Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Наиболее часто встречающиеся системы счисления – это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная и восьмеричная. Как же связаны между собой представления числа в различных системах счисления?

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х₂= А_n·2^n-1 + А_n-1·2^n-2 + А_n-2·2^n-3 +…+А₂·2¹ + А₁·2⁰

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

n(степень)
2n

Пример: Число 11101000₂ перевести в десятичную систему счисления:

11101000₂= 1·2⁷ + 1·2⁶ + 1·2⁵ +0·2⁴ + 1·2³+0·2²+0·2¹+0·2⁰=232₁₀

Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х₈= А_n·8^n-1 + А_n-1·8^n-2 + А_n-2·8^n-3 +…+А₂·8¹ + А₁·8⁰

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

n(степень)
8n

Пример: Число 75013₈ перевести в десятичную систему счисления:

75013₈= 7·8⁴ + 5·8³+ 0·8² +1·8¹ + 3·8⁰=31243₁₀

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Х₁₆= А_n·16^n-1 + А_n-1·16^n-2 + А_n-2·16^n-3 +…+А₂·16¹ + А₁·16⁰

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

n(степень)
16n

Пример: Число FDA1₁₆ перевести в десятичную систему счисления:

FDA1₁₆= 15·16³ + 13·16² + 10·16¹ +1·16⁰=64929₁₀

Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример: Число 22₁₀ перевести в двоичную систему счисления:

22₁₀=10110₂

Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример: Число571₁₀ перевести в восьмеричную систему счисления.

571₁₀=1073₈

Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример: Число7467₁₀ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

7467₁₀=1D2B₁₆

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-восьмеричной таблицей:

2-ная
8-ная

Пример: Число 1001011 перевести в восьмеричную систему счисления: 001 001 011₂=113₈

Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-шестнадцатеричной таблицей:

2-ная
16-ная
2-ная
16-ная			A	B	C	D	E	F

Пример: Число 1011100011 перевести в шестнадцатеричную систему счисления:

0010 1110 0011₂=2E3₁₆

Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример: Число 531₈ перевести в двоичную систему счисления:

531₈=101 011 001₂

Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример: Число ЕЕ8₁₆ перевести в двоичную систему счисления:

ЕЕ8₁₆=111011101000₂

При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1: Число FEA₁₆ перевести в восьмеричную систему счисления:

FEA₁₆=111111101010₂=111 111 101 010₂=7752₈

Пример 2: Число 6635₈ перевести в шестнадцатеричную систему счисления:

6635₈=110110011101₂=1101 1001 1101₂=D9D₁₆

Таблица соответствия натуральных чисел

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
			A
			B
			C
			D
			E
			F

Заключение

Интуитивное представление о числе, так же старо, как и само человечество. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными.

Высшим достижением древней арифметики является открытие позиционного принципа представления чисел. Хорошо известно, что первой из известных систем счисления, основанных на позиционном принципе, была вавилонская 60-ричная система счисления, возникшая в Древнем Вавилоне примерно во 2-м тысячелетии до новой эры.

Мы используем для повседневных вычислений десятичную систему счисления. Хорошо известно, что предшественницей десятичной системы счисления является Индусская десятичная система, возникшая примерно в 8-м столетии нашей эры. Известный французский математик Лаплас (1749-1827) выразил свое восхищение позиционным принципом и десятичной системой в следующих словах:

"Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой".

Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в своем сочинении "Liber abaci" (1202) выступил убежденным сторонником новой нумерации. Он писал:

"Девять индусских знаков - суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски "zephirum", можно написать какое угодно число".

Современные компьютеры основываются на "двоичной" системе счисления.

Нужно признать важность не только самой распространенной системы, которой мы пользуемся ежедневно. Но и каждой по отдельности. Ведь в разных областях используются разные системы счисления, со своими особенностями и характерными свойствами.

Список использованной литературы

1. Шауцукова Л.З. «Основы информатики в вопросах и ответах», Издательский центр «Эльфа», Нальчик, 1994.

2. Гашков С.Б. Системы счисления и их применение. МЦНМО, 2004.

3. Фомин С.В. Системы счисления, М.: Наука, 1987.

4. Информатика. Компьютерная техника. Компьютерные технологии. Пособие под ред. О.И.Пушкаря.- Издательский центр "Академия", Киев, 2001 г.

5. Касаткин В.Н. Введение в кибернетику. Радянська школа. Киев, 1976 г.

6. Г. И. Глейзер. История математики в школе. М.: Просвещение, 1964 г.