Моменты системы случайных величин

Начальный момент порядка k случайной величины Х может быть определен по формуле

Для величины Y:

Центральные моменты порядка k определяются формулами:

Например, средние значения для каждой из величин X и Y равны:

Дисперсии величинX и Y могут быть подсчитаны по формулам:

Смешанным моментом порядка r, s системы случайных величин X, Y называется математическое ожидание величины x^ry^s:

Очевидно, что при s=0, либо r=0 формула дает моменты случайной величины X и Y по отдельности.

Смешанным центральным моментом порядка r, s случайных величин X, Y называется математическое ожидание величины

Очевидно, что при s=0 или r=0 формула дает центральные моменты случайных величин X и Y по отдельности.

Особую роль играет центральный смешанный момент первого порядка m₁₁, который называется корреляционным моментом:

Коэффициентом корреляции случайных величин Х,Y называется безразмерная величина

Важным свойством коэффициента корреляции является следующее:

| R_xy | ≤ 1.

Коэффициент корреляции и корреляционный момент независимых случайных величин равен нулю. Случайные величины Х и Y называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля. Они называются некоррелированными, если К_ху=R_xy=0. Независимые величины всегда некоррелированы. Зависимые величины могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. При ряде обычных законов распределения понятия некоррелированные и независимые совпадают. В частности, для того, чтобы две величины, подчиненные нормальному закону, были взаимно независимы, необходимо и достаточно, чтобы R_xy=0.

Величина R_xy определяет степень коррелированности (связанности) случайных величин. Если абсолютное значение ïR_xyï=1, то случайные величины являются полностью коррелированными. При этом случайные величины X и Y связаны между собой линейной зависимостью. Знак R_xy определяет характер связанности случайных величин. Положительный знак R_xyозначает, что при отклонении одной из случайных величин от ее математического ожидания другая случайная величина будет иметь в среднем тенденцию к отклонению от своего математического ожидания по знаку в ту же сторону, что и первая случайная величина. Эта тенденция будет проявляться тем сильнее, чем ближе к единице будет значение R_xy. Наоборот, отрицательное значение R_xy означает, что при отклонении одной из случайных величин от ее математического ожидания другая случайная величина будет иметь в среднем тенденцию к отклонению от своего математического ожидания по знаку в другую сторону по сравнению с первой случайной величиной. Эта тенденция будет проявляться тем сильнее, чем ближе к -1 будет значение R_xy.