Основні рівняння, що визначають питомий електричний опір в однорідному ізотропному середовищі

Розглянемо однорідне ізотропне середовище з питомим електричним опором ,вякому в точці розташоване точкове джерело струму силою ( ). Інший полюс віднесений на нескінченість, і його впливом на електричне поле середовища в околі точки можна знехтувати (рис. 17). Необхідно визначити потенціал електричного поля в любій точці досліджуваного середовища на відстані від джерела струму .

Рис. 17. До задачі визначення потенціалу електричного поля в довільній точці однорідного ізотропного середовища

Розташуємо початок координат з точкою , в якій знаходиться джерело струму, та опишемо навколо неї сферу довільного радіуса . Оскільки середовище приймається однорідним й ізотропним, то струм буде рівномірно розподіленим по поверхні сфери і, відповідно, його щільність буде дорівнювати:

(25)

З іншого боку, згідно диференціального закону Ома, щільність струму провідності визначається:

(26)

Тоді, прирівнюючи праві частини виразів (25) і (26), можна записати:

(27)

Розділивши змінні, отримаємо:

(28)

Розв’язком даного диференціального рівняння буде величина потенціалу на відстані від джерела струму:

(29)

Згідно принципу регулярності потенційної функції постійна інтегрування повинна бути прийнятою рівною нулеві, оскільки на нескінченості потенціал прямує до нуля.

Звідси:

(30)

Таким чином, вираз (30) дає можливість визначити значення потенціалу електричного поля в довільній точці однорідного ізотропного середовища. Для даної моделі геометричним місцем точок, що характеризуються рівними значеннями потенціалу, буде сфера радіусу з центром у точці ( ).

Проведемо з точки луч у довільному напрямку (див.рис. 18) та візьмемо на ньому дві точки і таким чином, що , .

Рис. 18. До задачі визначення питомого електричного опору однорідного ізотропного середовища

Згідно виразу (30) визначимо потенціали поля в точках M і N:

(31)

(32)

Знайдемо різницю потенціалів між точками M і N:

, (33)

або

(34)

У відповідності із відомим співвідношенням, що зв’язує напруженість електричного поля з потенціалом U (див. вираз 26), можна встановити значення напруженості поля на відстані r від джерела струму:

(35)

Фізичний зміст останнього виразу полягає у тому, що напруженість характеризує зміну потенціалу поля на нескінченно малому відрізку шляху (знак «мінус» вказує на зменшення величини потенціалу із віддаленням від джерела струму). Відповідно, для отримання значення напруженості електричного поля в рамках нашої моделі, необхідно відстань між точками M і N спрямувати до нуля ( ) або, що те саме, . Для нескінченно малої відстані MN можна записати:

, (36)

де AO – відстань від початку координат (точки A) до середини відрізку між нескінченно близькими точками M і N (точки O).

Отже, напруженість електричного поля у довільній точці однорідного ізотропного середовища визначиться:

(37)

З виразів (31)-(37) отримаємо основні рівняння, що дозволяють визначити питомий електричний опір середовища:

(38)

(39)

(40)