Построение правильных многоугольников

Задача о построении правильного -угольника равносильна задачи о делении окружности на равных частей. Если выбрать систему координат так, что начало координат, лежит в центре окружности, а точка (1,0) на окружности, то задача сводится к построению корней уравнения

,

причем исходным полем является поле рациональных чисел.

Построение правильных -угольников при =3,4,6 затруднений не вызывает. Ясно также, как построить правильный 2 -угольник, если задан или построен правильный -угольник; это задача сводится к делению дуги или хорды пополам.

Рассмотрим задачу о построении правильного пятиугольника. Как отмечалось выше, эта задача равносильна задаче построения корней уравнения .

Так как , то вопрос сводится к построению корней уравнения

(1)

Запишем это уравнение в виде

И положим . Тогда

и решение уравнения (1) сводится к последовательному решению уравнения

(2)

а затем квадратных уравнений

,

где – оба корня уравнения (2).

Отсюда видно, что уравнения (1) разрешимо в квадратных радикалах и согласно Т₂ § 11 все его корни можно построить циркулем и линейкой. Ясен также и путь построения: сначала построить корни

уравнения (2), а затем по имеющимся точкам и строить корни уравнений , .

Рассмотрим теперь случай . Здесь вопрос сводится к построению корней уравнения

(3)

Та же постановка дает

,

и решение уравнения (3) сводится к решению уравнения

, (4)

а затем к решению уравнений

(5)

где – корни уравнения (4).

Уравнение (4) не имеет рациональных корней; поэтому многочлен неприводим над полем - алгебраические числа степени 3. В силу теоремы 1 § 11, построить невозможно. Но тогда и корни уравнения (3) тоже построить невозможно. В самом деле, если бы удалось построить корень уравнения (3), то для одного из корней имели бы место

,

а это означало бы, что корень уравнения (4) тоже можно построить.

Мы доказали невозможность построения циркулем и линейкой правильного семиугольника. Если имеет взаимно простые делители, то вопрос о возможности построения правильного -угольника сводится к вопросу о возможности правильных многоугольников с меньшим числом сторон.

Теорема 1. Если и числа и взаимно просты, то окружность можно разделить циркулем и линейкой на равных частей, тогда и только тогда, когда она делится циркулем и линейкой и на и на равных частей.

Доказательство. Если окружность разделена на равных частей, то построен угол . Но тогда можно построить угол , и тем самым разделить окружность на равных частей, а также угол и тем самым разделить окружность на равных частей.

Обратно, пусть окружность разделена и на ; и на – равных частей. Так как то существуют целые числа и , что

.

Отсюда или .

Последнее равенство показывает – как, имея углы и построить угол , т.е. разделить окружность на равных частей.

Мы рассматривали здесь некоторые частные случаи в задаче построения правильных многоугольников. Однако еще в начале прошлого века знаменитый математик К.ГАУСС дал полное решение этой задачи. Мы приведем его результаты без доказательства.

Все простые числа в последовательности , … называются простыми числами ФЕРМА. Сам Ферма показал, что все числа в этой последовательности являются простыми. Оказалось же, что уже при получается составное число. В настоящее время известно только 5 простых чисел Ферма, являющимися первыми пятью членами последовательности . Это число 3,5,17,257 и 65537. Одно из замечательных свойств простых чисел Ферма и составляет содержание основной теоремы Гаусса.

Теорема 2. Если - простое нечетное число, то правильный -угольник можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда является простым числом Ферма. Правильный -угольник , где – простое число и построить невозможно. Из этой теоремы вытекает, например, возможность построения правильных -угольников при = 3,5,257,65537 и невозможность при =7,8,11,13,25,125 и т.д. и мы здесь его не приводим. На основании этой теоремы уже без труда доказывается более общий результат, который дает полное решение поставленной задачи.

Теорема 3. Правильный -угольник, можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда разложение числа на простые сомножители имеет вид

,

где – различные простые числа Ферма.

Доказательство. Множитель в разложении числа не влияет на разрешимость задачи; поэтому достаточно доказать теорему 3 для нечетного числа .

Пусть _, где – различные простые числа Ферма. Согласно теореме 2 можно построить правильный -угольник при каждом . Но тогда в силу теоремы 1 можно построить и правильный - угольник.

Обратно, если можно построить правильные -угольники

,

где – нечетные простые числа, то в силу теоремы 1 можно построить правильный - угольник при каждом , а это означает согласно теореме 2, что при каждом имеем , – простое число Ферма.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

В настоящее время построены все известные многоугольники, число сторон которых есть простое число Ферма. 257-угольник построил Ришело (80 стр. текста), а 65537-угольник – Гермес (рукопись занимает огромный чемодан, который хранится в Гёттингенском университете). Способ построения тот же, который использовал Гаусс для построения 17-угольника.

Гаусс, сделавший много крупных открытий в самых различных областях математики, очень ценил свою первую научную работу о 17-угольнике, которую он выполнил в 1796г (через 5лет дал полное решение задачи о возможности построения правильного многоугольника циркулем и линейкой). Памятник, воздвигнутый на его могиле в Гёттингене, находится на пьедестале, имеющем форму 17-угольной призмы.