Графические методы минимизации: Диаграммы Вейча

" Метод позволяет быстро получать минимальные ДНФ булевой функции f небольшого числа переменных. В основе метода лежит задание булевых функций диаграммами некоторого специального вида, получившими название диаграмм Вейча. Для булевой функции двух переменных диаграмма Вейча имеет вид (табл. 4.4.1).

Каждая клетка диаграммы соответствует набору переменных булевой функции в ее таблице истинности. В (табл. 4.4.1) это соответствие показано, В клетке диаграммы Вейча ставится единица, если булева функция принимает единичное значение на соответствующем наборе. Нулевые значения булевой функции в диаграмме Вейча не ставятся. Для булевой функции трех переменных диаграмма Вейча имеет следующий вид (табл. 4.4.2).

Добавление к ней еще такой же таблицы дает диаграмму для функции 4-х переменных (табл. 4.4.3).

Таким же образом, т. е. приписыванием еще одной диаграммы 3-х переменных к только что рассмотренной, можно получить диаграмму для функции 5-ти переменных и т. д., однако диаграммы для функций с числом переменных больше 4-х используются редко. Для приведенных диаграмм характерно следующее:

• каждой клетке диаграммы соответствует свой набор;
• соседние наборы расположены рядом в строке либо в столбце.

Соседними наборами называются наборы, отличающиеся одной компонентой. Напомним, что конституенты, соответствующие таким наборам, склеиваются (см. метод Квайна- Мак-Класки). Например, для функции, заданной табл. 9.22,

конституенты, соответствующие паре единиц в левой части таблицы, склеиваются и порождают элементарное произведение из 2-х букв:

х₁х₂/х₃ v x₁x₂x ₃ = x₁x₂

О паре единиц в правой части диаграммы можно сказать то же самое:

/х₁х₂/х₃ v /x₁/x₂/x ₃ = /x₁/x₃

Отметим, что получающееся элементарное произведение легко определить сразу по диаграмме: это произведение переменных, принимающих одно и то же значение в обеих клетках.
Еще одно важное замечание: столбцы, расположенные по краям диаграммы, тоже считаются соседними. Для нашего примера это означает, что имеет место еще одно склеивание, в результате которого, следуя указанному правилу, получаем элементарное произведение x₂/x₃ Из рассмотренных ранее методов нам известно, что возможно дальнейшее склеивание получаемых элементарных произведений. На диаграммах Вейча они тоже располагаются рядом. Общее правило склеивания на диаграммах Вейча можно сформулировать следующим образом: склеиванию подлежат прямоугольные конфигурации, заполненные единицами и содержащие число клеток, являющееся степенью 2. Получающееся новое элементарное произведение определяется как произведение переменных, не меняющих своего значения на всех склеиваемых наборах. Число m оставшихся переменных в элементарном произведении определяется легко:

m = n - log₂M

где n - число переменных функции, М - число склеиваемых наборов. Метод широко используется на практике, благодаря простоте и удобству. После небольшой тренировки достигается элементарный навык определения минимальной ДНФ по диаграмме "с первого взгляда". Минимизация булевой функции заключается в нахождении минимального накрытия всех единиц диаграммы Вейча блоками из единиц (указанной конфигурации), расположенных в соседних клетках диаграммы. При этом всегда считается, что левый край диаграммы Bейча 4-х переменных примыкает к ее правому краю, а верхний oкрай диаграммы примыкает к нижнему ее краю. После получения минимального накрытия всех единиц диаграммы Вейча, минимальная ДНФ булевой функции записывается как дизъюнкция элементарных конъюнкций, соответствующих выделенным блокам единиц в диаграмме. Рассмотрим несколько примеров.

Пример. Булева функция f имеет следующую СДНФ:

f=х₁х₂х₃ v х₁/х₂х₃ v /х₁/х₂/х₃ v /х₁/х₂/х₃ v х₁х₂/х₃.

Найти минимальную ДНФ с помощью диаграммы Вейча. Диаграмма Вейча, соответствующая функции f, представлена в табл. 4.4.5. Минимальное накрытие всех единиц диаграммы возможно только блоками по две единицы. Каждому такому блоку соответствует своя конъюнкция, как показано в табл. 4.4.5.

Следовательно, минимальная ДНФ функции имеет вид:

f = х₁х₂ v /х₁/х₂ v х₁х₃.

Пример.

f₁=х₁х₂х₃ v /х₁х₄.

f₂=х₁х₂х₄ v х₂х₃/х₄ v х₁х₃ v /х₂х₃х₄ v х₁х₂х₃x₄.

f₃=х₃/х₄ v /х₃х₄.

f₄=/х₃х₄ v /х₁х₄ v х₁х₃/х₄.

f₅=х₃ v х₄.

f₆=х₃х₄ v /х₃/х₄ v х₁х₂х₃.
"