Основные правила построения модели

Математическую модель изображают в виде графа состояний. Элементы графа:

- кружки (вершины графа , ,…, ) – возможные состояния системы , возникающие при отказах элементов;

- стрелки – возможные направления переходов из одного состояния в другое .

Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.

Примеры диаграмм графа представлен на рис. 2.16.

а)

б)

Рисунок 2.16 – Примеры диаграмм графа состояний системы с восстановлением («восстанавливаемый элемент») (а) и системы без восстановления («невосстанавливаемый элемент») (б)

На рис 2.16 введены следующие обозначения:

- – работоспособное состояние;

- – состояние отказа.

Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы , ,…, . Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.

Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний

, , … , , … , ,

где – вероятность нахождения системы в момент в состоянии, .

Очевидно, что для любого

(2.42)

По графу состояний (рис. 2.17) составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена), имеющих вид

. (2.43)

Рисунок 2.17 – Диаграмма графа состояний

В общем случае, интенсивности потоков и могут зависеть от времени .

При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:

а) в левой части – производная по времени от ;

б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;

в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;

г) знак произведения положителен, если стрелка входит в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.

Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний , , … , , … , необходимо задать начальное значение вероятностей , , … , , … , , при , сумма которых равна единице:

Если в начальный момент состояние системы известно, например, , то , а остальные равны нулю

.