По выполнению контрольной работы по теме

По выполнению контрольной работы по теме

«Элементы операционного исчисления»

для студентов 2-3 курсов вечерне-заочного факультета

Мурманск 2015

Составитель – Хохлова Людмила Ивановна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения МИС и ПО МГТУ

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой

_______________ 2015 г., протокол №

Рецензент – Р. А. Богомолов, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения МИС и ПО МГТУ МГТУ

Оглавление

Оглавление

§ 1. Оригиналы . 4

§ 2. Единичная функция Хэвисайда. Запись оригиналов с помощью функции Хэвисайда. 5

§ 3. Преобразование Лапласа. Изображение оригинала. Основные свойства изображения. 8

§4. Применение теоремы запаздывания для нахождения изображений запаздывающих процессов. 11

§5. Изображение кусочно - непрерывных функций. 13

§ 6. Применение теорем о дифференцировании оригинала и изображения для нахождения изображений. 18

§ 7. Изображение интеграла от оригинала. Теорема об интегрировании оригинала. 19

§ 8. Изображение периодического оригинала. 20

§9. Свертка. Изображение свертки. 23

§ 10.Восстановление оригиналов по изображению. 25

П.2 Восстановление оригиналов с помощью свертки. 26

П.4. Нахождение оригиналов с помощью теоремы запаздывания. 29

§ 11. Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 30

§ 12. Применение операционного исчисления к решению систем линейных дифференциaльных уравнений. 32

Таблица оригиналов и изображений. 34

Таблица сверток оригиналов. 35

Образец решения контрольной работы. 38

Задания контрольной работы.. 40

Оригиналы.

Определение.Оригиналомназывается любая однозначная функция действительной переменной , определённая на всей числовой прямой и удовлетворяющая условиям:

1) при ;

2) кусочно- непрерывна при ;

3) , где и - постоянные, называется показателем роста функции .

Примеры. Установить какие из функций являются оригиналами и найти для них показатели роста :

Замечание. Будем считать, что условие 1) выполняется для всех функций, т.к. это соответствует реальным физическим задачам.

Решение.

1) — является оригиналом, т.к. функция непрерывна на всей числовой прямой и начиная с некоторого t, причем -любое положительное действительное число;

2) — оригиналом не является, т.к. имеет в точке t =0 бесконечный разрыв;

3) — оригинал , т.к. ;

4) — оригиналом не является, т.к. имеет точки бесконечного разрыва; 5) является оригиналом, т.к. функция непрерывна на всей числовой прямой и , т.е. ;

6) — оригиналом не является, т.к. имеет в точке бесконечный разрыв;

7) — оригинал, т.к. функция непрерывна на всей числовой прямой и , т.е. ;

8) — оригиналом не является, т.к. не выполняется условие 3) для этой функции.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение оригинала

2. Дайте определение показателя роста оригинала

Примеры для самостоятельного решения.

Установить являются ли следующие функции оригиналами :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;6) ;7) ;8) Ответы: 1) да, ; 2) нет; 3) нет; 4) да, ; 5) нет ; 6) да, ; 7) да, ; 8) да , ; 9) да, .

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение функции Хевисайда

2. Дайте определение смещенной функции Хевисайда

§ 3. Преобразование Лапласа. Изображение оригинала. Основные свойства изображения.

Определение.Изображением функции - оригинала называется функция комплексной переменной , определяемая формулой .

Интеграл в правой части равенства называется интегралом Лапласа.

Определение.Преобразование, ставящее в соответствие оригиналу его изображение называют преобразованием Лапласа.

Теорема. Для всякого оригинала существует изображение , определённое в полуплоскости , где — показатель роста , причём связь между и является взаимно – однозначной.

Соответствие изображения оригиналу можно обозначать следующим образом: , а соответствие оригинала изображению таким образом: .

Пример 1. Найти изображение функции Хэвисайда :

Таким образом , если .

Перечислим основные свойства преобразования Лапласа.

Свойство линейности.

Если , а , то при любых

.

Свойство затухания.

Если , то .

Свойство подобия.

Если , то для любого .

С помощью основных свойств преобразования Лапласа и найденного ранее изображения функции , получим изображения следующих оригиналов : , , , , , , , , , которые затем поместим в таблицу.

Найдем изображение константы с.

.

Далее воспользуемся формулами Эйлера, чтобы найти изображение остальных функций:

,	,
,	;

Используя свойства затухания и линейности получаем :

;

;

;

.

Применяя свойство затухания, получаем:

;

;

;

.

Примеры 1-4.Найти изображение следующих оригиналов

1) ;

2) ;

3) ;

4)

Решение.

Сначала оригиналы приводим к табличному виду, а затем находим их изображения:

1)

2)

3)

4)

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение изображения

2. Сформулируйте теорему линейности

3. Сформулируйте теорему подобия

4. Сформулируйте теорему затухания

Примеры для самостоятельного решения.

Найти изображения следующих оригиналов:

1) ;	2) ;	3) ;	4)
Ответы: 1) ;	2) ;	3)
4)

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теорему запаздывания.

Примеры 1-4 для самостоятельного решения.

Построить графики и найти изображения следующих оригиналов:

1) ;	2) ;	3) ;
4)

Ответы:

1)

2)

3)	4)

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теорему о дифференцировании оригинала

2. Сформулируйте теорему о дифференцировании изображения

Примеры 1-6 для самостоятельного решения.

Найти изображение с помощью теорем о дифференцировании оригинала и изображения.

1) , если ;

2) , если ;

3) ; 4) ; 5) ;6) ;

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Примеры

1)Найти изображение последовательности единичных прямоугольных импульсов длительности повторяющихся с периодом .

Решение. Изобразим последовательность импульсов:

Запишем оригинал и найдем изображение

, ,

2) Найти изображение “пилообразной” функции:

Решение. Запишем оригинал и найдем его изображение:

3) Найти изображение следующей периодической функции:

Решение.

, .

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теорему об изображении периодического оригинала

Примеры для самостоятельного решения.

Найти изображения следующих периодических функций:

1)

2)

3)	4)
5)	6)

Ответы.1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение свертки

2. Сформулируйте теорему об изображении свертки

Примеры для самостоятельного решения.

Восстановить оригиналы, используя свертку.

1) ;	3) ;
2) ;	4)

Ответы.

1) ;	3) ;
2) ;	4) ;

Пример 2.

Найти оригинал следующего изображения:

Решение.

Представим в виде суммы простейших дробей:

,т.е.

.

Приравниваем коэффициенты при равных степенях:

: 14=9B+4D

: 0=9A+4C

1=B+D

0=A+C. Решая соответствующие системы, получаем, что

A=0; C=0; B=2; D=-1 .

,т.е. .

При решении этих задач использовались теоремы единственности, линейности, затухания, таблица оригиналов и изображений.

Примеры для самостоятельного решения.

Найти оригинал изображения

1) ;	5) ;
2) ;	4) ;
3) ;	6) .

Ответы.

1) ;	5) ;
2) ;	4) ;
3) ;	6) .

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте алгоритм решения дифференциального уравнения

Примеры для самостоятельного решения. Решить задачу Коши.

Ответы

Таблица оригиналов и изображений.

N			N
	, -целое, пол.
N			N
N			N

Таблица сверток оригиналов.

Решение.

Найдем сначала оригинал для дроби .

Разложим эту дробь на простейшие и найдем коэффициенты методом неопределенных коэффициентов

При получим

При получим .

Приравниваем коэффициенты при равных степенях:

: 0=A+B+C

: 0=A+D+C

оригинал этого изображения имеет вид:

.

Так как изображение имеет вид рациональной дроби, умноженной на , применим теорему запаздывания при . Оригинал исходного изображения f(t) равен

Задача3. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Решить задачу Коши.

Решение.

Пусть – изображение решения x(t) данного уравнения, тогда , .

Изображение правой части: . Составляем операторное уравнение: , отсюда .

;

;

;

;

.

Используя таблицу основных изображений, получаем, что

Задача 4.Найти решение системы ,если .

Решение.

Пусть , , , тогда

изображение системы имеет вид

или

По формулам Крамера : ,

Задания контрольной работы

Задача1.По данному графику оригинала найти изображение:

Варианты 1-10.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задача 2. Найти оригинал по заданному изображению:

Варианты1-10

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задача 3. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Варианты1-10.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задача 4. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям.

Варианты1-10.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Список учебной литературы

1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов: В 2т. Т.2/ Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1985.

2. Бубер, В.Б. Операционное исчисление. Опорный конспект лекций по высшей математике/ В.Б. Бубер, З.Д. Ломакина. – Мурманск, 1990.

3. Конторович, М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях/ М.И. Конторович. - М.: Сов.Радио, 1975.

4. Шелковников, Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению/ Ф.А. Шелковников, К.Г. Такайшвили. – М.: Высшая школа, 1976.

5. Данко, П.Б. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х ч. Ч.2/ П.Б. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1999.

по выполнению контрольной работы по теме

«Элементы операционного исчисления»

для студентов 2-3 курсов вечерне-заочного факультета

Мурманск 2015

Составитель – Хохлова Людмила Ивановна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения МИС и ПО МГТУ

Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой

_______________ 2015 г., протокол №

Рецензент – Р. А. Богомолов, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения МИС и ПО МГТУ МГТУ

Оглавление

Оглавление

§ 1. Оригиналы . 4

§ 2. Единичная функция Хэвисайда. Запись оригиналов с помощью функции Хэвисайда. 5

§ 3. Преобразование Лапласа. Изображение оригинала. Основные свойства изображения.