Определительные испытания

Определительным испытаниям могут подвергаться АСУ ТП в целом, их подсистемы, функции, технические средства и любые другие элементы АСУ ТП.

Планы испытаний.Планом испытаний называют правила, устанавливающие объем выборки, порядок проведения испытаний и критерии их прекращения. Рассмотрим наиболее распространенные планы определительных испытаний. Наименование плана принято обозначать тремя буквами (цифрами); первая из них обозначает число испытываемых систем, вторая – наличие R или отсутствие U восстановлений на время испытаний в случае отказа, третья – критерий прекращения испытаний.

План [N U ] соответствует одновременному испытанию N систем. Эти системы после отказа не восстанавливаются (или же восстанавливаются, но данные об их поведении после первого отказа в испытаниях не рассматриваются). Испытания прекращают по истечении наработки каждой отказавшей системы. На рис. 4.1,а знаком умножения обозначено наличие отказа; – наработка до отказа 1-й системы. Этот план обычно применяют для определения вероятности безотказной работы системы за время .

План [N U r] соответствует испытаниям N таких же невосстанавливаемых систем, однако в отличие от плана [N U ] испытания прекращают, когда число отказавших систем достигает r. В примере плана, данного на рис. 4.1,б, r-й отказ имеет место у 1-й системы. Если r = N, то переходим к плану [N U N], когда испытания прекращают после отказов всех систем.

Рис. 4.1 Планы испытаний

План [N U r]обычно применяют для определения средней наработки на отказ и средней наработки до отказа в случае экспоненциального распределения, а план [N U N] – в случае нормального распределения. Испытания по плану [N U N] требуют значительных времени и числа испытываемых систем, но дают возможность полностью определить эмпирическую функцию распределения. Планы [N U r] и [N U ] позволяют определить эмпирическую функцию распределения только для некоторого интервала времени, дают меньше информации, зато позволяют быстрее закончить испытания.

План [N R ] описывает испытания N систем, причем отказавшие во время испытаний системы заменяют новыми или восстанавливают. Испытания прекращают по истечении наработки Т каждой из N позиций (под позицией понимаем определенное место на стенде или объекте, применительно к которому наработка исчисляется независимо от произошедших на данной позиции замен или восстановлений – рис. 4.1,в).

Последний из рассматриваемых планов [N R r] соответствует испытаниям N систем, когда отказавшие во время испытаний системы заменяют новыми или восстанавливают. Испытания прекращают, когда суммарное по всем позициям число отказавших систем достигает r (рис. 4.1,г).

Задачами планирования является определение минимального объема наблюдений – выбор числа испытываемых систем N, а также продолжительности наблюдений для планов [N U ] и [N R ] или числа отказов r для планов [N U r] и [N R r].

Результатами определительных испытаний должны являться точечные и интервальные оценки показателей надежности.

Точечные оценки.Понятие точечная оценка в математической статистике вводится следующим образом. Пусть имеются результаты k наблюдений t₁, t₂ ,..., t_k над некоторой случайной величиной T (например, временем безотказной работы) с функцией распределения F (t, ), причем параметр этого распределения неизвестен. Необходимо найти такую функцию =g(t₁,..., t_k)результатов наблюдений t₁,..., t_k, которую можно было бы рассматривать как оценку параметра . При таком выборе функции каждой совокупности (t₁,..., t_k)будет соответствовать точка на числовой оси, которую называют точечной оценкой параметра .

Точечная оценка , являющаяся функцией результатов наблюдений, – так же случайная величина со своим собственным законом распределения, зависящим от закона распределения случайной величины T, объема наблюдений k и вида функции . Для одного и того же неизвестного параметра обычно можно принять несколько функций , которые могут служить в качестве оценки. Выбор требований к таким оценкам (состоятельности, несмещенности, эффективности) и методов нахождения оценки (максимального правдоподобия, моментов, квантилей, графические) описан в книгах по теории вероятностей и математической статистике.

Статистические определения показателей надежности, рассмотренные ранее являются их точечными оценками. При этом оценка средней наработки до отказа

(4.1)

соответствует плану [N U N], так как здесь рассматриваются завершенные (не прерванные в испытаниях) наработки до отказа каждой из испытываемых систем. Это соотношение имеет место при любых законах распределения наработки до отказа.

Для экспоненциального распределения при всех других рассмотренных в п. 4.1 планах испытаний, кроме плана [N U N], точечная оценка средней наработки до отказа

,

где S – суммарная наработка всех систем за время испытаний;

– cуммарное числе отказов всех систем за время испытания. Например, при плане [N R ]

, (4.2)

где l – число систем, отказавших в интервале (0, ); t_i – наработка до отказа l-й системы из числа отказавших (i = 1, 1).

При плане испытаний [N U r]

. (4.3)

Для плана [N R ]и простейшего потока, у которого время между отказами подчиняется экспоненциальному распределению, оценка средней наработки до отказа совпадает с оценкой средней наработки на отказ:

. (4.4)

Оценка интенсивности отказов при экспоненциальном распределении может быть определена через оценку средней наработки до отказа:

.

Например, при плане [N U N]

.

Оценка параметра простейшего потока совпадает с оценкой интенсивности отказов . Например, при плане [N R ]:

. (4.5)

Оценка среднего времени восстановления, определяемая аналогично (4.1), также соответствует плану [N U N]. Оценки вероятности отказа и вероятности безотказной работы до момента t₁, определяемые соотношениями (1.8) и (1.9), могут быть найдены за ограниченный интервал времени t₁= и соответствуют плану испытаний [N U ].

ЛЕКЦИЯ 14

Интервальные оценки

Точечные оценки дают представление о значении показателя надежности, но ничего не говорят о точности этой оценки. Для рассмотрения точности оценки вводится понятие доверительного интервала.

Как выше, примем, что имеются результаты k наблюдений t₁,..., t_k над случайной величиной Т с функцией распределения F(t, ), где параметр неизвестен. Необходимо найти такую функцию результатов наблюдений, чтобы интервал ( _н, ∞) накрывал неизвестный параметр с заданной вероятностью :

. (4.6)

Величину _н называют нижней доверительной границей параметра при односторонней доверительной вероятности .

Для заданной вероятности по той же совокупности наблюдений может быть найдена функция такая, что интервал (0, _вр) накрывает параметр с вероятностью :

. (4.7)

Величину _вр называют верхней доверительной границей параметра при односторонней доверительной вероятности .

Нижняя и верхняя доверительные границы образуют доверительный интервал, который с вероятностью накрывает на числовой оси неизвестное значение параметра . При >0,5 и >0,5(доверительные вероятности и обычно выбираются не менее 0,8) согласно (4.7) и (4.8):

Обычно принимают, что , тогда .

Значение доверительного интервала тем меньше, чем больше число k наблюдений (например, чем больше число отказов при испытаниях) и чем меньше значение доверительной вероятности.

Определение границ доверительного интервала заключается в следующем. Так как оценка неизвестного параметра является случайной величиной, то находим закон ее распределения. Затем определяем интервал ,в который случайная величина попадает с вероятностью .

С помощью (4.11) может быть получен приближенный способ построения доверительных интервалов средней наработки до отказа для плана [N U N] при произвольном распределении. Способ основывается на том, что независимо от исходного распределения уже при числе испытываемых изделий N >15 20 среднее арифметическое, т.е. оценка , распределено приближенно нормально с математическим ожиданием , а неизвестное значение дисперсии заменяется ее точечной оценкой такой же, как в соотношении (4.6):

.

Тогда, как в предыдущем случае, получим относительные значения границ доверительного интервала.

Контрольные испытания

Контрольным испытаниям обычно подвергаются подсистемы, технические средства и их элементы. Так, для технических средств, входящих в состав ГСП, обязательными являются контрольные испытания на безотказность. Испытания на ремонтопригодность, сохраняемость и долговечность проводят в тех случаях, когда это предусмотрено стандартами, тёхническими заданиями или техническими условиями на конкретный прибор (средства). Периодичность контрольных испытаний на безотказность обычно не реже одного раза в три года.

Для проведения контрольных испытаний из совокупности (партии) однородных приборов составляется некоторая выборка и проводятся испытания на надежность попавших в эту выборку приборов. По результатам испытания выборки выносится суждение о соответствии всей партии предъявляемым требованиям.

Математический аппарат решения этой задачи — изучаемые в математической статистике методы проверки статистических гипотез. В качестве проверяемой (или, как принято говорить, нулевой) гипотезы принимается предположение, что партия соответствует требованиям к надежности, в качестве противоположной (альтернативной) – что партия не удовлетворяет этим требованиям.

По результатам испытаний имеет место одна из следующих четырех ситуаций:

1. Партия удовлетворяет требованиям; по результатам испытаний подтвердилась нулевая гипотеза и принято решение о принятии партии. Это решение правильно.

2. Партия удовлетворяет требованиям, но по результатам испытаний нулевая гипотеза не подтвердилась. Это произошло потому, что случайно составленная выборка содержала повышенное число отказавших приборов по сравнению с совокупностью. Принята альтернативная гипотеза; это решение неправильно и невыгодно для изготовителя приборов. При этом произошла ошибка, вероятность которой называют риском поставщика (изготовителя) α.

3. Партия не удовлетворяет требованиям, по результатам испытаний нулевая гипотеза не подтвердилась. Принята альтернативная гипотеза, т. е. решение о непринятии партии. Это решение правильно.

4. Партия не удовлетворяет требованиям, но по результатам испытаний подтвердилась нулевая гипотеза о соответствии требованиям к надежности, так как выборка содержала повышенное число неотказавших приборов по сравнению со всей партией. Принято неправильное решение, но оно невыгодно в отличие от п. 2 не изготовителю, а потребителю – заказчику этих приборов. Произошла ошибка, вероятность которой называют риском потребителя (заказчика) β.

Естественно, что желательно снизить значения обеих ошибок, доведя их в пределе до нуля. Зависимость вероятности L приемки партии от показателя надежности А (называемая оперативной характеристикой плана контроля) для такой предельной ситуации дана на рис. 4.3,а. Пусть А_тр – требуемое значение показателя надежности. В этой ситуации нулевая гипотеза А А_тр. Если она справедлива, то партия принимается с вероятностью, равной единице, причем α=0. Альтернативная гипотеза заключается в том, что А<А_тр. При этом партия бракуется с вероятностью, равной единице, причем β=0. Однако такая идеальная оперативная характеристика недостижима, так как требует бесконечного объема наблюдений.

В реальной ситуации вводятся два уровня контролируемого показателя надежности: приемочный А_α и браковочный А_β (рис. 4.3,б). Если А А_α, то приборы должны приниматься с достаточно высокой вероятностью, не ниже L(А_α), если А<А_β, то приборы должны браковаться с достаточно высокой вероятностью, не ниже 1–L(А_β). При этом риск поставщика α=1-L(А_α), риск потребителя α=1-L(А_α). Тем самым проверку нулевой гипотезы А А_тр при альтернативе А<А_тр заменяем другой задачей — проверкой нулевой гипотезы А А_α при альтернативе А<А_β. Чем ближе А_α к А_β, тем больший объем испытаний необходим для принятия достоверного решения о соответствии партии.

Рис. 4.3 Идеальная (а) и реальная (б) оперативные характеристики планов контроля

Практически в качестве приемочного уровня А_α принимают: расчетное значение показателя надежности, если не было испытаний надежности; худшую доверительную границу показателя надежности (А_н или А_вр), если проводились определительные испытания.

Значение браковочного уровня А_β устанавливается с учетом приемочного уровня А_α, стоимости, продолжительности и условий испытаний и т. п.

Риск поставщика α и потребителя β обычно принимается равным 0,1-0,2, но в принципе по согласованию между потребителем и поставщиком возможен выбор и иных значений α и β.

Контрольные испытания на безотказность проводятся обычно одно- или двухступенчатым методом. При применении первого из них испытания выполняют следующим образом. Образцы, вошедшие в выборку объема d, испытывают в течение времени t_И. По окончании испытаний определяют число наступивших отказов п. Если оно равно или меньше приемочного числа отказов с, определенного в зависимости от величин А_α, А_β, α и β, то нулевая гипотеза подтверждается и партию принимают. Если же п>с, то подтверждается альтернативная гипотеза и партию не принимают.

При применении двухступенчатого метода определяют объемы выборок n₁ и n₂ и приемочные числа отказов c₁ и c₂ для первой и второй ступеней, зависящие от величин А_α, А_β, α и β.

Образцы, вошедшие в первую выборку, испытывают в течение времени t_и и определяют число наступивших отказов d₁. Если , то результаты контрольных испытаний положительны. Если > c₁ + c₂, то испытания прекращаются, а их результаты считаются отрицательными. Если c₁ < d₁ c₁+ c₂, то проводят испытания второй ступени.

Образцы изделий, вошедшие во вторую выборку, также испытывают в течение времени t₁. По окончании второй ступени определяют суммарное число отказов d₁ + d₂ . Если , то результаты испытаний положительны; если , то отрицательны.

Одноступенчатый метод при прочих равных условиях обеспечивает минимальную календарную продолжительность испытаний, двухступенчатый при тех же условиях позволяет обеспечить минимум среднего объема испытаний.