Теория размерностей

При физическом написании уравнений и в конкретных расчетах необходимо вводить и использовать различные системы координат. Возможный произвол в выборе систем координат не связан с существом самих явлений и поэтому различные уравнения должны обладать свойством инвариантности относительно систем координат.

Для достижения этого при описании физических явлений используется аппарат тензорного исчисления.

С другой стороны, определение и задание различных величин с помощью чисел связано с использованием определённых единиц измерения, выбор которых также произволен и зависит от исследователя.

Величины, численное значение которых зависит от выбора единиц измерения, называются размерными величинами. Действия с большим числом разнообразных характеристик показывают, что единицы измерения для разных характеристик связаны между собой (скорость с единицами длины и времени).

Наряду с зависимыми единицами измерения рассматривают независимые первичные единицы, вводимые опытным путём с помощью произвольных теоретических условий [37].

Величины, для которых единицы измерения вводятся из опыта с помощью эталонов, по условию называются первичными, или основными (так же называются единицы измерения).

Единицы измерения для других величин, которые получаются из определения этих величин (через первичные), называются производными, или вторичными единицами измерения.

Можно вводить системы единиц измерения с любым числом первичных единиц. Однако в этом случаи появляется дополнительная размерная физическая постоянная, которая связывает некоторые основные единицы. Величины, численные значения которых зависят от выбора конкретной системы единиц измерения, называются размерными.

Величины, численное значения которых одно и то же во всех системах единиц измерения, называются безразмерными (или отвлечёнными).

Основой научного исследования любого физического явления является математическая формулировка задачи (т. е. составление математической модели явления). Она включает в себя систему уравнений (дифференциальных, интегральных) и краевые условия.

Дифференциальные уравнения описывают целый класс явлений, краевые условия выделяют из этого класса конкретный вид явления. Численные значения краевых условий определяют конкретное явление.

Уравнения, входящие в математическую формулировку и краевые условия, могут быть приведены к безразмерному виду.

Физические явления, отличающиеся масштабами определяющих их параметров, называют подобными.

Безразмерные комплексы, совокупность которых выделяют в группу подобных между собой явлений, называют числами подобия.

Числа подобия, составленные из условий однозначности, называют критериями подобия.

Примеры:

- число Эйлера (р - давление, r - плотность, v - скорость);

- число Рейнольдса ( - характерный размер, - динамическая вязкость, - кинетическая вязкость);

- число Фруда;

- число Маха (а - скорость звука).

Связь между числами подобия, выражаемыми функциональными зависимостями, называют уравнениями подобиями.

Математическая формулировка задачи позволяет выявить перечень и структуру чисел подобия, определяющих исследуемое явление. Однако не всегда исследуемое явление имеет математическое описание, в этом случае прибегают к анализу размерностей и Пи-теореме.

Сущность метода состоит в том, что составляется перечень размерных величин, которые могут влиять на протекание исследуемого явления. Из этих величин формируются безразмерные комплексы.