Основные свойства определителей

Лекция 1.

Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу). Методы вычисления определителей. Понятие об определителе n-го порядка.

Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Основные свойства определителей - student2.ru

Обозначения: А – матрица, Основные свойства определителей - student2.ru - элемент матрицы, Основные свойства определителей - student2.ru номер строки, в которой стоит данный элемент, Основные свойства определителей - student2.ru номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

Определение 1.2. Числа m и n называются размерностями матрицы.

Определение 1.3. Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.

Основные свойства определителей - student2.ru

Определение 1.4.Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

Основные свойства определителей - student2.ru .

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

Примеры.

1. Основные свойства определителей - student2.ru 2. Основные свойства определителей - student2.ru

Определение 1.5. Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

Основные свойства определителей - student2.ru

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали: Основные свойства определителей - student2.ru

Основные свойства определителей - student2.ru Примеры.

1. Основные свойства определителей - student2.ru

2. Основные свойства определителей - student2.ru

Определение1. 6. Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате получается матрица А`, называемая транспонированнойпо отношению к матрице А, элементы которой связаны с элементами А соотношением a`ij = aji .

Основные свойства определителей.

Сформулируем и докажем основные свойства определителей 2-го и 3-го порядка (доказательство проведем для определителей 3-го порядка).

Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

Основные свойства определителей - student2.ru

Доказательство.

Основные свойства определителей - student2.ru

= Основные свойства определителей - student2.ru

Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.

Свойство 2. При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.

Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru .

Доказательство.

Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru

Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.

Основные свойства определителей - student2.ru

Доказательство этого свойства следует из свойства 2 при k = 0.

Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.

Основные свойства определителей - student2.ru

Доказательство.

Основные свойства определителей - student2.ru

Свойство 5. Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0.

Основные свойства определителей - student2.ru

Доказательство следует из свойств 2 и 4.

Свойство 6. При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.

Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru

Доказательство.

Основные свойства определителей - student2.ru

Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru

Свойство 7.

Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru

Доказательство этого свойства можно провести самостоятельно, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью определения 1.5.

Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Основные свойства определителей - student2.ru Основные свойства определителей - student2.ru

Доказательство следует из свойств 7 и 5.

Наши рекомендации