Свойства линейно зависимых векторов
1. Критерий линейной зависимости векторов. Для того, чтобы векторы 
были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов был представим в виде линейной комбинации всех остальных:
.
Мы выделили вектор 
, но это не налагает никаких ограничений, так как всегда можно произвести перенумерацию векторов.
Доказательство
Необходимость. По условию линейно зависимые векторы, и потому, по определению, существует такая совокупность чисел 
из которых хотя бы одно отлично от нуля, что справедливо равенство
.
Пусть 
. Тогда, полагая 
; 
; … ; 
,
получим 
, то есть .
Достаточность. Пусть .
Тогда 
.
Очевидно, что по меньшей мере одно из чисел в линейной комбинации в левой части этого равенства отлично от нуля 
и потому, на основании определения, векторы линейно зависимы.
2. Если среди векторов имеется нуль-вектор, то рассматриваемые векторы линейно зависимы.
Доказательство. Пусть 
, тогда можно положить , где 
.
Следовательно, векторы , согласно критерию, линейно зависимы.
3. Если в совокупности векторов векторы 
являются линейно зависимыми, то и векторы линейно зависимы.
Доказательство. Действительно, если 
, то 
и потому, согласно критерию, векторы линейно зависимы.
Теорема(об одинаково направленных векторах). Если векторы 
и 
одинаково направлены, то 
.
При этом разумеется, что 
.
Доказательство. Надо показать, что если 
и , то векторы 
и равны. Действительно, 
, т.е. модули векторов и равны. Далее, 
.
Следовательно, направления векторов и совпадают. Теорема доказана.
Теорема(о противоположно направленных векторах). Если векторы и противоположно направлены, то 
При этом разумеется, что .
Доказательство. Надо показать, что если 
и , то векторы 
и равны. Действительно, 
, т.е. модули векторов и равны. Далее, 
. Следовательно, направления векторов и совпадают. Утверждение доказано.
Теорема (о связи между вектором и его ортом). Всякий ненулевой вектор может быть представлен в виде произведения модуля этого вектора на его орт:
Доказательство. Воспользуемся теоремой об одинаково направленных векторах. По определению 
и потому 
.
Так как 
, то для любого ненулевого вектора справедливо равенство
,
что и требовалось доказать.
Следствие. Для орта ненулевого вектора справедливо равенство
.
Теорема (о связи между составляющей вектора по оси и ортом этой оси). Составляющая вектора по оси равна произведению проекции рассматриваемого вектора на ось и орта той же оси, т.е.
где 
- любая ось, 
- орт этой оси.
Доказательство. Проведем доказательство в предположении, что 
Согласно теореме о связи между вектором и его ортом, 
.
При этом возможны следующие случаи:
1. 
.
Тогда по определению проекции вектора на ось 
. Кроме того 
. Следовательно, .
2. 
Тогда 
и 
. Значит, 
. Таким образом , что и требовалось доказать.
Справедливость рассматриваемого утверждения в том случае, когда 
(есть нуль-вектор), рекомендуем проверить самостоятельно.