Определение обратной функции

Пусть на множестве х задана ф-ция у= f(x), через У обозначим мн-во значений этой ф-ции.Предположим, что для каждого значения у принадл. У можно поставить в соответствие элемент х принадл. Х такой, что f(x)=у следовательно можно говорить о некоторой ф-ции с областью определенияУ областью значений Х.Эту ф-цию будем называть обратной ф-цией f(x)
х= f^-‘(у)

Теорема о существовании и непрерывности обратной ф-ции.

Пусть ф-ция у= f(x) непрерывна и возрастает (убывает) на сегменте [а,в] при этом f(а)=α, а f(в)=β, тогда на сегменте [α,β]( на сегменте [β,α]) существует обратная к ф-ции f(x), которая непрерывна и возрастает(убывает) на сегменте [α,β]( [β,α])

Определение дифференцируемой ф-ции.

Пусть ф-ция f(x) определена на (а,в) и пусть х-некоторая точка принадлеж. (а,в)

ф-ция f(x) называется фифференцируемой в точкех, если ее приращение в этой точке можно представить в виде Δу= f(x+Δх)- f(x)=А Δх+α(Δх) Δх, где А – это постоянная, не зависящая от Δх, а α(Δх) явл бесконечно малой ф-цией при Δх→0

Определение производной ф-ции.

Если существует конечный предел разностного отношения при Δх→0, то этот предел называется производной ф-ци f(x) в точке х. Заметим, что если производная существует в каждой точке интервала (а,в), то эта произв сама является ф-цией, определенной на этом интервале.

Первый дифференциал ф-ции.

Dy=(x)dx

Теорема о производной суммы, разности, произведения и частного двух ф-ций.

Если ф-ция U(x) и V(x) диф-емы в некот. Т. х , то сумма, разность, произведение и частное этих ф-ций(в случ частного V(x)≠0 в т. х ).Диф-мой в т. х и при этом справ нер-ва [U(x) ±V(x)]’=U’(x)± V’(x); [U(x)V(x) ]’= U’(x) V(x)+ V’(x) U(x);(ну и частное писать долго(()

Теорема о производной сложной ф-ции.

Если х= (t) диференц в некоторой т. t, а у= f(x) диф-ма в т. (t), то f[ (t)] – диф-ма в т. t и при этом справ. Нер-во {f[ (t)]}’= f’[ (t)] ’(t)

Теорема о производной обратной ф-ции.

Пусть ф-ция у= f(x) непрерывна и монотонна в некоторой окрестн т. х кроме того пусть ф-ция f(x) диф-ма в т. х и ее f¹(x) в данной точке ≠0, тогда в окрестности т. f(x) определена обратная ф-ция х= f¹(у), которая монотонна, непрерывна и диф-ма в т. f(x)

Формула Лейбница для производной порядка n для произведения двух ф-ций.

[U(x)V(x) ]⁽ⁿ⁾= c^k_nU^(n-k)(x)V^(k)(x)

Таблица производных элементарных ф-ций.

1.(х^α)’=α х^α-1 2.(а^х)’= а^хln а 3.(log_аx)’=1/xlnа 4.(sinx)’=cosx 5.(cosx)’=-sinx 6.(tgx)’=1/cos²x 7.(ctgx)’=-1/sin²x 8.(arcsinx)’=1/(1-x²)^1/2 9.(arccsx)’=-1/(1-x²)^1/2 10.(arctgx)’=1/(1-x²) 11. (arcctgx)’=-1/(1-x²)

106. Сформулировать в виде теоремы свойство инвариантности формы первого дифференциала.

dy= f^-‘(x) универсальная формула

Справедлива в случае не только когда аргум х является независимой переменной, но и в случае, когда арг х представл собой диф-мую ф-цию от t

107. Дать определение точки локального максимума ф-ции y=f(x) и критической точки ф-ции y=f(x).

Т. х области опред ф-ции у= f(x) называется точкой локального максим.(минимума) если существует такая окрестность т х₀, что для любого х из указанной окрестности справ.нер-во f(x)≤ f(x₀)( f(x)≥ f(x₀)). Если х₀ явл точкой лок макс(мин), то наз-ся точкой лок экстремума

Поебень.

Если ф-ция f(x) диф-ма в т х₀ и в этой точке имеет лок экстремум, то произв в т х₀=0

Теорема Ролля.

Пусть ф-ция f(x) непрерывна на сегменте [а,в] и диф-ма на инт (а,в) кроме этого пусть f(а)=f(в), тогда существует такая т ξ принадл (а,в), f^-‘(ξ)=0

Теорема Лагранжа.

Пусть ф-ция f(x) непрерывна на сегменте [а,в] и диф-ма на инт (а,в) тогда существует такая т ξ принадл (а,в), что справ нер-во f(а)-f(в)= f^-‘(ξ)( в- а)

Теорема Коши.

Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны на сегменте [а,в] и диф-мы на инт (а,в), кроме этого g’(x)≠0 в кажд точке х принадл (а,в), тогда существ такая т ξ принадл (а,в),что справ нер-во (f(а)-f(в))/(g(b)-g(a))=f’(ξ)/g’(ξ)

Е правило Лопиталя.

Пусть ф-ции f(x) и g(x) диф-мы в некот окрестности т а , за исключение быть может самой т а. Пусть пределы f(x) = g(x) существуют и равны0 и g’(x)≠0 всюду в указанной окр а, тогда если существует конечный или бесконечный , то и существ и при этом они равны(пределы)

Е правило Лопиталя.

Если ф-ции f(x) и g(x) диф-мы в некот окрестности т а , за исключение быть может самой т а. и равны и кроме этого g’(x)≠0 в указанной окр а, тогда если существует , то и существ и при этом они равны(пределы).