Система М.О. з очікуванням

С.М.О. називається системою з очікуванням, якщо заявка, що застала всі канали зайнятими, стає в чергу і чекає, поки не звільниться який-небудь канал.

Якщо час очікування заявки в черзі нічим не обмежений, то система називається «чистою С.М.О. із очікуванням».

Якщо воно обмежено якимись умовами, то С.М.О. називається С.М.О. зміщеного типу. Це проміжний випадок між С.М.О. із відмовами і С.М.О. із очікуванням представляє найбільший інтерес для практики.

Обмеження, накладені на очікування:

1) за часом очікування заявки в черзі, рахується, що воно обмежене поверх Т_оч, випадковим або ні. Під часом очікування розуміється тільки строк у черзі, а почате обслуговування доводиться до кінця (клієнт у перукарні);

2) за часом перебування заявки в системі (повітряна ціль знаходиться в зоні стрільби обмежений час і залишає її незалежно від того, скінчився обстріл або ні).

3) за числом заявок у черзі (торгівля).

Розглянемо, як саму актуальну, третю задачу.

Нехай є, n-канальна С.М.О. Заявка стає в чергу, якщо усе n-каналів зайняті, і якщо в черзі менше m заявок. Якщо рівно m заявок у черзі, то остання заявка, що надійшла в чергу не стає і залишає систему.

Потоки заявок і обслуговування найпростіші з інтенсивністю l і m. У системи n+m+1 стан.

S_k - k каналів зайняті, черги немає, k = 0, ... , n

S_n+i - n каналів зайняті, i заявки знаходяться у черзі i = 1, ... , m

Мал. 11.

Граф станів такої С.М.О., мал.11. Складемо диф. рівняння для ймовірностей системи.

Очевидно, що перші n рівнянь для ймовірностей P₀(t), P₁(t), ..., P_n-1(t) будуть збігатися з рівняннями Ерланга, тому що граф станів від S₀ до S_n-1 той же, що і в С.М.О. з відмовами. Виведемо інші рівняння, використовуючи правила для Н.М.Л.

P¢_n = lP_n-1(t) - (l+nm) P_n(t) + nmP_n+1(t)

----------------------------------------------

P¢_n+k = lP_n+k-1(t) - (l+nm) P_n+k(t) + nmP_n+k+1(t) (2.49)

----------------------------------------------

P¢_n+m = lP_n+m-1(t) - nmP_n+m(t)

Додавши перші n диф. рівнянь одержимо систему диф. рівнянь для С.М.О. із чергою.

P¢₀ = lP₀(t) + mP₁(t)

------------------------------------

P¢_k-1 = lP_n-2(t) - (l+(n-1)m) P_n-1(t) + nmP_n(t) (2.50)

Тому що для Н.М.Л. у даному випадку виконується ерготична властивість, то розглянемо граничний випадок при

Тоді існує P_k(t) = P_k и все P¢_k = 0

З (2.50) одержимо систему алгебраїчних рівнянь

- lP₀ + mP₁ = 0

---------------------------------

lP_k-L -(l+Km)P_k + (K+1)mP_k+1 = 0 2<k<n-1

--------------------------------- (2.51)

lP_n+s-1 -(l+nm)P_n+s + nmP_n+s+1 = 0 1<s<m-1

lP_n+m-1 - nmP_n+m = 0

і (2.52)

(2.53 )

(2.54)

З (2.52) - (2.54) .

Якщо позначити , то - геометрична прогресія з q = x; b₁ = x

Тоді

і (2.55)

Ймовірність відмови

Р_відм. = Р_n+m = x_m Р₀ (2.56)

Відносна пропускна спроможність

q = 1 - P_відм. = 1 - P₀ (2.57)

Абсолютна пропускна спроможність С.М.О.

А = lq = l(1 - P₀) (2.58)

Знайдемо середнє число зайнятих каналів. Для С.М.О. із відмовами воно збігається із середнім числом заявок, що знаходяться в системі. Для С.М.О. із чергою середнє число зайнятих каналів не збігається із середнім числом заявок, що знаходяться в системі: остання величина відрізняється від першої на середнє число заявок, що знаходяться у черзі. Нехай k - середнє число зайнятих каналів, а z - середнє число заявок у системі. Кожний зайнятий канал обслуговує в середньому m заявок у од. часу, уся С.М.О. обслуговує в середньому А заявок у од. часу.

Тоді

q = 1 - P_відм. = 1 - (2.59)

Середнє число заявок у черзі можна обчислити безпосередньо, як мат. сподівання числа заявок у черзі:

Якщо позначити x=α/n, то

(2.60)

З огляду на, що

(2.61)

одержимо

1 (2.62)

Складаючи і , одержимо середнє число заявок у системі: (2.63)

Знайдемо середній час очікування в черзі Т_оч.

Стани системи утворюють повну групу подій S₀, S₁,…,S_n+m. Для перших n подій S₀, S₁,…,S_n-1 черги немає. Тоді час очікування в цих випадках = 0. Якщо заявка надійде у момент, коли усі n каналів зайняті, а черги немає, тобто у випадку події S_n, їй доведеться очікувати в середньому . У випадку події S_n+r, тобто r заявок у черзі (r=1,. .,m-1).

Тоді (2.64 )

Середній час перебування заявки в системі Т_сист

, де , Т_обсл - обслуговування одним каналом першої заявки.

Тоді

(2.65)

Приклад 8. На станцію поточного ремонту автомашин надходить найпростіший потік заявок із щільністю λ = 0,5 машин/год. Є одне приміщення для ремонту. В подвір'ї станції можуть знаходитися одночасно, очікуючи черги, не більш трьох машин. Середній час ремонту однієї машини m_tоб=1/μ=2год. Визначити:

а) пропускну спроможність системи;

б) середній час простою станції;

в) визначити наскільки зміняться ці характеристики, якщо обладнати друге приміщення для ремонту.

Рішення. Маємо λ =0,5; μ =0,5; n=1; m=3; α =λ /μ=1.

a) По формулі (56) знаходимо P_відм=P₁₊₃=1/(1+1+3)=1/5=0,2. Тоді відносна пропускна спроможність системи q=1-P_відм=0,8. Абсолютна пропускна спроможність А=λ´q=0,5´0,8=0,4 маш/год.

б) Вважаючи n=2 знайдемо за (2.56) P_відм=P₂₊₃=(1/16)/(1+1+1/2+1/4+1/8+1/16)=1/47=0,021. q=1-P_відм=0,979, тобто задовольнятися будуть біля 98% заявок. Абсолютна пропускна спроможність А=λ´q=0,49 маш/год. Відносний час простою P₀=16/47=0,34, тобто устаткування буде простоювати 34% усього часу.

Приклад 9. Автозаправочна станція (АЗС) з двома колонками (n=2), найпростіший потік машин інтенсивності λ=2 машин/год. Середній час обслуговування однієї машини t_об=2 хв. Площадка в АЗС може вмістити не більш m=3 машин. Машина, що прибула в момент, коли всі три місця на площадці зайняті, покидає АЗС. Знайти характеристики С.М.О.: можливість відмови; відносну та абсолютну пропускну спроможності;

1) середнє число зайнятих колонок;

2) середнє число машин у черзі;

3) середній час очікування і перебування машини на АЗС.

Перерахувати ці характеристики, якщо одна колонка вийде з ладу.

Рішення.

λ=2; μ =0,5; n=2; m=3; α =4; x=α /n=4/2=2

1) по формулах (2.56) та (2.57) P_відм=P₅=4⁵/(2³2!)P₀, P₀=1/(1+4/2+4²/2_*(2-2⁴)/(1-2))=0,008.

P_відм=64×0,008=0,512

2) відносна пропускна спроможність q=1-P_відм=0,488. Абсолютна пропускна спроможність А=λ_*q=2_*0,488=0,976 маш/хв.

3) середнє число зайнятих каналів (колонок)

=А/μ =α×q=4×0,488=1,952, тобто обидві колонки майже весь час зайняті.

4) Середнє число машин у черзі знаходимо по (2.62)

маш.

5) середній час очікування хв.

Середній час перебування машини на АЗС: хв.

Для одноканальної С.М.О. λ = 2; μ = 0,5; n=1; m=3; α =4; x=α /n=4/1=4

P_відм=P₃₊₁=4⁴(1-4)/(1-4⁵)=3_*256/1023=256/341=0,75.

q=1-0,75=0,25 А=λ_*q=0,25_*2=0,5 маш/год.

=А/μ =α_*q=4_*0,25=1, тобто колонка весь час зайнята

По формулі маш.

хв.

хв.