Стандартная обработка результатов прямых измерений с многократными наблюдениями
Цель работы. Ознакомление с методикой выполнения прямых измерений с многократными наблюдениями. Получение навыков стандартной обработки результатов наблюдений, оценивания погрешностей и представления результатов измерений.
Методические указания
В измерительной практике для повышения качества измерений часто обращаются к измерениям с многократными наблюдениями, т.е. к повторению одним и тем же оператором однократных наблюдений в одинаковых условиях с использованием одного и того же средства измерений. В результате соответствующей обработки полученных данных удается уменьшить влияние случайной составляющей погрешности на результат измерений.
Методику обработки рекомендует ГОСТ 8.207-76 «Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений».
При статистической обработке группы 
результатов наблюдений следует выполнять следующие операции.
3.1.1. Исключить из ряда наблюдений грубые погрешности (промахи).
Исключение грубых погрешностей является обязательным, так как они могут сильно исказить итог измерения. Обычно они сразу видны в ряду полученных результатов, но в каждом конкретном случае это необходимо доказать. Существует ряд критериев для оценки промахов.
При числе измерений 
можно применять критерий 
. В этом случае считается, что результат, возникающий с вероятностью 
, малореален и его можно квалифицировать промахом, т.е. сомнительный результат 
отбрасывается, если
. (3.1)
Если 
, целесообразно применять критерий Романовского. При этом вычисляют отношение
, (3.2)
и полученное значение 
сравнивают с теоретическим 
– при выбираемом уровне значимости 
по табл. 3.1.
Таблица 3.1
Значение величин при уровне значимости и числе измерений 
 | Число измерений | ||||||
 |  |  |  |  |  |  | |
| 0,01 | 1,73 | 2,16 | 2,43 | 2,62 | 2,75 | 2,90 | 3,08 |
| 0,02 | 1,72 | 2,13 | 2,37 | 2,54 | 2,66 | 2,80 | 2,96 |
| 0,05 | 1,71 | 2,10 | 2,27 | 2,41 | 2,52 | 2,64 | 2,78 |
| 0,10 | 1,69 | 2,00 | 2,17 | 2,29 | 2,39 | 2,49 | 2,62 |
Обычно выбирают 
, и если 
, то результат отбрасывают.
3.1.2. Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений.
При выполнении данной лабораторной работы этот пункт не выполняется, так как из предлагаемых для обработки результатов однократных измерений они уже исключены.
3.1.3. Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений и принять его за результат измерения.
Среднее арифметическое вычисляется по формуле
. (3.3)
3.1.4. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдения. Для этого используется формула
. (3.4)
3.1.5. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения по формуле
. (3.6)
3.1.6. Проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.
Проверку гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, следует проводить с уровнем значимости 
от 10% до 2%. Конкретные значения уровней значимости должны быть указаны в конкретной методике выполнения измерений и задаются преподавателем.
При числе результатов наблюдений 
для проверки принадлежности их к нормальному распределению по ГОСТ 11.006-74 предпочтительным является один из критериев: 
Пирсона или 
Мизеса – Смирнова.
При числе результатов наблюдений 
для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочтительным является составной критерий, приведенный в ГОСТ 8.207 – 76. Суть его сводится к следующему.
Критерий 1. Вычисляют отношение 
, (3.7)
где 
– смещенная оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле
. (3.8)
Результаты наблюдений группы можно считать распределенными нормально, если
, (3.9)
где
и 
квантили распределения, получаемые из табл. 3.2 по , 
и 
, причем 
– заранее выбранный уровень значимости критерия.
Критерий 2. Можно считать, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, если не более 
разностей 
превзошли значение 
, где 
– оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле
, (3.10)
а 
– верхняя квантиль распределения нормированной функции Лапласа, отвечающая вероятности 
.
Таблица 3.2
Статистика 
 |  |  | ||
| 1% | 5% | 95% | 99% | |
| 0,9137 | 0,8884 | 0,7236 | 0,6829 | |
| 0,9001 | 0,8768 | 0,7304 | 0,6950 | |
| 0,8901 | 0,8686 | 0,7360 | 0,7040 | |
| 0,8826 | 0,8625 | 0,7404 | 0,7110 | |
| 0,8769 | 0,8578 | 0,7440 | 0,7167 | |
| 0,8722 | 0,8540 | 0,7470 | 0,7216 | |
| 0,8682 | 0,8508 | 0,7496 | 0,7256 | |
| 0,8648 | 0,8481 | 0,7518 | 0,7291 |
Значения определяются из табл. 3.3 по выбранному уровню значимости 
и числу результатов наблюдений .
При уровне значимости, отличном от предусмотренных в табл. 3.3, значение находят путем линейной интерполяции
Таблица 3.3
Значение для вычисления
| |  |  | ||
| 1% | 2% | 5% | ||
| 0,98 | 0,98 | 0,96 | ||
| 11-14 | 0,99 | 0,98 | 0,97 | |
| 15-20 | 0,99 | 0,99 | 0,98 | |
| 21-22 | 0,98 | 0,97 | 0,96 | |
| 0,98 | 0,98 | 0,96 | ||
| 24-27 | 0,98 | 0,98 | 0,97 | |
| 28-32 | 0,99 | 0,98 | 0,98 | |
| 33-35 | 0,99 | 0,98 | 0,98 | |
| 36-49 | 0,99 | 0.99 | 0,98 |
В случае, если при проверке нормальности распределения результатов наблюдений группы для критерия 1 выбран уровень значимости , а для критерия 2 – уровень значимости , то результирующий уровень значимости составного критерия
. (3.11)
В случае, если хотя бы один из критериев не соблюдается, то считают, что распределение результатов наблюдений группы не соответствует нормальному.
3.1.7. Вычислить доверительные границы случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения.
Для определения доверительных границ погрешности результата измерения доверительную вероятность принимают равной 0,95.
Доверительные границы случайной погрешности результата измерения в соответствии с ГОСТ 8.207-76 устанавливают для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределению.
Доверительные границы 
(без учета знака) случайной погрешности результата измерения находят по формуле
, (3.12)
где 
- коэффициент Стьюдента, который в зависимости от доверительной вероятности и числа результатов наблюдений находят по табл. 3.4.
Таблица 3.4
Значение коэффициента 
для случайной величины, имеющей
распределение Стьюдента с 
степенями свободы
| |  |  | | | |
| 3,182 | 5,841 | 2,120 | 2,921 | ||
| 2,776 | 4,604 | 2,101 | 2,878 | ||
| 2,571 | 4,032 | 2,086 | 2,845 | ||
| 2,447 | 3,707 | 2,074 | 2,819 | ||
| 2,365 | 3,499 | 2,064 | 2.797 | ||
| 2,306 | 3,355 | 2,056 | 2,779 | ||
| 2,262 | 3,250 | 2,048 | 2,763 | ||
| 2,228 | 3,169 | 2,043 | 2,750 | ||
| 2,179 | 3,055 |  | 1,96 | 2,576 | |
| 2,145 | 2,977 |
3.1.8. Определите границы неисключенной систематической погрешности результата измерения.
Неисключенная систематическая погрешность результата образуется из составляющих, в качестве которых могут быть неисключенные систематические погрешности;
· метода;
· средства измерения;
· вызванные другими причинами.
Границы неисключенной систематической погрешности 
результата измерения вычисляют путем построения композиции неисключенных систематических погрешностей средств измерения, метода и погрешностей, вызванных другими причинами, по формуле
, (3.13)
где 
– граница 
– й неисключенной систематической погрешности; 
–коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью, коэффициент принимают равным 1,1 при доверительной вероятности .
Доверительную вероятность для вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают той же, что и при вычислении доверительных границ случайной погрешности результата измерения.
В данной лабораторной работе имеет место неисключенная систематическая погрешность средства измерения. Границей этой погрешности является предел допускаемой основной погрешности средства измерений, определяемый классом точности средства измерений.
3.1.9. В случае, если 
, то неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата 
. Если 
, то случайной погрешностью по сравнению с систематическими пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата 
.
В случае, если 
, границу погрешности результата измерения находят путем построения композиции распределений случайной и неисключенных систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины.
3.1.10. Границы погрешности результата измерения (без учета знака) допускается вычислять по формуле
,
где 
– коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей; 
– оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.
Оценку суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения вычисляют по формуле
. (3.14)
Коэффициент вычисляют по эмпирической формуле
. (3.15)
3.1.11. Оформите результат измерения по ГОСТ 8.011-72. При симметричной доверительной погрешности результат измерения представляют в форме
. (3.16)
Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности 
. При этом число значащих цифр при указании не должно превышать двух.
3.2. Порядок выполнения лабораторной работы
3.2.1. Получите у преподавателя вариант задания. Вариант задания содержит информацию о средстве измерения (табл. 3.5), с помощью которого выполнялись многократные измерения, и непосредственно результаты измерений (табл. 3.6).
Таблица 3.5
Варианты заданий
| № варианта | Класс точности СИ | Предел измерения | Неисключенная систематическая погрешность |
| 0,2 | См. пп 2.1.3 и 3.1.8 | ||
| 0,1/0,05 | |||
| 0,35/0,02 |
Для заданного средства измерения, зная класс точности и предел измерения, вычислите неисключенный остаток систематической погрешности измерения. С порядком вычисления можно ознакомиться в соответствующем разделе руководства, указанном в табл. 3.5. Результат занесите в отчет.
3.2.2. Исключите из ряда наблюдений грубые погрешности (промахи) (см. п. 3.1.1).
3.2.3. Вычислите среднее арифметическое результатов наблюдений (см. п. 3.1.3).
3.2.4. Вычислите оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдения (см. п. 3.1.4).
Таблица 3.6
Результаты измерений
| № | Вариант | ||||||||
| 8,6136 | 7,6497 | 4,56 | 31,035 | 44,951 | 37,90 | 38,03 | 1,0140 | 1,0286 | |
| 8,6485 | 7,7346 | 4,68 | 30,951 | 44,977 | 37,98 | 38,00 | ,9884 | ,9561 | |
| 8,6390 | 7,5392 | 4,68 | 31,000 | 45,120 | 37,90 | 38,04 | 1,0056 | 1,0205 | |
| 8,6356 | 7,6276 | 4,51 | 31,053 | 44,966 | 37,91 | 38,08 | 1,0023 | ,9969 | |
| 8,5758 | 7,5876 | 4,74 | 30,931 | 44,976 | 38,02 | 37,99 | 1,0004 | ,9896 | |
| 8,5793 | 7,6248 | 4,64 | 30,986 | 45,053 | 38,04 | 37,92 | 1,0152 | 1,0103 | |
| 8,6373 | 7,5589 | 4,55 | 30,961 | 45,048 | 37,97 | 37,97 | ,9986 | 1,0425 | |
| 8,7154 | 7,7418 | 4,59 | 30,984 | 44,944 | 38,02 | 38,04 | ,9953 | ,9579 | |
| 8,6425 | 7,7584 | 4,69 | 30,943 | 45,088 | 38,08 | 37,98 | ,9850 | 1,0421 | |
| 8,6373 | 7,5522 | 4,68 | 31,057 | 45,024 | 38,00 | 37,92 | 1,0033 | 1,0355 | |
| 8,6364 | 7,6473 | 4,43 | 31,068 | 44,967 | 38,04 | 37,98 | ,9769 | 1,0614 | |
| 8,6036 | 7,6820 | 4,74 | 30,939 | 44,994 | 37,93 | 38,01 | ,9841 | 1,0169 | |
| 8,7071 | 7,6521 | 4,56 | 30,998 | 45,057 | 37,95 | 37,94 | 1,0041 | ,9846 | |
| 8,6151 | 7,6825 | 4,64 | 31,020 | 45,052 | 36,95 | 37,97 | 1,0049 | 1,0292 | |
| 8,6321 | 7,6602 | 4,59 | 31,001 | 44,894 | 37,99 | 38,02 | 1,0057 | 1,0687 | |
| 8,5786 | 7,6246 | 4,49 | 31,020 | 45,085 | 38,01 | 37,99 | ,9923 | ,9439 | |
| 8,5890 | 7,7161 | 4,67 | 31,006 | 44,978 | 37,94 | 38,01 | ,9978 | 1,0187 | |
| 8,6905 | 7,6553 | 4,56 | 31,984 | 45,023 | 38,10 | 38,03 | ,9883 | ,9640 | |
| 8,6794 | 7,6548 | 4,53 | 31,041 | 44,996 | 38,07 | 37,88 | ,9873 | ,9761 | |
| 8,6734 | 7,6746 | 4,44 | 31,003 | 44,930 | 37,96 | 37,99 | ,9823 | ,9988 | |
| 8,6506 | 7,5546 | 4,66 | 31,003 | 45,044 | 37,94 | 37,98 | ,9923 | 1,0038 | |
| 8,6148 | 7,4308 | 4,57 | 31,015 | 44,976 | 38,02 | 38,01 | ,9949 | ,9911 | |
| 8,7107 | 7,7135 | 4,53 | 30,940 | 44,955 | 38,01 | 38,01 | 1,0014 | ,9596 | |
| 8,6393 | 7,7624 | 4,53 | 30,863 | 44,901 | 37,95 | 38,04 | 1,0073 | ,9821 | |
| 8,6494 | 7,7354 | 4,44 | 31,040 | 45,038 | 38,05 | 37,92 | 1,0103 | 1,0371 | |
| 8,7045 | 7,6828 | 4,56 | 31,070 | 44,979 | 37,99 | 37,99 | ,9954 | 1,0020 | |
| 7,6500 | 4,60 | 31,053 | 44,958 | 37,97 | 38,01 | ,9884 | 1,0652 | ||
| 0,0800 | 0,08 | 31,020 | 44,957 | 38,07 | 38,02 | 1,0076 | ,9868 |
3.2.5. Вычислите оценку среднего квадратического отклонения результата измерения (см. п. 3.1.5).
3.2.6. Проверьте гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению (см. п. 3.1.6). Уровень значимости критерия задает преподаватель.
3.2.7. Вычислите доверительные границы случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения (см. п. 3.1.7). Доверительная вероятность задается преподавателем.
3.2.8. Сравните случайную погрешность с неисключенным остатком систематической погрешности (см. п. 3.1.9).
3.2.9. Оцените границы погрешности результата измерения (см. п. 3.1.10).
3.2.10. Оформите результат измерения (см. п. 3.1.11).
Форма таблицы, в которую заносятся расчеты, приведена ниже (табл. 3.7):
Таблица 3.7
Результаты обработки многократных измерений
| № | Вычисляемая характеристика | Формула | Вычисленное значение |
| Неисключенный остаток систематической погрешности | |||
| Грубые погрешности | |||
| Среднее арифметическое результатов наблюдений | |||
| Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений | |||
| Среднее квадратическое отклонения результата измерения | |||
| Проверка гипотезы о нормальности | |||
| Доверительные границы случайной погрешности | |||
| Результат сравнения случайной и систематической погрешностей | |||
| Оценка границы погрешности результата измерения | |||
| Оформленный результат измерения |
3.3. Требования к отчету
Отчет должен содержать:
· сведения о цели и порядке выполнения работы;
· сведения об использованных методах измерений;
· сведения о характеристиках использованных средств измерений;
· экспериментальные данные;
· полностью заполненные таблицы по рекомендованной форме, а также примеры расчетов, выполнявшихся при заполнении таблиц;
· анализ полученных данных и вывод об особенностях и качестве проведенных измерений и результатах проделанной работы.
Контрольные вопросы
1. В каких случаях проводят измерения с многократными независимыми наблюдениями? Что принимают за результат таких измерений?
2. Дайте определение следующим понятиям: доверительная вероятность, доверительная граница случайной погрешности измерения, грубая погрешность (промах), неисключенный остаток систематической погрешности измерения.
3. Что такое доверительный интервал?
4. Назовите основные числовые характеристики ряда наблюдений.
5. Чем отличается дисперсия ряда наблюдений от дисперсии результата измерений?
6. Какие критерии согласия вы знаете? Для чего они служат?
7. Как вычислить результирующую погрешность измерений, если на результат одновременно влияют неисключенный остаток систематической погрешности и случайная составляющая погрешности?
8. Всегда ли надо учитывать влияние неисключенного остатка систематической погрешности на результат измерений с многократными наблюдениями?
Лабораторная работа № 3.