Построение структурной схемы и определение передаточных функций САР

Уравнения звеньев САР сводятся в систему уравнений:

1) – объект регулирования;

2) – чувствительный элемент;

3) – сервопоршень;

4) – дроссельная игла;

5) – топливный насос;

6) – баланс расходов топлива;

7) – расход через клапан;

8) – клапан слива;

9) – топливные форсунки.

Система уравнений содержит 11 переменных ( , , , , , , , , , , ), т.е. за исключением управляющего и возмущающего воздействий число переменных равно числу уравнений. Система дифференциальных уравнений записывается в операторной форме и преобразуется к форме, удобной для построения структурной схемы САР. В результате получаем:

1) ;

2) ;

3)

4)

;

5) ;

6) ;

7) ;

;

8) ;

9) .

Структурная схема САР, соответствующая системе преобразованных операторных уравнений, представлена на рисунке 2. По структурной схеме легко прослеживается взаимодействие звеньев в системе регулирования перепада давления топлива на дроссельном кране.

Рисунок 2–Структурная схема САР

Для определения передаточной функции САР в разомкнутом состоянии в структурной схеме условно размыкается основная обратная связь и вводится входной и выходной параметры разомкнутой системы (рис.3).

Тогда передаточная функция разомкнутой системы будет определяться следующим образом

При этом предполагается: ; .

Рисунок 3 – Структурная схема САР в разомкнутом состоянии

Рис. 4 Упрощенная структурная схема САР в разомкнутом состоянии

;

где ;

;

;

После преобразования можно получить:

,

где ;

;

;

;

.

Передаточная функция замкнутой САР по возмущающему воздействию (при ) определяется по формуле:

Где:

;

Рисунок 5 – Структурная схема САР в замкнутом состоянии

Рисунок 6 – Упрощенная структурная схема САР в замкнутом состоянии

После преобразования можно получить:

,

где ;

;

.

Собственный оператор замкнутой САР имеет вид:

4. Анализ устойчивости САР

Построим D-разбиение в плоскости параметра k₇. Решаем уравнение :

.

Подставляя в данное уравнение значения всех коэффициентов и численные значения параметров САР (см. задание) и решая его относительно

коэффициента k₅, получаем следующее выражение:

Воспользовавшись программой RADIS, определим действительную и мнимую составляющие частотной функции k₅ для ряда значений частот. В результате расчёта и построения получаем кривую D-разбиения для положительных значений частот (рис.7).

Рисунок 7 – D - разбиение в плоскости коэффициента k₅: I – область наибольшей вероятности устойчивой работы; II, III – области неустойчивой

работы САР

Кривая D-разбиения заштриховывается с левой стороны по мере возрастания частоты колебаний. Воспользовавшись правилом подсчёта корней характеристического уравнения для каждой из выделенных областей D- разбиения определяем область I , соответствующую наибольшему числу корней с отрицательной вещественной частью, т.е. более вероятную область устойчивости САР.

Для проверки устойчивости САР в области I зададимся величиной Re k₅ , взятой из этой области: k₅=0,5, и запишем характеристический полином или собственный оператор замкнутой САР с числовыми значениями коэффициентов:

.

Для проверки устойчивости САР по критерию Рауса-Гурвица составим квадратную матрицу Гурвица из коэффициентов a₀…a_n:

при проанализируем знаки диагональных миноров:

;

;

.

Все диагональные миноры положительны, следовательно, САР устойчива и область I D-разбиения является областью устойчивости САР.

Для проверки устойчивости по критерию Найквиста анализируется АФЧХ разомкнутой системы. Передаточная функция разомкнутой САР при принятых значениях коэффициентов имеет вид:

;

Вначале определяется устойчивость системы. Для этого используется собственный оператор разомкнутой САР с числовыми значениями коэффициентов:

Воспользовавшись программой Mathcad, рассчитывается и строится АФЧХ разомкнутой САР. Так как САР содержит интегратор в прямой цепи, то АФЧХ САР берет начало (при ) в вдоль мнимой оси. Из представленного на рис. 8 графика следует, что АФЧХ разомкнутой САР не охватывает точку с координатой (-1;j0), следовательно, замкнутая САР будет устойчива.

Рисунок 8 – Амплитудно-фазочастотная характеристика разомкнутой САР частоты вращения ГТД