Метод обучения уидроу-хоффа

Как мы видели, персептрон ограничивается бинарными выходами. Уидроу вместе со студентом университета Хоффом расширили алгоритм обучения персептрона на случай непрерывных выходов, используя сигмоидальную функцию [5,6]. Кроме того, они разработали математическое доказательство того, что сеть при определенных условиях будет сходиться к любой функции, которую она может представить. Их первая модель – Адалин – имеет один выходной нейрон, более поздняя модель – Мадалин – расширяет ее на случай с многими выходными нейронами.

Выражения, описывающие процесс обучения Адалина, очень схожи с персептронными. Существенные отличия имеются в четвертом шаге, где используются непрерывные сигналы NET вместо бинарных OUT. Модифицированный шаг 4 в этом случае реализуется следующим образом:

4. Вычисляется ошибка для каждого нейрона посредством вычитания полученного выхода из требуемого выхода:

error_j = target_j – NET_j.

МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ

В гл. 5 детально описаны статистические методы обучения, поэтому здесь приводится лишь обзор этих методов.

Однослойные сети несколько ограничены с точки зрения проблем, которые они могут решать; однако в течение многих лет отсутствовали методы обучения многослойных сетей. Статистическое обучение обеспечивает путь решения этих проблем.

По аналогии обучение сети статистическими способами подобно процессу отжига металла. В процессе отжига температура металла вначале повышается, пока атомы металла не начнут перемещаться почти свободно. Затем температура постепенно уменьшается и атомы непрерывно стремятся к минимальной энергетической конфигурации. При некоторой низкой температуре атомы переходят на низший энергетический уровень.

В искусственных нейронных сетях полная величина энергии сети определяется как функция определенного множества сетевых переменных. Искусственная переменная температуры инициируется в большую величину, тем самым позволяя сетевым переменным претерпевать большие случайные изменения. Изменения, приводящие к уменьшению полной энергии сети, сохраняются; изменения, приводящие к увеличению энергии, сохраняются в соответствии с вероятностной функцией. Искусственная температура постепенно уменьшается с течением времени и сеть конвергирует в состояние минимума полной энергии.

Существует много вариаций на тему статистического обучения. Например, глобальная энергия может быть определена как средняя квадратичная ошибка между полученным и желаемым выходным вектором из обучаемого множества, а переменными могут быть веса сети. В этом случае сеть может быть обучена, начиная с высокой искусственной температуры, путем выполнения следующих шагов:

1. Подать обучающий вектор на вход сети и вычислить выход согласно соответствующим сетевым правилам.

2. Вычислить значение средней квадратичной ошибки между желаемым и полученным выходными векторами.

3. Изменить сетевые веса случайным образом, затем вычислить новый выход и результирующую ошибку. Если ошибка уменьшилась, оставить измененный вес; если ошибка увеличилась, оставить измененный вес с вероятностью, определяемой распределением Больцмана. Если изменения весов не производится, то вернуть вес к его предыдущему •значению.

4. Повторить шаги с 1 по 3, постепенно уменьшая искусственную температуру.

Если величина случайного изменения весов определяется в соответствии с распределением Больцмана, сходимость к глобальному минимуму будет осуществляться только в том случае, если температура изменяется обратно пропорционально логарифму прошедшего времени обучения. Это может привести к невероятной длительности процесса обучения, поэтому большое внимание уделялось поиску более быстрых методов обучения. Выбором размера шага в соответствии с распределением Коши может быть достигнуто уменьшение температуры, обратно пропорциональное обучающему времени, что существенно уменьшает время, требуемое для сходимости.

Заметим, что существует класс статистических методов для нейронных сетей, в которых переменными сети являются выходы нейронов, а не веса. В гл. 5 эти алгоритмы рассматривались подробно.

САМООРГАНИЗАЦИЯ

В работе [3] описывались интересные и полезные результаты исследований Кохонена на самоорганизующихся структурах, используемых для задач распознавания образов. Вообще эти структуры классифицируют образы, представленные векторными величинами, в которых каждый компонент вектора соответствует элементу образа. Алгоритмы Кохонена основываются на технике обучения без учителя. После обучения подача входного вектора из данного класса будет приводить к выработке возбуждающего уровня в каждом выходном нейроне; нейрон с максимальным возбуждением представляет классификацию. Так как обучение проводится без указания целевого вектора, то нет возможности определять заранее, какой нейрон будет соответствовать данному классу входных векторов. Тем не менее это планирование легко проводится путем тестирования сети после обучения.

Алгоритм трактует набор из n входных весов нейрона как вектор в n-мерном пространстве. Перед обучением каждый компонент этого вектора весов инициализируется в случайную величину. Затем каждый вектор нормализуется в вектор с единичной длиной в пространстве весов. Это делается делением каждого случайного веса на квадратный корень из суммы квадратов компонент этого весового вектора.

Все входные вектора обучающего набора также нормализуются и сеть обучается согласно следующему алгоритму:

1. Вектор Х подается на вход сети.

2. Определяются расстояния D_j (в n-мерном пространстве) между Х и весовыми векторами W_j каждого нейрона. В евклидовом пространстве это расстояние вычисляется по следующей формуле

,

где х_i – компонента i входного вектораX, w_ij – вес входа i нейрона j.

3. Нейрон, который имеет весовой вектор, самый близкий к X, объявляется победителем. Этот весовой вектор, называемый W_c, становится основным в группе весовых векторов, которые лежат в пределах расстояния D от W_c.

4. Группа весовых векторов настраивается в соответствии со следующим выражением:

W_j(t+l) = W_j(t) + a[X – W_j(t)]

для всех весовых векторов в пределах расстояния D от W_c

5. Повторяются шаги с 1 по 4 для каждого входного вектора.

В процессе обучения нейронной сети значения D и a постепенно уменьшаются. Автор [3] рекомендовал, чтобы коэффициент a в начале обучения устанавливался приблизительно равным 1 и уменьшался в процессе обучения до 0, в то время как D может в начале обучения равняться максимальному расстоянию между весовыми векторами и в конце обучения стать настолько маленьким, что будет обучаться только один нейрон.

В соответствии с существующей точкой зрения, точность классификации будет улучшаться при дополнительном обучении. Согласно рекомендации Кохонена, для получения хорошей статистической точности количество обучающих циклов должно быть, по крайней мере, в 500 раз больше количества выходных нейронов.

Обучающий алгоритм настраивает весовые векторы в окрестности возбужденного нейрона таким образом, чтобы они были более похожими на входной вектор. Так как все векторы нормализуются в векторы с единичной длиной, они могут рассматриваться как точки на поверхности единичной гиперсферы. В процессе обучения группа соседних весовых точек перемещается ближе к точке входного вектора. Предполагается, что входные векторы фактически группируются в классы в соответствии с их положением в векторном пространстве. Определенный класс будет ассоциироваться с определенным нейроном, перемещая его весовой вектор в направлении центра класса и способствуя его возбуждению при появлении на входе любого вектора данного класса.

После обучения классификация выполняется посредством подачи на вход сети испытуемого вектора, вычисления возбуждения для каждого нейрона с последующим выбором нейрона с наивысшим возбуждением как индикатора правильной классификации.

Литература

1. Grossberg S. 1974. Classical and instrumental learning by neural networks. Progress in theoretical biology, vol. 3, pp. 51–141. New York: Academic Press.

2. Hebb D. O. 1949. Organization of behavior. New York: Science Editions.

3. Kohonen T. 1984. Self–organization and associative memory. Series in Information Sciences, vol. 8. Berlin: Springer verlag.

4. Rosenblatt R. 1959. Principles of neurodynamics. New York: Spartan Books.

5. Widrow B. 1959 Adaptive sampled–data systems, a statistical theory of adaptation. 1959. IRE WESCON Convention Record, part 4. New York: Institute of Radio Engineers.

6. Widrow В., Hoff M. 1960. Adaptive switching circuits. I960. IRE WESCON Convention Record. New York: Institute of Radio Engineers.