Элементы линейной алгебры
Элементы линейной алгебры, векторная алгебра,
Аналитическая геометрия. Комплексные числа
Элементы линейной алгебры
1. 1. Матрица. Основные понятия. Матрицей А размера 
называется множество 
элементов расположенных в виде прямоугольной таблицы из 
строк и 
столбцов, имеющей вид:
.
Если 
, то А называется квадратной матрицей. Квадратные матрицы размера 
и 
называются матрицами второго и третьего порядка, соответственно.
Квадратная матрица, элементы главной диагонали которой единицы, а все остальные элементы нули, называется единичной:
, 
.
Матрица вида 
называется матрицей–столбцом.
Пусть даны две матрицы:
, 
.
1) Суммой (разностью) матриц А и В называется матрица, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц
А и В:
.
2) Умножение матрицы на число. При умножении матрицы А на число 
, на это число умножаются все элементы матрицы:
.
3) Произведение матрицы А на матрицу В обозначается символом АВ и определяется равенством:
.
т. е. элемент матрицы произведения, стоящий в 
-й строке и 
-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов -й строки матрицы А и -го столбца матрицы 
. Например.
.
Необходимо знать, что 
(в общем случае), но в некоторых случаях равенство может иметь место. Например: 
.
1. 2. Определитель. Определителем второго порядка, соответствующим матрице 
называется число, вычисляемое по формуле:
.
Аналогично, определителем третьего порядка называется число, определяющееся равенством:
.
Минором 
элемента 
определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащий данный элемент. Алгебраическим дополнением 
элемента называется произведение его минора на 
, где и 
номера строки и столбца, содержащих данный элемент. Например:
, тогда 
.
Пример 1. Даны матрицы
; 
; 
Найти матрицу 
и вычислить ее определитель.
Решение.
,
,
,
т. е. 
.
.
1. 3. Нахождение обратной матрицы.
Матрица 
называется обратной по отношению к матрице , если произведения 
и 
равны единичной матрице:
.
Пусть , тогда найдется по формуле:
,
где 
— определитель матрицы , а 
– алгебраическое дополнение элемента матрицы 
.
Если 
, обратная матрица не существует (не определяется).
Пример 2. Дана матрица 
. Найти ей обратную.
Решение. Вычисляем определитель матрицы:
.
Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
.
Следовательно,
.
Проверка. Если обратная матрица найдена правильно, то должно выполняться равенство: 
.
.
1. 4. Решение систем линейных уравнений (СЛУ). Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Эту систему можно записать в матричном виде: 
, где
, 
, 
.
1. 4. 1. Метод Крамера для решения СЛУ. Если 
, то система имеет единственное решение и находится по формулам:
, 
, 
,
где — определитель матрицы , а
, 
, 
.
1. 4. 2. Метод Гаусса для решения СЛУ.
Допустим, что 
(если 
, то изменим порядок уравнений, выбрав первым такое, в котором коэффициент при 
не равен нулю).
1 ШАГ. Делим уравнение (1) на 
; умножим полученное уравнение на 
и вычтем его из (2); затем умножим на 
и вычтем из (3). В результате приходим к системе:
2 ШАГ. Делим уравнение (5) на 
, умножаем полученное уравнение на 
и вычитаем его из (6). В результате система преобразуется к так называемому ступенчатому виду:
Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно, начиная с 
.
4. 3. Матричный метод решения СЛУ. Пусть дана система . Домножим обе части данного выражения на слева, т. е. 
, так как , а 
, то придем к уравнению вида 
. Это и будет решением СЛУ.
Пример 3. Решить систему уравнений тремя способами:
Решение.
1) Метод Крамера. Запишем матрицу и столбец свободных членов :
, 
Решение данной системы найдем по формулам:
, 
, 
,
где 
,
,
,
Следовательно,
, 
, 
,
2) Метод Гаусса.
Умножим уравнения (а) на 3 и вычтем полученное уравнение из (б); затем умножим уравнение (а) на 4 и вычтем из уравнения (в), в итоге получим:
Разделим уравнение (д) на (-4); умножим полученное уравнение на (-5) и вычтем его из уравнения (е), получим:
Из последнего уравнения находим 
; далее, из второго
уравнения: 
; из первого: 
.
Итого 
, 
, 
.
3) Матричный метод.
, 
.
Решение данной системы найдем по формуле .
Найдем . Определитель матрицы мы уже знаем 
. Вычислим алгебраические дополнения для элементов определителя матрицы А.
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
.
.
,
значит решением данной системы будет , , .