Первый вопрос, который нас интересует и который легко решается, следующий: из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет? Ответ на этот вопрос можно найти в задачах о паркетах Пенроуза.
В математике задача сплошного заполнения плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий называется паркетами. Еще древним грекам было известно, что эта задача легко решается при покрытии плоскости правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками.
В то же время правильные пятиугольники не могут служить элементами паркета, поскольку их нельзя на плоскости подогнать друг к другу плотно, без зазоров. То же самое можно сказать о семи-, восьми-, девяти-, десятиугольниках. Постепенно были придуманы способы заполнения плоскости правильными многоугольниками разных видов и размеров. Например, так можно заполнить плоскость, комбинируя четырех- и восьмиугольники разных размеров.
Значительно более сложным развитием этой задачи было условие, чтобы структура паркета, составленного из нескольких видов многоугольников и полностью покрывающего плоскость, была не совсем "правильной" или "почти" периодической. Долгое время считалось, что эта задача не имеет решения. Однако в 60-х годах прошлого столетия она все же была решена, но для этого понадобился набор из тысяч многоугольников различных видов. Шаг за шагом число видов удавалось уменьшить, и, наконец, в середине 1970-х годов профессор Оксфордского университета Роджер Пенроуз решил задачу, используя всего два вида ромбов, заполнения плоскости ромбами с острыми углами в 72 и 36° . Их еще называют "толстыми" и "худыми" ромбами.
Для получения непериодической картины при укладывании ромбов следует придерживаться некоторых нетривиальных правил их сочетания. Оказалось, что эта простая с виду структура обладает очень интересными свойствами. Например, если взять отношение числа тонких ромбов к числу толстых, то оно оказывается всегда равно так называемому "золотому" числу -1,618... Поскольку это число "не точное", а, как говорят математики, иррациональное, то и структура получается не периодической, а почти периодической. Более того, это число определяет соотношение между отрезками внутри десятиугольников, образующих пятиконечную звезду, - пентограмму, которая считается геометрической фигурой с идеальными пропорциями. Обратите внимание: десятиугольники имеют одинаковую ориентацию, что согласовывает и определяет расположение ромбов, из которых составлена мозаика Пенроуза. Поразительно, что это чисто геометрическое построение оказалось самой подходящей математической моделью для описания открытых в 1984 году квазикристаллов. Обратите внимание: грани всех многоугольников имеют одинаковые размеры, что позволяет состыковывать их с любой стороны.
Глава 2
Классические паркетные узоры (Приложение 1)
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | |  | |  |
| |
| | |  |
| | |  | |  |
| |
| | |  | |  | |  |
| |
| | | Основная фигура для паркета квадрат | | | | Основная фигура для паркета правильный шестиугольник | | | | Основная фигура для паркета правильный треугольник | |
| |
Основой для классических паркетных узоров являются прямоугольник, параллелограмм, квадрат, правильные шести и трёх угольники.
