Позиционные игры. Деревья принятия решений

Таблицу решений удобно использовать при анализе задач, имеющих единственное множество альтернативных решений и единственное множество состояний среды. Такие задачи называются статистическими играми.

Однако многие задачи предполагают необходимость принятия нескольких последовательных решений, для каждого из которых определено множество состояний среды. Эти задачи носят название позиционных игр (набор альтернатив зависит от позиции игры). Для рассмотрения позиционной игры, если имеется два или более последовательных решения, более удобным является подход, основанный на построении дерева решений.

Дерево решений — это графическое изображение процесса решений, в котором отражены альтернативные решения, состояния среды, соответствующие вероятности и выигрыши для любых комбинаций альтернатив и состояний среды.

При поэтапном принятии решений множество стратегий и множество состояний природы текущего этапа определяют совокупности стратегий и состояний для следующего этапа.

Анализ задач с помощью дерева решений включает пять этапов:
1) формулировка задачи;
2) построение или изображение дерева решений;
3) оценка вероятностей состояний среды;
4) установление выигрышей для каждой возможной комбинации альтернатив и состояний среды;
5) решение задачи путем расчета ожидаемой стоимостной ценности (ЕМV) для каждой вершины состояния среды.

Этап 1. Постановка проблемы и поиск альтернатив решения: выявление проблемы через сравнение достигнутого состояния и желаемого состояния; анализ причин, вызвавших проблему; выявление и определение значимых для постановки проблемы целей; определение перечня подпроблем, входящих в проблему, и логической последовательности их разрешения; подбор альтернативных решений для каждого из решений, в зависимости от условий внешней среды.

Этап 2.Конструирование дерева решений в виде схематичного представления комплекса решаемых подпроблем. Дерево содержит узлы двух типов,

Первый тип изображается в виде прямоугольника и соответствует решению определенной подпроблемы.

Таким образом, в этих узлах системным аналитиком производится выбор одной из альтернатив.

Каждая из альтернатив представляется в виде дуги, выходящей из узла принятия решения.

Реализация r-го решения может быть связана с определенными затратами Cr. Эта величина со знаком минус указывается над дугой, соответствующей такому решению.

Затраты на реализацию решений могут быть связаны с проведением дополнительных экспериментов для получения более точной информации, разработкой проектов технического переоснащения предприятий и т.д.

В том случае, если реализация альтернативы не требует затрат, то над дугой не проставляется никаких количественных значений, а только указывается наименование альтернативы.

Второй тип узлов изображается в виде круга и соответствует моменту появления возможных исходов в зависимости от состояний внешней среды.

Такие узлы именуются как узлы-возможности, а каждая дуга отображает возможный исход. Возникновение возможных исходов количественно задается распределением условных вероятностей.

Конечным исходом приписывается численная величина выигрыша либо полезности.

Этап З. Анализ дерева решений производится, начиная от конечных исходов к начальному узлу принятия решений.

Для узлов-возможностей определяется среднее значения выигрыша.

В том случае, если для узла-возможностей имеется только одно состояние и, следовательно, только один конечный исход, то среднее значение выигрыша для такого узла равно выигрышу конечного исхода.

В узле принятия решения реализуется принцип максимизации среднего выигрыша, те. в каждом узле решения системный аналитик выбирает альтернативу, которая приводит к наибольшей ожидаемой полезности, и значение этой полезности приписывается узлу решений.

На основе значений полезности узлов принятия решений находятся средние значения полезности для узлов-возможностей, которые являются узлами- предками.

Процесс продолжается до тех пор, пока для начального узла принятия решений, исходя из принципа максимальной полезности, не будет определена оптимальная альтернатива. После этого проводится просмотр дерева в прямом порядке и определяется перечень оптимальных альтернатив.

Этап 4. Анализ устойчивости решения. Цель этого этапа состоит в определении предельных значениях вероятностей, при которых производится переход к другим альтернативным решениям.

Этап 5. Оценка ожидаемой ценности точной информации. Этот этап целесообразно выполнять в том случае, если с помощью дополнительного мониторинга внешней среды можно получить точную информацию о состоянии среды. Очевидно, что проведение мониторинга требует дополнительных затрат, но приводит к увеличению максимального выигрыша либо полезности. Поэтому необходимо найти разность между значениями критерия при наличии точной информации о состоянии среды и значением критерия при отсутствии такой информации. Тогда мониторинг целесообразно проводить, если затраты на его организацию меньше вычисленной разности критериев оценки выигрышей.

Пример 4. Взаимосвязанные решения.

Предположим, что Бычкову (см. пример 1) надо принять два решения, причем второе решение зависит от исхода первого. Прежде чем создать новое производство. Бычков намерен заказать исследование рынка и заплатить за него 10 тыс. руб. Результаты этого исследования могли бы помочь решить вопрос о том, следует ли создавать большое производство, малое производство или не делать ничего. Бычков понимает, что такое обследование рынка не может дать достоверную информацию, но может тем не менее оказаться полезным.

Вопрос: Следует ли проводить обследование рынка?

Решение. На рис. 1 показаны возможные состояния среды и решения, а также вероятности различных результатов обследования и вероятности наступления различных состояний среды. (Прямоугольники используются для обозначения вершин принятия решений, кружочки обозначают неконтролируемые события — наступление состояний среды.)

Дерево решений Бычкова с рассчитанными EMV представлено на рис. 2. Короткими параллельными линиями отсекается та ветвь, которая оказывается менее благоприятной по сравнению с другими и может быть отброшена.

Ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения в случае, если будет заказано обследование рынка, составляет 49,2 тыс. руб., без обследования она составляет 40 тыс. руб.

Рис. 1

Рис.2

Ответ: Да, следует заказывать обследование рынка. Если результат обследования будет благоприятным, следует создавать большое производство, если неблагоприятным — малое.

Наиболее плохо формализуемой процедурой является оценка вероятностей состояний.

Широко распространенными способами являются:

· субъективный подход системных аналитиков;

· объективный подход, основанный на анализе физических явлений;

· экспериментальный подход;

· оценочный подход к распределению вероятностей;

· применение для известных функций распределения экспертных оценок.

Субъективная вероятность состояния отражает степень уверенности системного аналитика в том, что рассматриваемое состояние наступает, и в ее основе лежит готовность лица, принимающего решения, действовать в соответствии с этой уверенностью. При оценке аналитиком субъективной вероятности состояния учитываются знания о физических явлениях, эмпирические данные, результаты моделирования физических явлений, экспертные суждения различных лиц и др.

Объективные вероятности основаны на применении различных комбинаторных схем и подтверждаются исчерпывающими экспериментами.

Экспериментальная оценка вероятности основывается на результатах испытаний.

Суть оценочного подхода состоит в том, что эксперту предлагается найти значение случайной величины, имеющей вероятность, равную 0.5, затем вероятности 0.25 и 0.75. На основе этих суждений формируется закон распределения случайной величины.

Наиболее перспективным является применение известных функций распределения случайной величины: эксперту предлагается оценить только одну либо две количественные характеристики выбранной функции или закона распределения. Например, выбран биноминальный закон распределения: эксперту предлагается дать оценку математического ожидания и дисперсии. Тогда вероятности состояний рассчитываются в соответствии с выбранным биноминальным законом распределения.