Фильтры нижних частот

ФИЛЬТРЫ НИЖНИХ ЧАСТОТ.

Фильтр нижних частот представляет собой устройство, которое пропускает сигналы низких частот и задерживает сигналы высоких частот. В общем случае определим полосу пропускания как интервал частот 0<w<w_c, полосу задерживания как частоты w>w₁, переходную область как диапазон частот w_c<w<w₁ (w_c — частота среза). Эти частоты обозначены на рис. 5, на котором приведена реальная амплитудно-частотная характеристика фильтра нижних частот, где в данном случае заштрихованные области представляют собой допустимые отклонения характеристики в полосах пропускания и задерживания.

Рис. 5. Реальная амплитудно-частотная характеристика фильтра нижних частот.

Коэффициент усиления фильтра нижних частот представляет собой значение его передаточной функции при s=0 или, что эквивалентно, значение его амплитудно-частотной характеристики на частоте w=0. Следовательно, коэффициент усиления реального фильтра с амплитудно-частотной характеристикой, показанной на рис. 5, равен A.

Существует много типов фильтров нижних частот, удовлетворяющих данному набору технических требований, таких, как А, A₁, A₂, w_c и w₁, обозначенных на рис. 5. Фильтры Баттерворта, Чебышева инверсные Чебышева и эллиптические образуют четыре наиболее известных класса. Фильтр Баттерворта обладает монотонной характеристикой, подобной характеристике на рис. 5. (Характеристика является монотонно спадающей, если она никогда не, возрастает с увеличением частоты.) Характеристика фильтра Чебышева содержит пульсации (колебания передачи) в полосе пропускания и монотонна в полосе задерживания. Инверсная, характеристика фильтра Чебышева монотонна в полосе пропускания и обладает пульсациями в полосе задерживания. Наконец, характеристика эллиптического фильтра обладает пульсациями, как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания.

АЧХ оптимального фильтра нижних частот удовлетворяет обозначенным на рис. 5 условиям для данного порядка n и допустимого отклонения в полосах пропускания и задерживания при минимальной ширине переходной области. Таким образом, если заданы значения A, A₁, A₂, n и w_c, то значение частоты w₁ минимально. Для полиномиальной характеристики оптимальной является характеристика фильтра Чебышева. Однако в общем случае оптимальным является эллиптический фильтр, характеристики которого значительно лучше характеристик фильтра Чебышева.

В нашем случае более предпочтительным будет использование фильтра Баттерворта, т.к. его АЧХ, по сравнению с характеристикой любого полиномиального фильтра n-го порядка, является наиболее плоской.

Рассмотрим данный тип фильтров подробнее.

ФИЛЬТРЫ БАТТЕРВОРТА.

Вероятно, наиболее простая амплитудно-частотная характеристика фильтра нижних частот у фильтра Баттерворта, которая в случае n-го порядка определяется следующим образом:

n=1,2,3… (8)

Эта характеристика фильтра Баттерворта монотонно спадает (никогда не возрастает) при увеличении частоты. Увеличение порядка также приводит к улучшению характеристики.

Фильтр Баттерворта представляет собой полиномиальный фильтр и в общем случае обладает передаточной функцией вида

, (9)

где К — постоянное число. Для нормированного фильтра, т. е. при w_c=1 рад/с, передаточную функцию можно записать в виде произведения сомножителей для n=2, 4, 6... как

, (10)

или для n=3, 5, 7... как

, (11)

В обоих случаях коэффициенты задаются при b₀=1 и для k=1, 2... следующим образом:

, (12)

Очевидно, что коэффициент усиления фильтра Баттерворта, описываемого уравнением (9), равен К (значению передаточной функции при s=0). Если фильтр построен на основе каскадного соединения звеньев, соответствующих сомножителям в (10) или (11), то А_k и/или A₀ будут представлять собой коэффициент усиления звена. Таким образом, коэффициент усиления фильтра равен произведению коэффициентов усиления отдельных звеньев.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта наиболее плоская около частоты w=0 по сравнению с характеристикой любого полиномиального фильтра n-го порядка и вследствие этого называется максимально плоской. Следовательно, для диапазона низких частот характеристика фильтра Баттерворта наилучшим образом аппроксимирует идеальную характеристику.

Фазо-частотная характеристика фильтра Баттерворта лучше (более близка к линейной), чем соответствующие фазо-частотные характеристики фильтров Чебышева, инверсных Чебышева и эллиптических сравнимого порядка. Это согласуется с общим правилом для фильтров данного типа — чем лучше амплитудно-частотная характеристика, тем хуже фазо-частотная, и наоборот.

Наклон переходного участка характеристики фильтра Баттерворта равен 6дБ/октава на полюс. Фильтр Баттерворта имеет нелинейную фазово-частотную характеристику; другими словами, время, которое требуется для прохождения сигнала через фильтр, зависит от частоты нелинейно. Поэтому, ступенчатый сигнал или импульс, поданный на вход фильтра Баттерворта, называет выброс на его выходе. Используется фильтр Баттерворта в тех случаях, когда желательно иметь одинаковый коэффициент усиления для всех частот в полосе пропускания.