Моменты системы случайных величин

Начальный момент порядка k случайной величины Х может быть определен по формуле

Моменты системы случайных величин - student2.ru

Для величины Y:

Моменты системы случайных величин - student2.ru

Центральные моменты порядка k определяются формулами:

Моменты системы случайных величин - student2.ru

Моменты системы случайных величин - student2.ru

Например, средние значения для каждой из величин X и Y равны:

Моменты системы случайных величин - student2.ru Моменты системы случайных величин - student2.ru

Дисперсии величинX и Y могут быть подсчитаны по формулам:

Моменты системы случайных величин - student2.ru Моменты системы случайных величин - student2.ru

Смешанным моментом порядка r, s системы случайных величин X, Y называется математическое ожидание величины xrys:

Моменты системы случайных величин - student2.ru

Очевидно, что при s=0, либо r=0 формула дает моменты случайной величины X и Y по отдельности.

Смешанным центральным моментом порядка r, s случайных величин X, Y называется математическое ожидание величины Моменты системы случайных величин - student2.ru

Моменты системы случайных величин - student2.ru

Очевидно, что при s=0 или r=0 формула дает центральные моменты случайных величин X и Y по отдельности.

Особую роль играет центральный смешанный момент первого порядка m11, который называется корреляционным моментом:

 
  Моменты системы случайных величин - student2.ru

Моменты системы случайных величин - student2.ru

Коэффициентом корреляции случайных величин Х,Y называется безразмерная величина

Моменты системы случайных величин - student2.ru

Важным свойством коэффициента корреляции является следующее:

| Rxy | ≤ 1.

Коэффициент корреляции и корреляционный момент независимых случайных величин равен нулю. Случайные величины Х и Y называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля. Они называются некоррелированными, если Кху=Rxy=0. Независимые величины всегда некоррелированы. Зависимые величины могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. При ряде обычных законов распределения понятия некоррелированные и независимые совпадают. В частности, для того, чтобы две величины, подчиненные нормальному закону, были взаимно независимы, необходимо и достаточно, чтобы Rxy=0.

Величина Rxy определяет степень коррелированности (связанности) случайных величин. Если абсолютное значение ïRxyï=1, то случайные величины являются полностью коррелированными. При этом случайные величины X и Y связаны между собой линейной зависимостью. Знак Rxy определяет характер связанности случайных величин. Положительный знак Rxyозначает, что при отклонении одной из случайных величин от ее математического ожидания другая случайная величина будет иметь в среднем тенденцию к отклонению от своего математического ожидания по знаку в ту же сторону, что и первая случайная величина. Эта тенденция будет проявляться тем сильнее, чем ближе к единице будет значение Rxy. Наоборот, отрицательное значение Rxy означает, что при отклонении одной из случайных величин от ее математического ожидания другая случайная величина будет иметь в среднем тенденцию к отклонению от своего математического ожидания по знаку в другую сторону по сравнению с первой случайной величиной. Эта тенденция будет проявляться тем сильнее, чем ближе к -1 будет значение Rxy.

Наши рекомендации