Понятие множества, элементов множества, подмножество, универсальное множество, пустое множество

Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине

«Дискретный анализ»

Понятие множества, элементов множества, подмножество, универсальное множество, пустое множество.

Множество – неупорядоченная именованная совокупность элементов, удовлетворяющая следующим условиям:

· каждый элемент совокупности уникален, т. е. отличим от других;

· для любого объекта существует возможность установить, принадлежит ли он множеству или нет.

Принадлежность элемента а множеству А обозначается аÎА
(Î происходитот греческой буквы e).

Элементы множества в математике принято заключать в фигурные скобки {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Элементами множества могут быть объекты разной природы и структуры. В частности, множества могут сами быть элементами множеств. Примеры: множество студентов одной группы; множество команд языка программирования; множество групп студентов 2-го курса и т.д. В последнем случае элементы (группы студентов) сами являются множествами.

Число элементов множества А обозначается как |А| и называется мощностью (размером, нормой, длиной и др.) множестваА. Вводится множество, не содержащее элементов, обозначаемое символом Æ и называемое пустым множеством. Пустое множество может встретиться в реальных задачах и не является «изобретением» математиков. Так, например, может оказаться, что множество студентов, получивших две неудовлетворительные оценки, пусто (таких студентов просто нет).

Для сокращения записи используется символ | вместо слов «таких, что». В дальнейшем будем применять также символы & для обозначения связки И, | для обозначения связки ИЛИ, квантор общности "a (для всех a) и квантор существования $a (существует a).

Множества А и В равны, что обозначается как А=В, если

("аÎА$b ÎВ,а=b)& ("bÎВ$aÎА, а=b).

Это условие лежит в основе методов проверки равенства двух множеств.

Если заведомо выполняется только условие, записанное в первой скобке определения равенства, то множество A является частью множества В или его подмножеством, что обозначается как АÍВ.

Для множества A множество B называется дополнением A, если в B включены те и только те элементы, которые не принадлежат A (обозначается как B= ~A, В=`A или B=ùА). Эту операцию ещё называют НЕ, т.е. говорят B равно НЕ А.

Предполагается, что дополнение происходит до некоторого универсального множества (универсума), определяемого предметной областью задачи. Универсальное множество обозначается символом U. Любое множество является подмножеством универсального множества. Например, универсальным множеством может быть множество студентов факультета, и для него можно рассматривать множества студентов конкретных групп, студентов, получающих именные стипендии и т.п.

Под множеством понимают совокупность объектов произвольной природы различимых по некоторому признаку. Объекты, принадлежащие множеству, называются его элементами. Элементы множества в математике принято заключать в фигурные скобки {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Множества принято обозначать большими буквами латинского алфавита , а элементы множеств малыми буквами . Если множество имеет конечное число элементов, то его можно описывать, перечисляя элементы в фигурных скобочках через запятую:

, ,

где А – множество натуральных чисел 1,2,3,4,5 и 6, а В – множество букв a,b,r,t и x.

В этом случае говорят, что, например, элемент 3 принадлежит множеству А (обозначается ). Если же объект не является элементом множества (например, 10 для множества А), то говорят, что он не принадлежит множеству (обозначается ).

Множество также можно определять указанием свойства элементов данного множества.

Пример 1.1.

,

то есть множество С состоит из тех действительных чисел x, которые удовлетворяют неравенству .

Определение 1.1. Множество А называется подмножествоммножества В (обозначается ), если каждый элемент множества А является элементом множества В.

Пример 1.2.

Множество является подмножеством множества , то есть .

Определение 1.2. Говорят, что множество А равно множеству (обозначается А=В), если любой , тогда и только тогда, когда . Иначе говоря, имеют место два включения: и .

Если и , то это записывают и говорят, что А есть собственное подмножество множества В.

Определение 1.3. Пустым множеством (обозначается Æ) называется множество, которое не содержит элементов.

Определение 1.4. Универсальным множеством E называется множество, обладающее таким свойством, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.

2. +Операции над множествами и их семействами: объединение, пересечение, дополнение, разность.

При изучении операций над множествами удобно использовать диаграммы Эйлера. На них универсальное множество изображается в виде прямоугольника, а рассматриваемые множества в виде кружков, расположенных внутри прямоугольника. Множество, полученное после выполнения операций над множествами, изображают заштрихованной областью.

Объединением множествА и В (обозначается ) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B (рис. 2.1.). То есть:

.

Пересечением множествА и В (обозначается ) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и А, и В (рис. 2.2.). То есть:

.

Разностью множествА и В (обозначается ) называется множество всех тех и только тех элементов множества А, которые не содержатся во множестве В (рис. 2.3.). То есть:

.

Симметрической разностью множеств А и В (обозначается ) называется множество всех тех и только тех элементов, которые принадлежат либо только А, либо только В (рис. 2.4.). То есть:

.

Дополнением множества А (обозначается ) называется множество, состоящее из элементов, не принадлежащих множеству А (рис. 2.5.). То есть:

.

Для трех, четырех и более множеств операции определяются аналогично. Так, например, для множеств их объединение: