Свойства смешанного произведения трех векторов

1. Смешанное произведение упорядоченной тройки некомпланарных векторов положительно, если эта тройка векторов является правой и отрицательно, если рассматриваемая тройка векторов является левой, то есть, если , , - некомпланарная тройка векторов, то

, если , , - правая тройка векторов;

, если , , - левая тройка векторов.

Смешанное произведение компланарной тройки векторов равно нулю, то есть, если , , - компланарные векторы, то

Доказательство. По определению скалярного произведения векторов

Знак смешанного произведения векторов , , совпадает со знаком .

Рассмотрим два случая.

1) , , - правая тройка векторов.

Согласно определению векторного произведения векторов, векторы , , также образуют правую тройку векторов, и потому в рассматриваемом случае , следовательно,

2) , , - левая тройка векторов.

В этом случае и потому .

Допустим теперь, что , , - компланарные векторы. Тогда и .

Следовательно, для компланарных векторов , , имеет место равенство .

2. Смешанное произведение трех векторов обладает свойством цикличности, то есть

.

Доказательство. Модуль каждого из смешанных произведений , , численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , , , значит, модули рассматриваемых смешанных произведений равны между собой. Кроме того, если , , - некомпланарные векторы, то упорядоченные тройки векторов , , ; , , и , , , являются тройками одинаковой ориентации, и потому, на основании предыдущего свойства, соответствующие смешанные произведения имеют один и тот же знак. Из изложенного и следует, что .

В случае, если , , - компланарные векторы, все рассматриваемые смешанные произведения равны нулю и, следовательно, равны между собой.

Учитывая свойство цикличности, смешанное произведение с часто записывают в виде .

3. При перестановке двух векторов смешанное произведение трёх векторов меняет знак, то есть

;

;

.

Доказательство. Убедимся в справедливости первого равенства. Если , , - некомпланарные векторы, то упорядоченные тройки векторов , , и , , являются тройками противоположной ориентации, и потому, согласно свойству 1 смешанного произведения трёх векторов, и имеют разные знаки. Учитывая, кроме того, равенство модулей этих смешанных произведений, получим .

Если же , , - компланарные векторы, то рассматриваемые смешанные произведения равны нулю, следовательно, и в этом случае доказываемое утверждение справедливо.

Аналогично можно проверить справедливость остальных равенств.

СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

ДВУХ ВЕКТОРОВ

1. Векторное произведение двух векторов обладает свойством антипереместительности:

.

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы и равны, докажем, что равны их проекции на любую ось. Пусть - произвольная ось. По свойству 3 скалярного произведения двух векторов

,

где - орт оси . С учетом свойства 3 смешанного произведения трёх векторов это равенство принимает вид

.

Если же теперь в правой части применить свойства 3 и 4 скалярного произведения двух векторов, то получим , где - любая ось.

Следовательно, согласно критерию равенства двух векторов .

2. Скалярный множитель можно вынести за знак векторного произведения двух векторов:

и

Доказательство. Убедимся в справедливости первого равенства. Для этого достаточно доказать, что где - любая ось. По свойству 3 скалярного произведения двух векторов

,

где - орт оси . С учетом свойства цикличности смешанного произведения трёх векторов это равенство принимает вид

,

или, в силу свойства 4 скалярного произведения двух векторов,

.

Если же в правой части этого равенства вновь воспользоваться свойством цикличности смешанного произведения трёх векторов и свойством 3 скалярного произведения двух векторов, то имеем

.

Учитывая теорему о проекции на ось произведения вектора на скаляр, получим

где - любая ось, и потому, согласно критерию равенства двух векторов,

.

Аналогично можно доказать справедливость второго равенства.

3. Векторное произведение двух векторов обладает свойством распределительности, то есть

.

Доказательство. Докажем, что где - произвольная ось. По свойству 3 скалярного произведения двух векторов

,

где - орт оси . С учетом свойства цикличности смешанного произведения трех векторов это равенство принимает вид

.

В силу свойства распределительности скалярного произведения двух векторов имеем

.

В каждом слагаемом правой части последнего равенства вновь применим свойство цикличности смешанного произведения трех векторов. Тогда получим

,

или, с учетом свойства распределительности скалярного произведения,

.

Если же ещё раз воспользоваться свойством 3 скалярного произведения двух векторов, то придем к выводу, что

где - любая ось, и потому, согласно критерию равенства двух векторов,

.

4. .

Доказательство. Воспользуемся равенством:

.

Тогда, в силу свойств 2 и 3 векторного произведения двух векторов, имеем

то есть

.

5. Векторное произведение вектора самого на себя есть нуль-вектор:

.

Доказательство. Справедливость этого утверждения с очевидностью следует из определения векторного произведения двух векторов.

6. Имеет место следующая таблица векторных произведений координатных ортов:

	Второй множитель
Первый множитель

Справедливость этой таблицы следует из определения векторного произведения двух векторов.

7. Векторное произведение векторов и может быть представлено через проекции этих векторов на координатные оси по следующей формуле:

или, что то же самое,

.

Доказательство. Разложим каждый из векторов и по координатным ортам: и .

Воспользовавшись свойствами 2 и 3 векторного произведения двух векторов, имеем

,

или, с учетом таблицы векторных произведений координатных ортов,

.

В силу свойств сочетательности и распределительности произведения вектора на скаляр, получим , или, что то же самое, .