Сведения, необходимые для выполнения работы. В измерительной практике для повышения качества измерений часто обраща­ются к измерениям с многократными наблюдениями

В измерительной практике для повышения качества измерений часто обраща­ются к измерениям с многократными наблюдениями, то есть к повторению одним и тем же оператором однократных наблюдений в одинаковых условиях, с исполь­зованием одного и того же средства измерений. В результате соответствующей обработки полученных данных удается уменьшить влияние случайной составля­ющей погрешности на результат измерений. При этом могут быть использованы различные процедуры обработки. Ниже кратко описана стандартная методика выполнения прямых измерений с многократными, независимыми наблюдениями и основные положения по обработке результатов наблюдений и оцениванию по­грешностей результатов измерений. Эта методика соответствует рекомендациям действующего ГОСТ 8.207-76 «Прямые измерения с многократными наблюде­ниями. Методы обработки результатов наблюдений».

В соответствии с методикой обработку ряда наблюдений следует выполнять в следующей последовательности:

1. Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений.

2. Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюде­ний, принимаемое за результат измерения.

3. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдения.

4. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения.

5. Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нор­мальному распределению.

6. Вычислить доверительные границы случайной составляющей погрешно­сти результата измерения.

7. Вычислить границы неисключенной систематической погрешности резуль­тата измерения.

8. Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.

9. Представить результат измерения в соответствии с установленными требо­ваниями.

При выполнении этой последовательности действий руководствуются сле­дующими правилами:

· проверку гипотезы о принадлежности результатов наблюдений нормально­му распределению проводят с уровнем значимости α, выбираемым в диапа­зоне от 0,02 до 0,1;

· при определении доверительных границ погрешности результата измере­ния доверительную вероятность Рд принимают равной 0,95;

· в тех случаях, когда измерение нельзя повторить, помимо границ, соответ­ствующих доверительной вероятности Рд = 0,95, допускается указывать границы для Рд = 0,99.

Исключение систематических погрешностей.

Исключение систематических погрешностей из результатов наблюдений прово­дится либо расчетным путем (см., например, лабораторную работу 1.2), либо по результатам поверки. После исключения систематических погрешностей все дальнейшие вычисления проводятся для исправленного ряда наблюдений.

Вычисление среднего арифметического ряда наблюдений.

Среднее арифметическое ряда наблюдений (результатов наблюдений) рассчиты­вают по формуле

(1.3.1)

где x_i - i-й исправленный результат наблюдения, - среднее арифметическое ис­правленного ряда наблюдений, n - число результатов наблюдений.

Вычисление оценки среднего квадратического отклонения ряда наблюдений.

Среднее квадратическое отклонение ряда наблюдений рассчитывают по формуле

(1.3.2)

Среднее квадратическое отклонение S_x является основной характеристикой размера случайных погрешностей результатов наблюдений.

Вычисление оценки среднего квадратического отклонения результата измерения.

Для расчета среднего квадратического отклонения результата измерения ис­пользуется формула

(1.3.3)

Среднее квадратическое отклонение является основной характеристикой размера случайных погрешностей результата измерений.

Проверка гипотезы о принадлежности результатов наблюдений нормальному распределению.

Чтобы установить, принадлежат (или не принадлежат) результаты наблюдений тому или иному распределению, необходимо сравнить экспериментальную функ­цию распределения с предполагаемой теоретической. Сравнение осуществляется с помощью критериев согласия. В случае проверки принадлежности результатов наблюдений к нормальному распределению предпочтительным, при числе результатов n > 50, является один из критериев: χ² Пирсона или ω² Мизеса-Смирнова.

В работе этой работе используется крите­рий Пирсона. При числе результатов наблюдений 15 < n < 50 производят приближенную проверку их принадлежности к нормальному распределению путем оценки коэф­фициента асимметрии и эксцесса. При n < 15 гипотеза о принадлежности результатов наблюдений к какому-либо распределению не проверяется. Если при этом имеется априорная информация о том, что нет причин, которые могли бы вызвать заметное отклонение распреде­ления результатов от нормального закона, для обработки результатов наблюде­ний используется распределение Стьюдента. Для проверки принадлежности результатов наблюдений к нормальному рас­пределению с помощью критерия согласия Пирсона необходимо сначала постро­ить гистограмму.

Построение гистограммы включает в себя следующие этапы:

1. Исправленные результаты наблюдений располагаются в порядке возраста­ния: x₁, x₂, ..., x_n, где x_i < x_i+1.

2. Вычисляется диапазон изменения значений результатов наблюдений R_n = x_n - x₁.

3. Весь этот диапазон разбивается на r интервалов одинаковой длины (оценить необходимое количество интервалов можно по правилу: r = 1 + 3,32 • lgn с последующим округлением в большую сторону до ближайшего целого не­четного числа). Обычно r лежит в диапазоне от 7 до 15.

4. Определяется ширина интервала: = .

5. Для каждого интервала (j = 1,2,...,r) вычисляются числа h_j - частость попадания результата наблюдений в интервал.

6. Строится гистограмма. Для этого по оси результатов наблюдений в порядке возрастания номеров откладываются интервалы Δ_j, и на каждом интервале строится прямоугольник, высота которого пропорциональна h_j.

По результатам анализа гистограммы высказывается гипотеза о виде закона распределения экспериментальных данных и о численных характеристиках этого закона (для нормального распределения такими характеристиками являются ма­тематическое ожидание и дисперсия). После этого используют критерий согласия для проверки гипотезы.

Критерий согласия Пирсона χ² имеет вид:

χ²= (1.3.4)

где величина характеризует меру отклонения результатов наблюдений от тео­ретически предсказанных, h_j - частость попадания результатов наблюдений в j-й интервал, P_j - теоретические значения вероятности попадания результатов в j-й интервал.

После вычисления значения χ² для заданной доверительной вероятности Р_д и числа степеней свободы v = r - k - 1 (где r - количество разрядов разбиения, k - число параметров, необходимых для определения теоретической функции рас­пределения, равное для нормального закона распределения двум), по таблицам χ²-распределения находят критическое значение критерия согласия χ²_кр. В техни­ческой практике обычно задаются Р_д = 0,95. Значения χ²_кр для этого уровня значи­мости приведены в приложении 5 (табл. П5.2).

Если χ²< χ²_кр принимают гипотезу о том, что результаты наблюдений принад­лежат нормальному распределению, характеризующемуся математическим ожи­данием и дисперсией, оценки которых получены в (1.3.1) и (1.3.2). В противном случае (χ²< χ²_кр) гипотеза отвергается.

Вычисление доверительных границ случайной погрешности результата измерения.

Доверительные границы Δ (без учета знака) случайной погрешности результата измерения находят по формуле

Δ = t , (1.3.6)

где t - коэффициент распределения Стьюдента, который зависит от доверительной вероятности Р_д и числа наблюдений n. Значения величины t при Р_д = 0,95 и 0,99 приведены в приложении 5 (табл. П5.3).

Вычисление границ неисключенной систематической погрешности результата измерения.

Неисключенная систематическая погрешность результата измерения образуется из составляющих, которыми могут быть неисключенные систематические погрешности метода, средств измерения и др. За границы составляющих неисключенной систе­матической погрешности принимают, например, пределы основных и дополнитель­ных погрешностей средств измерений. При суммировании составляющие неисключенной систематической погрешности рассматриваются как случайные величины с равномерными законами распределения. Границы неисключенной систематиче­ской погрешности θ результата измерения рассчитывают по формуле

θ =k (1.3.7)

где - граница i-й неисключенной систематической погрешности, k - коэффици­ент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р_д = 0,95 полага­ют k = 1,1).

Вычисление доверительных границ погрешности результата измерения.

Доверительная граница погрешности результата измерения устанавливается в за­висимости от соотношения .

Если < 0,8, то неисключенными систематическими погрешностями пренебрегают и принимают, что доверительная граница погрешности результата из­мерения Δ = t

Если > 8, то случайной погрешностью пренебрегают и принимают, что доверительная граница погрешности результата измерения Δ = .

< 8, то доверительные границы погрешности результата измерения вычисляются по формуле

Δ = k • S_∑, (1.3.8)

где k - коэффициент, зависящий от соотношения случайной погрешности и неисключенной систематической погрешности, а S_∑ - оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.

Коэффициент рассчитывается по формуле

(1.3.9)

Оценка S_∑ осуществляется по формуле

S_∑= (1.3.10)

Представление результата измерений

Результат измерения записывается в виде ; Р_д, где х - собственно результат измерения. Отметим еще раз (см. работу 1.1), что числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности .

Если данные о виде функции распределения случайной и неисключенного ос­татка систематической составляющих погрешности результата измерения отсут­ствуют, то результаты измерения представляют в виде ; ; n; θ. В случае если границы неисключенной систематической погрешности определены в соответ­ствии с формулой 1.3.7, следует дополнительно указывать, для какой доверитель­ной вероятности Р_д проводились вычисления.