Расчетные формулы по электротехнике

Формулы	Обозначение и единицы измерения
Закон Ома для участка цепи постоянного тока
1. Напряжение на участке цепи, В U=ІR	I - сила тока на этом участке, А; R - сопротивление участке цепи, Ом; U - напряжение на участке цепи, В;
2. Ток на участке цепи, А I=U/R
3. Сопротивление на участке цепи, Ом R=U/I
4. Сопротивление проводника постоянному току, Ом R0=ρ	ρ - удельное сопротивление, 10-6Ом∙м; l - длина, м; S - сечение, мм2;
5. Зависимость активного сопротивления проводника от температуры R=R1∙[1+α∙(t-t1)]	R, R1 - сопротивления проводника соответственно при температурах t и t1, 0С, Ом; α -температурный коэффициент, 1/0С;
6. Общее сопротивление электрической цепи при последовательном соединении сопротивлений R=R1+R2+R3+…+Rn	R - общее сопротивление цепи, Ом; R1 ,R2 ,R3…Rn - сопротивления n резисторов, Ом;
7. Сопротивление цепи из двух параллельных резисторов R=R1∙R2/R1+R2
1 = 1 + 1 + 1 + ... 1 R R1 R2 R3 Rn 8. Сопротивление цепи из n параллельных резисторов
9. Общая емкость конденсаторов при параллельном соединении: C=C1+C2+C3+…+Cn при последовательном соединении: 1 = 1 + 1 + 1 + ... 1 C C1 C2 C3 Cn	С - общая емкость конденсаторов, Гн; С1,С2,С3… Сn - емкость отдельных конденсаторов цепи, Гн;
10. Мощность постоянного тока, Вт P=UI=I2R=U2/R	I - сила тока в цепи, А; U - напряжение в цепи, В; R - сопротивление, Ом;
11. Энергия электрической цепи, Дж W=Pt	P - мощность в цепи, Вт; t - время, с;
12. Тепловой эффект A=0,24∙I2∙R∙t= 0,24∙U∙I∙t	A - количество выделяемого тепла, кал; t - время протекания тока; R - сопротивление, Ом;
Закон Ома при переменном токе
13. Ток, А I=U/Z	I - ток, А; U - напряжение, В; Z - полное сопротивление в цепи, Ом; - индуктивное сопротивление цепи, Ом; Z= = XL=ωL – индуктивное сопротивление цепи, Ом XC=1/ωC – емкостное сопротивление цепи, Ом ω - угловая частота сети, с-1; f - частота переменного тока, Гц; L - индуктивность, Гн; C - емкость, Ф;
14. Напряжение, Вт U=I∙Z
15. Закон Кирхгофа для узла (1-й закон): для замкнутого контура (2-й закон): E= =	Ii- токи в отдельных ветвях цепи, сходящихся в одной точке, А i=(1,2,3,…); E - ЭДС, действующая в контуре, В; U - напряжение на участке контура, В; Z - полное сопротивление участка, Ом;
16. Распределение тока в двух параллельных ветвях цепи переменного тока I1/I2 = Z2/Z1	I1 - ток первой цепи, А; I2 - ток второй цепи, А; Z1 - сопротивление первой ветви, Ом; Z2 - сопротивление второй ветви, Ом;
17. Полное сопротивление, Ом Z=	R - активное сопротивление, Ом; XL- индуктивное сопротивление, Ом; XC - емкостное сопротивление, Ом;
18. Реактивное (индуктивное) сопротивление, Ом XL=ωL=2 ∙f∙L	ω- угловая частота, рад/с; f - частота колебаний, Гц; L - индуктивность, Гн; C - емкость, Ф; X - полное реактивное сопротивление, Ом;
19. Реактивное (емкостное) сопротивление, Ом XC=1/ωL= 1/2 ∙f∙L
20. Полное реактивное сопротивление X= XL- XC
21. Индуктивность катушки, Гн без стального сердечника: L= 10-8 со стальным сердечником: L= μ 10-8	n- число витков катушки; S - площадь среднего сечения обмотки, составляющей катушку, см2; l - длина катушки, см; μ - магнитная проницаемость материала сердечника, Гн/м;
22. Закон электромагнитной индукции для синусоидального тока E= 4,44∙f∙ω∙B∙S∙10-4	E - наведенная ЭДС, В; f - частота, Гц; ω- число витков обмотки; B -индукция магнитная, Тл; S - сечение магнитопровода, см2;
23. Электродинамический эффект тока для двух параллельно расположенных проводников F=Im1 ∙Im2∙ ∙10-7	F - сила, действующая на проводниках, Н; Im1, Im2 - амплитудные значения токов в параллельных проводниках, А; l - длина проводника, см; α - расстояние между проводниками, см;
24. Зависимости для цепи переменного тока ток в цепи: I= IR=I∙cosω IX=I∙ sinω   напряжение в цепи: U= UR=U∙ cosω UX=U∙ sinω	I - ток в цепи, А; IR- активная составляющая тока, А; IX- реактивная составляющая тока, А; U - напряжение в цепи, В; UR- активная составляющая напряжения, В; UX- реактивная составляющая напряжения, В;
25. Соотношение токов и напряжений в трехфазной системе а) соединение «звезда»: IЛ=IФ, UЛ=1,73∙UФ; б) соединение «треугольник»: UЛ= UФ, IЛ=1,73∙IФ;	IЛ - ток линейный, А; IФ - ток фазный, А; UЛ - напряжение линейной, В; UФ - напряжение фазное, В;
26. Коэффициент мощности cos	P - реактивная мощность, Вт; S - полная мощность, В∙А; R - активное сопротивление, Ом; Z - полное сопротивление, Ом;
27. Мощность и энергия тока в цепи переменного тока а) цепь однофазного тока: P=I∙U∙ cos , Q=I∙U∙sin , S=IU= ; WR=I∙U∙ cos ∙t; WX= I∙U∙sin ∙t; б) цепь трехфазного тока: P= ∙I∙U∙ cos ; Q= ∙I∙U∙sin ; WR= ∙I∙U∙ cos ∙t; WX= ∙I∙U∙sin ∙t;	Q - реактивная мощность, вар; WR - активная энергия, Вт∙ч; WX - реактивная энергия, вар∙ч; t - время протекания тока, ч; S - полная мощность, В∙А;
28. Реактивная мощность конденсатора, Вар QC=U2∙ω∙C=U2∙2П∙f∙C, где конденсатора, Ф С=	IC- ток, протекающий через конденсатор, А; U - напряжение, приложенное к конденсатору, В;
29. Синхронная частота вращения электрической машины, об./мин n=	f - частота питающей сети, Гц; p - число пар полюсов машины;
30. Вращающий момент электрической машины, Н∙м M=9,555∙	P - мощность, Вт; n - частота вращения, об./мин;

Приложение 13

Расчёт сложных электрических цепей

В сложных электрических цепях может содержаться несколько замкнутых контуров с любым размещением в них источников энергии и потребителей. Поэтому такие сложные цепи нельзя свести к сочетанию последовательных и параллельных соединений.

Используя законы Ома и Кирхгофа, можно найти распределение токов и напряжений на всех участках любой сложной цепи.

Одним из методов расчёта сложных электрических цепей является метод наложение токов, сущность которого заключается в том, что ток в какой-либо ветви представляет собой алгебраическую сумму токов, создаваемых в ней каждой из ЭДС цепи в отдельности. На рис. изображена цепь, содержащая три источника с ЭДС E₁, E₂, E₃и четыре последовательно соединенных резистора R₁, R₂, R₃, R₄. Если пренебречь внутренним сопротивлением источников энергии, то общее сопротивление цепи R=R₁+R₂+R₃+R₄. Допустим сначала, что ЭДС первого источника E₁ ≠0, а второго и третьего E₂ = 0 и E₃ = 0. Затем положим E₂ ≠ 0, а E₁ = 0 и E₃ = 0. И наконец, полагаем E₃≠ 0, а E₁ = 0 и E₂ = 0. В первом случаи ток в цепи, совпадающий по направлению с ЭДС E₁, равен I₁ = E₁/R; во втором случаи ток в цепи, совпадающий по направлению с ЭДС E_2, равен I₂ = E₂/R; в третьем случаи ток равен I₃ = E₃/Rи совпадает по направлению с ЭДС E_3. Так как ЭДС E₁ и E₃ совпадает по направлению в контуре, то и токи I₁ и I₃ также совпадают, а ток I2 имеет противоположное направление, так как ЭДС E₂ направлена встречно по отношению к ЭДС E₁ и E₃. Следовательно, ток в цеп равен

I = I₁ – I₂ + I₃ = E₁ / R – E₂ / R + E₃ / R =

= (E₁ – E₂ + E₃) / (R₁ + R₂ + R₃).

Электрическая цепь с тремя источниками энергии

Направление на любом участке цепи, например между точками а и б,равно U_аб = IR₄.

При расчёте сложных цепей для определения токов во всех ветвях цепи необходимо знать сопротивления ветвей, а также значение и направление всех ЭДС.

Перед составлением уравнений по законам Кирхгофа следует произвольно задаться направлениями токов в ветвях, показав их на схеме стрелками. Если действительное направления тока в какой-либо ветви противоположно выбранному, то после решения уравнений этот ток получится со знаком « - ». Число необходимых уравнений равно числу неизвестных токов, причём число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов цепи; остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, причем следует выбрать наиболее простые контуры и так, чтобы каждый из них содержал хотя бы одну ветвь, не входившую в ранее составленные уравнения.

Расчет сложной цепи с применением уравнений по законам Кирхгофа рассмотрим на примере двух параллельно включенных источников, замкнутых на сопротивление. Пусть ЭДС источников E₁ = E₂ =120B, их внутренние сопротивления R₁ = 3 Ом и R₂ = 6 Ом, сопротивление нагрузки R = 18 Ом.

Так как число неизвестных токов 3, то необходимо составить три уравнения. При двух узловых точках необходимо одно узловое уравнение по первому закону Кирхгофа: I = I₁ + I₂. Второе уравнение запишем при обходе контура, состоящего из первого источника и сопротивление нагрузки: E₁ = I₁R₁ + IR. Аналогично запишем третье уравнение: E₂ = I₂R₂ + IR. Подставляя числовые значения, получим 120 В = 3I₁ + 18I и 120 В = 6I₂ + 18I. ТаккакE₁ – E₂ = I₁R₁ – I₂R₂ = 3I₁ – 6I₂ = 0, тоI₁ = 2I₂иI = 3I₂. Подставляя эти значения в выражение для ЭДС E₁, получим 120 =

= 2I2 ×3 + 18 × 3I₂ = 60I₂, откуда I₂ = 120 / 60 = 2A, I₁ = 2I₂ = 4A, I = I₁++I2 = 6A.

В сложных электрических цепях, имеющих две узловые точки а и б и состоящих из нескольких параллельно соединенных источников энергии, работающих на общий приемник, удобно использовать метод узловых напряжений. Обозначив потенциалы в узловых точках φа – φб, напряжение между этими точками U можно выразить разностью этих потенциалов, т.е.

U = φа – φб.

а б

Схема к расчету сложно электрической цепи:

а – по методу узловых напряжений;

б – по методу контурных токов

Приняв за положительное направление ЭДС и токов в ветвях от узла, а к узлу б для каждой из ветвей, можно записать равенства: I₁ = ( φа – φб – E₁)/

/ R₁ = ( U – E₁)g₁; I₂ = ( φа – φб – E₂) / R₂ = ( U – E₂)g₂; I₃ = ( φа – φб – E₃) / / R₃ = ( U – E₃)g_3; I = ( φа – φб ) / R = Ug_.

На основании первого закона Кирхгофа для узловой точки имеем I₁ + I₂ + + I₃ +I = 0. Подставим в эту сумму значения токов, найдем

( U – E₁ )g₁ + ( U + E₂)g₂ + ( U – E₃)g₃ + Ug = 0,

откуда

U = ( E₁g₁ – E₂g₂ + E₃g₃) / (g₁ + g₂ + g₃ + g) =

= Σ Eg / Σ g,

т.е. узловое напряжение равно алгебраической сумме произведений ЭДС и проводимостей всех параллельных ветвей, деленной на сумму проводимостей всех ветвей. Вычислив по этой формуле узловое напряжение и воспользовавшись выражениями для оков в ветвях, легко определить эти токи.

Для определения токов в сложных цепях, содержащих несколько узловых точек и ЭДС, применяют метод контурных токов. Который дает возможность сократить число уравнений, подлежащих решению. Предполагают, что в ветвях, входящих в состав двух смежных контуров, протекают два контурных тока, первый из которых представляет собой ток одного из смежных контуров, а второй – другого контура. Действительный ток в рассматриваемом участке цепи определяется суммой или разностью этих двух токов в зависимости от взаимного относительного направления.

При использовании метода контурных токов составляют уравнения, исходя из суммы сопротивлений, входящих в состав данного контура, и суммы сопротивлений, входящих в состав ветви, общей для смежных контуров. Первую сумму условно обозначают двойным индексом, например R₁₁, R₂₂ и т.д., а вторую – индексом, содержащим номера контуров, для которых данный участок цепи является общим, например R₁₂, R₁₃ и т.д.

Если контур содержит несколько источников с ЭДС E₁, E₂, E₃ и т.д., то на основании второго закона Кирхгофа для этого контура можно записать следующее уравнение: E₁ ± E₂ ± E₃ + … = I₁R₁₁ + I₂R₁₂ + I₃R₁₃ +… . В этом уравнении знак «+» или « - » берется в зависимости от взаимного относительного направления ЭДС и токов в контуре ( при одинаковом направлении - «+», в противоположном - « - » ). Аналогичные уравнения могут быть записаны для всех контуров, входящих в сложную электрическую цепь. Таким образом, алгебраическая сумма ЭДС каждого контура равна алгебраической сумме произведения тока в данном контуре на сумму сопротивлений всех звеньев, образующих его, и контурных токов всех контуров, смежных с данным контуром, на сопротивления общих звеньев.

На рис. б изображена сложная электрическая цепь, содержащая три контура. В цепи два источника с ЭДС E₁= 12 B, E2 = 8 B и внутренними сопротивлениями R₀₁ = 4 Ом, R₀₂ = 3 Ом и пять сопротивлений

R₁ = 20 Ом, R₂ = 29 Ом, R₃ = 40 Ом, R₄ = 8 Ом, R₅ = 16 Ом.

Находим сопротивления: R₁₁ = R₁ + R₀₁ + R₁₃ = 20 + 4 + 8 = 32 Ом;

R₂₂ = R₂ + R₀₂ + R₂₃ = 29 + 3 + 16 = 48Ом; R₃₃ = R₃ + R₃₁ + R₃₂ =

= 40 + 8 + 16 = 64 Ом; R₁₃ = R₃₁ = 8 Ом; R₂₃ = R₃₂ = 16 Ом.

На основании второго закона Кирхгофа составляем уравнения:

для контура 1:

E₁ = I₁R₁₁ – I₃R₁₃; 12 = 32I₁ – 8I₃;

для контура 2:

E₂ = I₂R₂₂ – I₃R₂₃; 8 = 48I₂ – 16I₃;

для контура 3:

E₃ = I₃R₃₃ – I₃R₃₂; 0 = 64I₃ – 16I₂ – 8I.

Решаяэтиуравнения, находим: I₁ = 0,4A; I₂ = 0,2A; I₃ = 0,1A; I₄ = I₁ – - I₃ = 0,3A; I₅ = I₂ – I₃ = 0,1A.

Приложение 14