Проекция вектора на ось

Вектором называется направленный отрезок.

Если начало вектора находится в точке А, а конец в точке В, то он обозначается Проекция вектора на ось - student2.ru (буква А – начало вектора – всегда пишется первой). Векторы можно обозначать и одной буквой, Проекция вектора на ось - student2.ru .

Длиной (модулем) вектора Проекция вектора на ось - student2.ru называется длина отрезка АВ или расстояние между точками А и В. Длина вектора обозначается так: Проекция вектора на ось - student2.ru или Проекция вектора на ось - student2.ru .

Определение. Вектор Проекция вектора на ось - student2.ru называется противоположным вектору Проекция вектора на ось - student2.ru . Вектор, противоположный вектору Проекция вектора на ось - student2.ru есть вектор Проекция вектора на ось - student2.ru .

Определение. Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Нуль-вектор обозначается символом Проекция вектора на ось - student2.ru . Длина (модуль) нуль-вектора равна 0, т.е. Проекция вектора на ось - student2.ru . Понятие направления для нулевого вектора не имеет смысла, т.е. нулевой вектор определенного направления не имеет.

Определение. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным и обозначается символом Проекция вектора на ось - student2.ru .

Определение. Единичный вектор, направление которого совпадает с вектором Проекция вектора на ось - student2.ru , называется ортом вектора Проекция вектора на ось - student2.ru , обозначается символом Проекция вектора на ось - student2.ru , причем Проекция вектора на ось - student2.ru :

Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Определение. Два коллинеарных вектора называются одинаково (противоположно) направленными, если их концы лежат на одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющих их начало, или от общего начала.

Определение. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.

Определение. Свободными векторами называются векторы начальная точка (точка приложения) можно выбрать свободно.

Определение. Три векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях называются компланарными.

Считаем, что нулевой вектор и любые два других вектора компланарны

Линейные операции над векторами.

Линейными операциями называют операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественное число.

Определение. Суммой двух векторов Проекция вектора на ось - student2.ru и Проекция вектора на ось - student2.ru называется третий вектор

Определение. Произведением вектора Проекция вектора на ось - student2.ru на число m называется вектор Проекция вектора на ось - student2.ru , коллинеарный вектору Проекция вектора на ось - student2.ru , длина которого равна Проекция вектора на ось - student2.ru , и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора Проекция вектора на ось - student2.ru , если m > 0 и противоположное направлению вектора Проекция вектора на ось - student2.ru в случае m < 0.

Проекция вектора на ось.

Определение. Осью называется прямая, на которой указано положительное направление. Ось Оx определяется единичным вектором Проекция вектора на ось - student2.ru .

Проекция вектора на ось - student2.ru

M

x

О Проекция вектора на ось - student2.ru

Проекция вектора на ось - student2.ru

Определение. Проекцией точки М на ось Ox называется основание Проекция вектора на ось - student2.ru перпендикуляра, опущенного из точки М на данную ось.

Определение. Проекцией вектора Проекция вектора на ось - student2.ru на ось Ox называется алгебраическая величина отрезка Проекция вектора на ось - student2.ru , где Проекция вектора на ось - student2.ru и Проекция вектора на ось - student2.ru проекции точек А и В на ось Ox (т.е. длина отрезка Проекция вектора на ось - student2.ru берется со знаком ”+”, если направление отрезка Проекция вектора на ось - student2.ru совпадает с направлением Ox, и со знаком ”–”, если эти направления противоположны

Линейная зависимость векторов. Базис. Координаты вектора.

Определение. Линейной комбинацией n векторов Проекция вектора на ось - student2.ru называется выражение вида

Проекция вектора на ось - student2.ru (1)

где Проекция вектора на ось - student2.ru – любые действительные числа.

Определение. Векторы Проекция вектора на ось - student2.ru называются линейно зависимыми, если существуют действительные числа Проекция вектора на ось - student2.ru , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов (1) обращается в нуль, т.е. имеет место равенство

Определение. Векторы Проекция вектора на ось - student2.ru называются линейно независимыми, если равенство (2) возможно лишь в случае, когда все Проекция вектора на ось - student2.ru .

Определение. Система векторов Проекция вектора на ось - student2.ru образует базис пространства, если:

1) система векторов Проекция вектора на ось - student2.ru линейно независима.

2) любой вектор пространства Проекция вектора на ось - student2.ru можно представить в виде линейной комбинации векторов Проекция вектора на ось - student2.ru , т.е.

3) Проекция вектора на ось - student2.ru ,

Если система векторов Проекция вектора на ось - student2.ru – базис некоторого пространства и вектор

Проекция вектора на ось - student2.ru , (1)

то числа Проекция вектора на ось - student2.ru называются координатами вектора Проекция вектора на ось - student2.ru в данном базисе, а равенство (1) – разложение вектора Проекция вектора на ось - student2.ru по базису Проекция вектора на ось - student2.ru .

Наши рекомендации