Критерий равенства двух векторов

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О ВЕКТОРАХ

Определение. Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого различают начало и конец.

Обычно вектор изображают стрелкой и обозначают . При рассмотрении нескольких векторов используют также обозначения , и другие.

Определение. Длиной (модулем) вектора называется длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора.

Длину вектора обозначают .

Определение. Нулевым вектором (нуль-вектором) называется вектор, длина которого равна нулю.

Нуль-вектор будем обозначать . Нуль-вектор не имеет определенного направления.

Определение. Ортом называется вектор, длина которого равна единице.

Орт будем обозначать . По определению .

Определение. Ортом ненулевого вектора называется орт, направление которого совпадает с направлением данного вектора.

Орт вектора обозначим .

Определение. Вектор называется свободным, если он задается только направлением и длиной.

Определение. Вектор называется скользящим, если он задается не только направлением и длиной, но, кроме того, фиксируется прямая, на которой он расположен.

Определение. Вектор называется закрепленным, если он задается направлением, длиной и фиксированным началом.

В последующем будем рассматривать преимущественно свободные векторы, однако будут использоваться также и закрепленные векторы. Закрепленный вектор будем обозначать, как правило, двумя буквами, а именно ; здесь - начало вектора, - конец вектора.

При рассмотрении нескольких векторов используются также обозначения , и другие.

Длину вектора обозначают .

Определение. Углом между векторами и называется угол, на который надо повернуть первый вектор , чтобы его направление совпало с направлением второго вектора .

Угол между векторами и обозначают ( ).

Определение. Угол между векторами и называют положительным, если поворот от вектора к вектору производится против часовой стрелки.

Определение. Угол между векторами и называют отрицательным, если поворот от вектора к вектору производится по часовой стрелке.

Из определения угла между векторами и с очевидностью следует, что угол между этими векторами определяется с точностью до слагаемого , где - любое целое число. Действительно, повернув вектор на угол , придем к прежнему положению вектора . Впредь будем полагать, что поворот от вектора к вектору производится до первого совмещения направления первого вектора с направлением второго, т.е. будем считать . Условимся, кроме того, поворот от первого вектора ко второму производить, как правило, против часовой стрелки, т.е. будем, как правило, полагать .

Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых.

Из этого определения следует, что угол между коллинеарными векторами либо равен 0 (в этом случае векторы называют одинаково направленными), либо равен (в этом случае векторы называют противоположно направленными). Для указания того, что и одинаково направленные векторы, используют обозначение . Если и противоположно направленные векторы, то в этом случае пишут .

Определение. Два вектора называются равными, если они имеют одну и ту же длину и одинаково направлены.

Определение. Параллельным переносом вектора называется такой его перенос, при котором сохраняется направление вектора и его длина.

Следовательно, вектор, полученный из данного параллельным переносом, равен данному. Очевидно также, что равные векторы посредством параллельного переноса можно совместить. За счет параллельного переноса можно совместить начала всех рассматриваемых векторов или совместить начало одного из векторов с концом другого.

Определение. Два вектора называются противоположными, если они имеют одну и ту же длину и противоположно направлены.

Определение. Осью называется прямая с выбранным на ней направлением.

Ось будем обозначать буквой .

Определение. Ортом оси называется орт, направление которого совпадает с направлением этой оси.

Орт оси обозначим или короче .

В дальнейшем направление оси будем задавать её ортом , а угол между осью и вектором , будем обозначать .

Определение. Проекцией точки на ось называется точка, являющаяся основанием перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось.

Определение. Составляющей вектора по оси называется вектор, началом которого является проекция начала вектора на ось , а концом - проекция конца вектора на ту же ось .

Составляющую вектора по оси обозначим .

Определение. Проекцией вектора на ось называется число, модуль которого равен длине составляющей вектора по оси , причем это число положительно, если составляющая вектора по оси и ось одинаково направлены, и отрицательно, если составляющая вектора по оси и ось противоположно направлены.

Проекцию вектора на ось обозначают или .

Доказательство.

Необходимость. Пусть , тогда векторы и можно совместить, и потому, очевидно, , где - любая ось.

Нетрудно показать справедливость утверждения и без совмещения векторов.

Достаточность. Пусть , где - любая ось. Докажем, что .

Предположим противное: . Убедимся в том, что при этом предположении найдется хотя бы одна такая ось, что проекции векторов и на эту ось не будут равны между собой.

Рассмотрим два возможных случая:

1). Векторы и коллинеарны.

Совместим начала этих векторов и проведем ось так, чтобы рассматриваемые векторы оказались расположенными на этой оси.

При этом:

а) Если векторы и одинаково направлены, то в силу того, что их длины различны (иначе оказалось бы, что ), концы векторов и не совпадут. Очевидно, что тогда составляющие векторов и по оси будут иметь различные длины и, следовательно, , что противоречит условию утверждения.

б). Если векторы и противоположно направлены, то, очевидно, и составляющие этих векторов по оси имеют противоположные направления. В этом случае проекции векторов и на ось являются числами разных знаков, и потому , что противоречит условию утверждения.

2). Векторы и неколлинеарны.

Совместим начала векторов и и проведем ось через общее начало и перпендикулярно биссектрисе угла .

Составляющие векторов и по оси будут иметь противоположные направления. В этом случае проекции векторов и на ось являются числами разных знаков, и потому , что противоречит условию утверждения.

Итак, предположение, что , противоречит условию утверждения, следовательно, .

Координаты точек на прямой

Определение. Числовой осью называется ось с выбранным на ней началом отсчета и масштабом.

Числовую ось обозначим через . Точка − начало отсчета. Орт числовой оси обозначим через .

O

M

x

Пусть − произвольная точка на числовой оси .

Определение. Радиусом-вектором точки на числовой оси называется вектор, началом которого является точка , а концом - точка .

Из определения очевидно, что радиус-вектор точки - закрепленный вектор.

Определение. Координатой точки на числовой оси называется проекция радиуса-вектора точки на рассматриваемую ось.

Координату точки на числовой оси обозначим буквой . При этом обычно употребляется следующая запись: .

Итак, по определению,

.

Можно доказать, что между множеством точек на числовой оси и множеством вещественных чисел существует взаимнооднозначное соответствие, т.е. каждой точке на числовой оси соответствует определенное вещественное число, являющееся координатой этой точки на рассматриваемой оси, и каждому вещественному числу соответствует на числовой оси определенная точка, для которой указанное число является координатой на этой оси.

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Пусть даны свободные векторы и . Совместим начало второго вектора с концом первого вектора .

Определение. Суммой двух векторов и называется вектор, началом которого является начало первого из складываемых векторов , а концом - конец второго вектора , при этом разумеется, что начало второго из складываемых векторов совмещено с концом первого.

Сумма векторов и обозначается .

Из определения следует, что

1) сумма двух противоположных векторов есть нуль-вектор,

2) сумма вектора и нуль-вектора равна вектору .

Теорема(о проекции суммы двух векторов на ось). Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций складываемых векторов на ту же ось, т.е.

где - любая ось.

Доказательство. Наряду с осью рассмотрим числовую ось , совмещенную с осью и одинаково с ней направленную. Тогда, очевидно,

, ,

Согласно чертежу, , , ;

, ,

По теореме о проекции вектора на числовую ось

и

где - соответственно координаты точек на числовой оси . Складывая почленно эти равенства, получим

С другой стороны, на основании теоремы о проекции вектора на числовую ось

Из двух последних равенств вытекает или, что, согласно чертежу, то же самое, , что и требовалось доказать.

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СКАЛЯР

Определение. Произведением вектора на скаляр называется вектор, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а направление совпадает с направлением вектора , если число положительно, и противоположно направлению вектора , если число отрицательно.

Произведение вектора на скаляр обозначается или . По определению:

1. ;

2. , если , , если ;

3. если , то ;

4. если , то .

Согласно определению, произведение вектора на скаляр есть вектор, коллинеарный вектору .

Теорема (о проекции на ось произведения вектора на скаляр). Проекция на ось произведения вектора на скаляр равна произведению этого скаляра на проекцию рассматриваемого вектора на ту же ось, т.е.

,

где - любая ось.

Доказательство. По теореме о проекции вектора на ось

,

где - орт оси . Если в правой части этого равенства воспользоваться определением понятия модуля произведения вектора на скаляр, то получим

(*)

При этом возможны следующие случаи:

1. .

В этом случае по определению модуля числа . Кроме того, при , и поэтому . Следовательно, в силу равенства (*) имеем

.

Если теперь в правой части последнего равенства воспользоваться свойством сочетательности умножения чисел и применить теорему о проекции вектора на ось, то получим

.

2.

В этом случае по определению модуля числа . Кроме того, при , т.е. и потому .

Исходя из равенства (*), приходим к выводу, что в рассматриваемом случае

,

и потому, как и при , имеем

.

В справедливости утверждения при предлагаем убедиться самостоятельно.

Следствия

1). Длина вектора равна арифметическому значению корня квадратного из суммы квадратов проекций этого вектора на координатные оси:

.

Доказательство. Действительно, и так как , то .

2). Расстояние между точками и равно арифметическому значению корня квадратного из суммы квадратов разностей одноименных декартовых координат этих точек, то есть

.

Доказательство. Действительно, и потому .

3). Сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице, то есть

.

Доказательство. Как было показано ранее, для орта вектора справедливо следующее равенство: . Кроме того, . Следовательно, .

ДВУХ ВЕКТОРОВ

1. Векторное произведение двух векторов обладает свойством антипереместительности:

.

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы и равны, докажем, что равны их проекции на любую ось. Пусть - произвольная ось. По свойству 3 скалярного произведения двух векторов

,

где - орт оси . С учетом свойства 3 смешанного произведения трёх векторов это равенство принимает вид

.

Если же теперь в правой части применить свойства 3 и 4 скалярного произведения двух векторов, то получим , где - любая ось.

Следовательно, согласно критерию равенства двух векторов .

2. Скалярный множитель можно вынести за знак векторного произведения двух векторов:

и

Доказательство. Убедимся в справедливости первого равенства. Для этого достаточно доказать, что где - любая ось. По свойству 3 скалярного произведения двух векторов

,

где - орт оси . С учетом свойства цикличности смешанного произведения трёх векторов это равенство принимает вид

,

или, в силу свойства 4 скалярного произведения двух векторов,

.

Если же в правой части этого равенства вновь воспользоваться свойством цикличности смешанного произведения трёх векторов и свойством 3 скалярного произведения двух векторов, то имеем

.

Учитывая теорему о проекции на ось произведения вектора на скаляр, получим

где - любая ось, и потому, согласно критерию равенства двух векторов,

.

Аналогично можно доказать справедливость второго равенства.

3. Векторное произведение двух векторов обладает свойством распределительности, то есть

.

Доказательство. Докажем, что где - произвольная ось. По свойству 3 скалярного произведения двух векторов

,

где - орт оси . С учетом свойства цикличности смешанного произведения трех векторов это равенство принимает вид

.

В силу свойства распределительности скалярного произведения двух векторов имеем

.

В каждом слагаемом правой части последнего равенства вновь применим свойство цикличности смешанного произведения трех векторов. Тогда получим

,

или, с учетом свойства распределительности скалярного произведения,

.

Если же ещё раз воспользоваться свойством 3 скалярного произведения двух векторов, то придем к выводу, что

где - любая ось, и потому, согласно критерию равенства двух векторов,

.

4. .

Доказательство. Воспользуемся равенством:

.

Тогда, в силу свойств 2 и 3 векторного произведения двух векторов, имеем

то есть

.

5. Векторное произведение вектора самого на себя есть нуль-вектор:

.

Доказательство. Справедливость этого утверждения с очевидностью следует из определения векторного произведения двух векторов.

6. Имеет место следующая таблица векторных произведений координатных ортов:

	Второй множитель
Первый множитель

Справедливость этой таблицы следует из определения векторного произведения двух векторов.

7. Векторное произведение векторов и может быть представлено через проекции этих векторов на координатные оси по следующей формуле:

или, что то же самое,

.

Доказательство. Разложим каждый из векторов и по координатным ортам: и .

Воспользовавшись свойствами 2 и 3 векторного произведения двух векторов, имеем

,

или, с учетом таблицы векторных произведений координатных ортов,

.

В силу свойств сочетательности и распределительности произведения вектора на скаляр, получим , или, что то же самое, .

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ

Для отыскания угла между двумя векторами воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов: .

Предполагая, что и - не нуль-векторы, получим

. (1)

Если заданы проекции рассматриваемых векторов на координатные оси то равенство (1) можно представить в виде

.

Учитывая, что для ортов ненулевых векторов и справедливы равенства

и ,

получаем, в силу (1),

.

КРИТЕРИИ КОМПЛАНАРНОСТИ ТРЁХ ВЕКТОРОВ

Первый критерий компланарности трёх векторов

Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение этих векторов было равно нулю:

Векторы , , компланарны

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы , , компланарны, следовательно, по определению, существует плоскость, которой эти векторы параллельны. Вектор , по определению, перпендикулярен каждому из векторов и . Значит, вектор перпендикулярен вектору , и потому, согласно первому критерию перпендикулярности векторов, .

Достаточность. Пусть , тогда . Если, кроме того, учесть, что вектор перпендикулярен каждому из векторов и , то придем к выводу, что векторы , , компланарны.

Второй критерий компланарности трёх векторов

Для того, чтобы векторы , , были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

.

Доказательство. Справедливость этого утверждения вытекает из предыдущего критерия с учетом теоремы о представлении смешанное произведения трёх векторов через их проекции на координатные оси.

Третий критерий компланарности трёх векторов

Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы:

Векторы , , компланарны

Векторы , , линейно зависимы

Доказательство. Необходимость. Для того, чтобы показать, что векторы , , линейно зависимы докажем, что если векторы и