Дифференцирование обратной функции

Пусть Дифференцирование обратной функции - student2.ru (1)

есть дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале (a,b).Если в уравнении (1) y рассматривать как аргумент,а x как функцию, то эта новая функция Дифференцирование обратной функции - student2.ru , где Дифференцирование обратной функции - student2.ru называется ,как мы знаем, обратной по отношению к данной.Нашей задачей является: зная производную Дифференцирование обратной функции - student2.ru функции Дифференцирование обратной функции - student2.ru найти производную Дифференцирование обратной функции - student2.ru обратной ей функции Дифференцирование обратной функции - student2.ru предполагая ,что обратная функция существует и непрерывна в соответствующем промежутке.

Теорема.Если для функции y=f(x)

существует обратная функция Дифференцирование обратной функции - student2.ru ,

которая в рассматриваемой точке Дифференцирование обратной функции - student2.ru имеет производную Дифференцирование обратной функции - student2.ru , отличную от нуля, то в соответствующей точке x функция Дифференцирование обратной функции - student2.ru имеет производную Дифференцирование обратной функции - student2.ru ,

равную Дифференцирование обратной функции - student2.ru , т.е. справедлива формула

Дифференцирование обратной функции - student2.ru
Доказательство. Возьмем приращение ∆y,тогда Дифференцирование обратной функции - student2.ru

Так как Дифференцирование обратной функции - student2.ru есть функция монотонная, то ∆x Дифференцирование обратной функции - student2.ru .

Рассмотрим тождество Дифференцирование обратной функции - student2.ru

Так как при ∆x→0 и ∆y→0,то Дифференцирование обратной функции - student2.ru т.е. Дифференцирование обратной функции - student2.ru

Наши рекомендации