к разным сферам нормирования реальности и принципиально не допустимы к описанию в теории множеств (см. раздел «Лингвистическое нормирование»);

2) мы различаем онтологические позиции для создания любого множества — истолкования и конструирования — и указываем на недопустимость создавать множество из двух позиций одномоментно, не создавая специальный контрафлексивный конструктивно-формальный «язык»;

3) в одной и той же записи мы задаем саму виртуальную совокупность и выписываем то, что раньше содержалось как комментарий к построению множества (так называемые интуитивные основания), то есть задаем отношение релевантности;

4) задаем релевантную для множества актуальную совокупность — то есть вводим отношение контрафлексивности в конструкт-семиозисе конструктивной символизации и в метасемиозисе конструктивного истолкования;

5) задаем наличие или отсутствие связи виртуальной совокупности с актуальной — наличие или отсутствие референтности;

6) вводим тип связи рассматриваемой виртуальной совокупности и контрафлексивной ей актуальной совокупности — тип референтности;

7) обозначаем для виртуальной совокупности ее референтность к контрафлексивной ей актуальной совокупности — как непосредственную или дистанционную референтность (см. об этом в разделе «Имманентная и концептуальная апперцепция»);

8) соответственно саму виртуальную совокупность — выражаем с точки зрения атрибутивности (атрибут или трансвиртуальный атрибут), а актуальную совокупность выражаем с точки зрения аспектности (актуальный или трансактуальный аспект — см. об этом в разделе «Имманентная и концептуальная апперцепция»), то есть порождаем отношение реальности — актуальной и виртуальной (реальность имеет принципиально немножественный характер);

9) различаем порядок первичности возникновения отношения «актуальность — виртуальность» как имманентность объектов, а «виртуальность — актуальность» как концептуальность объектов (см. об этом в разделе «Имманентная и концептуальная апперцепция»);

10) различаем объединение в совокупности объектов и их атрибутов и/или трансструктурных объектов и/или трансструктурных атрибутов, в записи — путем «иерархизации скобок» (см. об этом в разделе «Имманентная и концептуальная апперцепция»).

Таким образом, мы и получим то, что мы называем Теорией Виртуальности, как наследницу теории множеств. В данной работе мы не пытались строить более детально аксиоматические системы, поскольку это дело специалистов в области логики. Мы пытались всего лишь дать самые общие подходы к теории, которая вносит в область формального рассмотрения намного больше содержания, нежели теория множеств, позволяя оперировать этим содержанием. То, что раньше записывалось в виде сопутствующего комментария, теперь может быть помещено в конструктивно-формальную запись. Так мы произвели онтологическую реконструкцию теории множеств.

Различение аспектов (AR) и атрибутов (VR) уже позволяет понять глубинное различие между множеством, где связь между элементами атрибутивная, и классом, где связь между элементами функциональная. ТВ, являясь более универсальной теорией, нежели теория множеств, не может быть всецело сведена к теории множеств. Аксиома суть выражение феноменологически-апперцептивная функционализация онтологии ТВ. Аксиоматизация ведет к разрушению онтологии ТВ.