Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конечное или бесконечное счетное число (изолированных) значений. Например, можно рассмотреть случайную величину – число точек на грани игрального кубика, выпадающее при его подбрасывании [3].

Законом распределения дискретной случайной величины называется соотношение между ее возможными значениями и их вероятностями (т. е. вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти возможные значения).

Закон распределения может быть задан формулой (формулы Бернулли, Пуассона и др.), таблицей или графиком, а также функцией распределения.

Функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины называется функция

,

определяющая вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее .

Свойства функции распределения:

а) функция распределения принимает значения только из отрезка [0,1]:

0 ≤ F(x) ≤ 1;

б) F(x) – неубывающая функция, т.е. если x₂ > x₁, то F(x₂) > F(x₁) ;

в) F(- ∞ ) = 0; F(+ ∞) = 1;

г) вероятность того, что случайная величина примет значение из

интервала (причем ), равна:

;

д) F(x) непрерывна слева, т. е. F(x) = F(x – 0)

Закон распределения дискретной случайной величины может быть представлен в виде многоугольника распределения – фигуры, состоящей из точек , соединенных отрезками (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Многоугольники уни (моно)модального (а), полимодального (б) и антимодального (в) распределений

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется среднее значение данной случайной величины

,

т. е. математическое ожидание – это сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности .

Мода распределения – это значение СВ, имеющее наиболее вероятное значение. Если мода единственна, то распределение называется унимодальным (рис. 1.3, а), в противном случае – полимодальным (рис. 1.3, б) Если в середине диапазона изменения аргумента наблюдается минимум на графике многоугольника вероятностей, тогда распределение называется антимодальным (рис. 1.3, в).

Медиана – это значение случайной величины, которое делит таблицу распределения на две части таким образом, что вероятность попадания в одну из них равна 0,5

.

Медиана обычно не определяется для дискретной случайной величины.

Величина , определяемая равенством , называется квантилью порядка . Соответственно квантиль порядка 0,5 является медианой.

Свойства математического ожидания.

а) , где ;

б) ;

в) ;

г) если случайные величины и независимы, то .

Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания

,

.

Дисперсия служит для характеристики рассеяния СВ относительно ее математического ожидания

.

Свойства дисперсии:

а) , где ;

б) ;

в) ,

где – ковариация двух случайных величин и ;

г) если и некоррелированы, то , тогда .

Средним квадратическим отклонением называется величина, которая имеет ту же размерность, что и СВ :

.

При1. гипергеометрическом законе вероятность появления числа дефектных изделий в выборке с числом деталей описывается следующим выражением

, (1.5)

где - объем партии изделий; - число дефектных изделий в партии; - число сочетаний из по ; - число сочетаний из по ; - число сочетаний из по .

Величины - постоянные, а является случайной переменной.

2.При гипергеометрический закон стремится к биномиальному закону, в соответствии с которым вероятность появления дефектных изделий (их количество - d) в выборке объемом составляет

, (1.6)

где - число сочетаний из по ;

- характеристика контролируемой партии.

3.При и биномиальный закон распределения совпадает с законом Пуассона. При этом вероятность появления дефектных изделий (их количество - ) в выборке объемом равно , (1.7)

где - положительная величина, называемая параметром Пуассона.

1. Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения с параметрами n и p, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями

где .

Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа X = m наступлений событий A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p.

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

Биномиальный закон распределения широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, при моделировании цен активов, в теории стрельбы и т.д.

2. Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона с параметром l > 0, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, … (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

При достаточно больших n ( ) и малых значениях р ( ) при условии, что произведение – постоянная величина ( ), закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона (закон массовых и редких событий). Кроме этого, по закону Пуассона распределены число сбоев на автоматической линии, число отказов сложной системы в «нормальном режиме», число «требований на обслуживание», поступивших в единицу времени в системах массового обслуживания и др.

4. Закон распределения Бернулли. Случайная величина , распределенная по закону Бернулли (индикаторная случайная величина), принимает значения: 1 – «успех» или 0 – «неудача» с вероятностями и соответственно

Математическое ожидание случайной величины : .

Дисперсия: .