Свойства кривой распределения для случайных величин

1. Кривая распределения симметрична.

2. Точки перегиба кривой распределения находятся на оси абсцисс Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru .

3. Вероятность того, что погрешности не выйдут за пределы Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru , составляет Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru .

4. Вероятность того, что погрешности не выйдут за пределы Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru , составляет Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru .

5. Вероятность того, что погрешности не выйдут за пределы Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru , составляет Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru .

6. Вероятность того, что погрешности не выйдут за пределы Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru , составляет Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru .

7. Вероятность того, что погрешности не выйдут за пределы Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru , составляет Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru .

8. При нормальном законе распределения погрешность Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru в среднем может встретиться 1 раз на каждые 3 измерения.

9. При нормальном законе распределения погрешность Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru в среднем может встретиться 1 раз на каждые 22 измерения.

10. При нормальном законе распределения погрешность Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru в среднем может встретиться 1 раз на каждые 370 измерений.

11. При нормальном законе распределения погрешность Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru в среднем может встретиться 1 раз на каждые 157870 измерений.

12. При нормальном законе распределения погрешность Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru в среднем может встретиться 1 раз на каждые 1743983 измерений.

Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru

Рис. 3. Нормальный закон распределения погрешности измерений (а) и случайной составляющей погрешности измерений (б).

В практической деятельности часто используют свойства нормального закона. Так, например, при нормальном законе распределения случайных погрешностей со среднеквадратическим отклонением Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru часто пользуются доверительным интервалом от —3 Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru до +3 Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru , для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что при наблюдениях в среднем из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3 Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru . Так как на практике число отдельных измерений редко превышает несколько десятков, появление даже одной случайной погрешности, большей, чем 3 Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru , маловероятное событие, наличие же двух подобных погрешностей почти невозможно. Это позволяет с достаточным основанием утверждать, что все возможные случайные погрешности измерения, распределенные по нормальному закону, практически не превышают по абсолютному значению 3 Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru (правило «трех сигм»). Отсюда же исходит и «правило шести сигм» (интервал от —3 Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru до +3 Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru равен 6 Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru ), применяемое в Всеобщем управлении качеством (TQM).

Интервалы шире чем ±3 Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru , как правило, применяют очень редко, так как это считается излишним, однако, например, в технике грузовые устройства (краны, гаки) рассчитываются с четырехкратным запасом прочности.

Распределение Стьюдента, (t-распределение). Распределение вероятностей непрерывной случайной величины, с плотностью распределения вероятностей

Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru ,

где Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru с параметром Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru ;

Г – гамма – функция.

Распределение Стьюдента с возрастанием числа степеней свободы Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru стремится к нормальному закону. Функция табулирована.

Данный закон распределения широко используется при обработке результатов многократных измерений.

Равномерный закон распределения. Если погрешность измерений с одинаковой вероятностью может принимать любые значения, не выходящие за некоторые границы, то такая погрешность описывается равномерным законом распределения. При этом плотность вероятности погрешности Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru постоянна внутри этих границ и равна нулю вне этих границ. Равномерный закон распределения представлен на рис. 4 . Аналитически он может быть записан так:

Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru при Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru ;

Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru при Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru ;

 
  Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru

Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru

Рис. 4 Равномерный закон распределения

Трапециевидный закон распределения. Это распределение графически изображено на рис. 5, а. Погрешность имеет такой закон распределения, если она образуется из двух независимых составляющих каждая из которых имеет равномерный закон распределения, но ширина интервала равномерных законов различна. Например, при последовательном соединении двух измерительных преобразователей, один из которых имеет погрешность, равномерно распределенную в интервале Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru , а другой — равномерно распределенную в интервале Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru , суммарная погрешность преобразования будет описываться трапециевидным законом распределения.

Треугольный закон распределения (закон Симпсона). Этораспределение (см. рис. 5, б ) является частным случаем трапециевидного, когда составляющие имеют одинаковые равномерные законы распределения.

Свойства кривой распределения для случайных величин - student2.ru

Рис. 5. Трапециевидный (а) и треугольный (б) законы распределения

Вопросы к разделу

1. По каким признакам классифицируются методы измерений?

2. Какие методы измерений вам известны?

3. Назовите признаки, по которым классифицируются погрешности.

4. Сформулируйте свойства случайной, систематической и прогрессирующей составляющих погрешности измерений.

5. Приведите известные вам примеры методических погрешностей.

6. В чем заключаются принципы оценивания погрешностей?

7. Расскажите о математических моделях погрешности измерения.

8. Какие характеристики погрешностей вам известны?

9. Перечислите правила округления результатов измерений.

10. Каким образом ориентировочно оценить погрешность результата измерения по числу его значащих цифр?

11. Что такое систематическая погрешность?

12. Дайте определение исправленного результата измерений.

13. При каких условиях погрешность измерения может рассматриваться как случайная величина?

14. Назовите основные классы распределений, используемых в метрологии.

15. Что такое нормальное распределение? Почему оно играет особую роль в метрологии?

16. Что такое функция Лапласа и для чего она используется?

17. Как описывается и где используется семейство распределений Стьюдента?

18. Какие точечные оценки законов распределения вы знаете? Какие требования предъявляются к ним?

19. Что такое доверительный интервал? Какие способы его задания вам известны?

Наши рекомендации