Определение передаточных функций звеньев сау

Передаточные функции звеньев САУ определяются на основе параметров устройств САУ, приведенных в табл. 2.1 − 2.3. При этом обязательно должны быть использованы все коэффициенты передач и постоянные времени, представленные в этих таблицах. В качестве примера рассмотрим процедуру получения ПФ для звеньев САУ, структурная схема которой представлена на рис. 4.1.

Для ПФ двигателя W_Д(s) даны коэффициент передачи K_Д, электромеханическая постоянная времени Т_М. В эту ПФ следует ввести и постоянную времени якорной цепи генератора и двигателя Т_Э. В итоге передаточная функция W_Д(s) может быть записана в известном для двигателя постоянного тока виде [1] :

,

где – скорость вращения якоря Д.

В качестве параметров этой и других ПФ возьмем вариант, не приведенный в задании на проектирование. Пусть, например,

K_Д =1 рад/c/в; Т_М =0.3 с; Т_Э =0.08 с.

Однако с учетом того, что выходной координатой Д служит не скорость , а угол поворота θ, который является интегралом от скорости вращения Д, в знаменатель ПФ двигателя следует добавить оператор s или вставить в прямом канале структурной схемы на выходе Д интегральное звено с передаточной функцией 1/s или ещё проще объединить этот интегратор с ПФ редуктора (см. далее).

Для генератора даны только коэффициент передачи K_Г и постоянная времени обмотки возбуждения Т_Г, поэтому ПФ будет иметь вид апериодического звена первого порядка:

,

где K_Г =1.5, Т_Г =0.4 с.

Передаточная функция ЭМУ составляется по заданным коэффициенту передачи K_Э, постоянной времени поперечной цепи Т_К и постоянной времени обмотки управления Т_У. Наличие постоянных времени позволяет представить ПФ W_Э(s) в виде апериодического звена второго порядка:

,

где K_Э =5.5, Т_К =0.5 с, Т_У =0.006 с.

Остальные звенья представляются передаточными функциями пропорционального (безынерционного) вида, т.к. для них заданы только коэффициенты передачи:

W_С (s) = =K_С , W_В (s) = =K_В ,

W_У (s) = =K_У , W_Р (s) = =K_Р.

Как уже было сказано выше, интегратор от Д можно перенести в Р. Тогда передаточная функция последнего будет иметь следующий вид:

.

Положим для дальнейших расчетов K_С = 10 в/рад, K_В = 0.6, K_У = 4, K_Р = 0.008.

В принципе поставленная задача решена – передаточные функции всех звеньев определены. Остается проверить двигатель на колебательность, т.е. на возможность его представления передаточной функцией колебательного звена:

,

где ξ – коэффициент демпфирования (ξ < 1).

Из идентичности обеих форм ПФ электродвигателя можно записать:

Т ² =Т_ЭТ_М , 2ξ Т=Т_М .

Отсюда получим

с ,

.

Таким образом в рассматриваемом случае ПФ двигателя целесообразно представить колебательным звеном. Если в результате вычислений получится ξ >1, то двигатель следует представить в виде ПФ апериодического звена второго порядка:

,

где постоянные времени и определяются из следующих очевидных соотношений:

= , + = Т_М .

Приведенные выше преобразования ПФ двигателя позволяют в дальнейшем при необходимости строить асимптотические логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ) разомкнутой САУ и анализировать влияние частот излома на вид ЛАЧХ и частотный диапазон в целом.

Для упрощения расчетов и исследования характеристик САУ рекомендуется использовать пакет прикладных программ Control System Toolbox, который является приложением системы MatLab и ориентирован на решение задач по теории автоматического управления. Специального вызова Control System Toolbox не требуется, выполнение его функций осуществляется в командной строке MatLab автоматически. Более подробно с данным приложением можно познакомиться в [2].

Для использования функций Control System Toolbox в первую очередь следует ввести в среду MatLab все полученные ПФ. Наиболее удобно это делать в так называемой tf –форме, которая базируется на полиномиальном представлении передаточной функции:

.

Для создания tf-модели данной ПФ используется функция с одноименным идентификатором

H=tf ( [b_m, b_m-1, …, b₀],[a_n, a_n-1,…,a₀] ),

где H – имя созданной ПФ, […] – массивы коэффициентов полиномов числителя и знаменателя ПФ.

Есть другие функции ввода ПФ в MatLab, однако желательно использовать tf-форму, т.к. результат получается в наиболее привычном виде. Покажем далее процесс ввода ПФ всех звеньев рассматриваемой в качестве примера следящей системы.

Создание tf-модели ПФ электродвигателя с передаточной функцией

.

>> Wd=tf([1],[0.024,0.3,1])

При нажатии клавиши Enter результат операции отобразится в следующем виде:

Transfer function:

--------------------------

0.024 s^2 + 0.3 s + 1

Ввод передаточной функции ЭМУ

.

Такую ПФ целесообразно реализовывать как произведение двух tf-моделей:

>> We=tf([5.5],[0.5,1])*tf([1],[0.006,1])

Transfer function:

5.5

-----------------------------

0.003 s^2 + 0.506 s + 1

Ввод ПФ генератора

.

>> Wg=tf([1.5],[0.4,1])

Transfer function:

1.5

-----------

0.4 s + 1

Ввод ПФ редуктора (с внесенным в него интегратором)

>> Wr=tf([0.008],[1,0])

Transfer function:

0.008

------

s

Ввод остальных ПФ пропорциональных звеньев

W_С (s)=K_С =10, W_В (s)=K_В =0.6, W_У (s)=K_У =4,

можно осуществить простым присваиванием значений коэффициентов передачи, а именно:

>> Wc=10 % ввод ПФ сельсинной пары

Wc =

>> Wv=0.6 % ввод ПФ ФЧВ

Wv =

0.6000

>> Wy=4 % ввод ПФ УПТ

Wy =

Теперь с tf-моделями передаточных функций можно осуществлять необходимые действия и функциональные преобразования.