Тема 1.1. Элементы линейной алгебры
БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ХАНТЫ-МАНСИЙСКОГО АВТОНОМНОГО ОКРУГА – ЮГРЫ
«СОВЕТСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»
«ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКА»
ЧАСТЬ 1
(ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ КУРС)
Учебное пособие для студентов технических специальностей
Г. Советский 2012
Содержание
Стр.
Список использованной и рекомендуемой литературы…………… 8
Раздел 1. Элементы теории множеств, аналитической геометрии, векторной
и линейной алгебры. Вещественные числа………………………….10
Тема 1.1. Элементы линейной алгебры………………………………………….10
1.1.1. Матрицы и определители. Линейные операции над матрицами…...10
1.1.2. Ранг матрицы…………………………………………………………. 15
1.1.3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений…...16
Тема 1.2. Элементы векторной алгебры…………………………………………22
1.2.1. Векторы, операции над векторами. Декартов базис…………………23 1.2.2. Скалярное произведение векторов……………………………………25 1.2.3. Векторное произведение векторов……………………………………26
1.2.4. Смешанное произведение трех векторов……………………………..27
Тема 1.3. Прямая и плоскость…………………………………………………….30
1.3.1. Различные виды уравнения плоскости………………………………..30
1.3.2. Различные виды уравнения прямой в пространстве…………………31
1.3.3. Задачи, относящиеся к плоскости……………………………………..32
1.3.4. Задачи, относящиеся к прямой в пространстве………………………33
1.3.5. Взаимное расположение прямой и плоскости………………………..34
1.3.6. Уравнение прямой линии на плоскости………………………………35
Тема 1.4. Преобразование координат на плоскости. Элементарная теория
линий второго порядка…………………………………………………37
Тема 1.5. Некоторые сведения о линейных векторных пространствах.
Собственные числа и собственные векторы………………………….40
1.5.1. Векторные пространства и их преобразования………………………40
1.5.2. Собственные числа и собственные векторы, матрицы линейного
преобразования (оператора)…………………………………………..44
Тема 1.6. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду
уравнений линии и поверхности второго порядка…………………...46
1.6.1. Уравнения центральных поверхностей второго порядка……………46
1.6.2. Нецентральные поверхности…………………………………………..47
1.6.3. Плоскости……………………………………………………………….47
Тема 1.7. Множества. Вещественные числа……………………………………..50
1.7.1. Алгебраические свойства вещественных чисел……………………...50
1.7.2. Отношения порядка……………………………………………………51
1.7.3. Представление (модель) вещественного числа………………………51
1.7.4. Решение простейших неравенств с модулем…………………………53
1.7.5. Открытые и замкнутые множества……………………………………54
1.7.6. Принципы существования предельной точки (Вейерштрасс)………54
Тема 1.8. Элементы теории пределов. Бесконечные функции…………………55
1.8.1. Определение предела в терминах окрестностей……………………..55
1.8.2. Общие свойства конечного предела…………………………………..55
1.8.3. Бесконечно малые функции и их свойства…………………………...56
1.8.4. Представление функции имеющей конечный предел……………….57
1.8.5. Свойства функций имеющих конечный предел в точке ……………57
1.8.6. Бесконечно большие функции и их свойства………………………...58
1.8.7. Числовые последовательности………………………………………..59
1.8.8. Предел последовательности…………………………………………...60
1.8.9. Критерии существования предела последовательности……………..61
Тема 1.9. Комплексные числа………………………………………………….…61
1.9.1. Понятие комплексного числа………………………………………….62
1.9.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа………………..63
1.9.3. Модуль комплексного числа…………………………………………..63
1.9.4. Сложение и умножение комплексных чисел…………………………64
1.9.5. Вычитание и деление комплексных чисел……………………………65
1.9.6. Тригонометрическая форма комплексного числа……………………66
1.9.7. Свойства модуля и аргумента комплексного числа………………….67
1.9.8. Возведение в степень и извлечение корня……………………………69
1.9.9. Квадратное уравнение с комплексным неизвестным………………..70
Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной………72
Тема 2.1. Понятие о функции одной переменной. Предел и непрерывность
Функции…………………………………………………………………72
2.1.1. Свойства предела функции. Односторонние пределы………………75
2.1.2. «Замечательные» пределы. Применение пределов в экономике……77
Тема 2.2. Производная функции………………………………………………….79
Тема 2.3. Дифференциал функции……………………………………………….81
Тема 2.4. Производные высших порядков………………………………………83
Тема 2.5. Исследование функции. Формула Лагранжа………………………....84
2.5.1. Необходимые и достаточные условия экстремума функции………..85
2.5.2. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции………………...86
2.5.3. Функции полезности…………………………………………………...88
Раздел 3. Функция нескольких переменных…………………………………….89
Тема 3.1. Основные понятия функции нескольких переменных………………89
Тема 3.2. Частные производные………………………………………………….91
Тема 3.3. Дифференциал функции двух переменных…………………………..93
Тема 3.4. Производная по направлению………………………………………....95
Тема 3.5. Экстремум функции двух переменных…………………………….....98
Раздел 4. Интегральное исчисление функции одной переменной……………100
Тема 4.1. Первообразная. Неопределенный интеграл…………………………100
Тема 4.2. Методы интегрирования……………………………………………...102 4.2.1. Замена переменной в неопределенном интеграле…………………..102
4.2.2. Формула интегрирования по частям………………………………...103
4.2.3. Интегрирование рациональной дроби………………………………105
4.2.4. Интегрирование простейших дробей………………………………..106
4.2.5. Интегрирование выражений содержащих тригонометрические
Функции……………………………………………………………….108
4.2.6. Интегрирование иррациональных выражений……………………..109
Тема 4.3. Определенный интеграл……………………………………………...111 4.3.1. Свойства и геометрический смысл определенного интеграла…….111
4.3.2. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула
Ньютона-Лейбница…………………………………………………....114
4.3.3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами……………117
4.3.4. Вычисление площадей плоских фигур………………………………118
4.3.5. Определение длины кривой. Дифференциал кривой………………119
Раздел 5. Дифференциальные уравнения………………………………………122
Тема 5.1. Дифференциальные уравнения первого порядка…………………...122
5.1.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными..123
5.1.2. Линейные дифференциальные уравнения…………………………..125
5.1.3. Динамическая модель устойчивости рынка Вальраса……………...127
5.1.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка с
переменными коэффициентами……………………………………..128
Раздел 6. Ряды и интеграл Фурье………………………………………….……132
Тема 6.1. Числовые ряды……………………………………………………...…132
6.1.1. Условие сходимости положительного числового ряда………….…132
6.1.2. Обобщенные гармонические ряды или ряды Дирихле……………..133
Тема 6.2. Тригонометрический ряд. Ряд Фурье…………………………….….135
6.2.1. Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье……...136
6.2.2. Ряды Фурье для четных и нечетных функций………………………137
6.2.3. Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций…………….138
Тема 6.3. Комплексная форма ряда Фурье. Задача о колебании струны……..139
Тема 6.4. Интеграл Фурье………………………………………………………..142
6.4.1. Интеграл Фурье для четной и нечетной функции…………………..143
6.4.2. Комплексная форма интеграла Фурье……………………………….144
6.4.3. Формулы дискретного преобразования Фурье………………….…..144
Раздел 7. Представление функции интегралом Фурье…………………….…..145
Тема 7.1. Проверка условий представимости……………………………….….145
7.1.1. Представление функции интегралом Фурье………………………...145
7.1.2. Интеграл Фурье в комплексной форме……………………………...146
Тема 7.2. Представление функции полиномом Лежандра…………………….147
7.2.1. Основные сведения…………………………………………………...147
7.2.2. Преобразование функции…………………………………………….147
7.2.3. Вычисление коэффициентов ряда…………………………………...148
Раздел 8. Дискретные преобразования Фурье………………………………....152
Тема 8.1. Прямое преобразование……………………………………………...152
Тема 8.2. Обратное преобразование…………………………………………....154
Раздел 9. Элементы теории вероятностей……………………………………..156
Тема 9.1. Комбинаторные формулы……………………………………………156
Тема 9.2. Случайный эксперимент, элементарные исходы, события.
Диаграммы Венна…………………………………………………….160
Тема 9.3. Вероятностное пространство. Случай конечного или счетного
числа исходов…………………………………………………………164
9.3.1. Классическое определение вероятности……………………………165
9.3.2. Статистическое определение вероятности………………………….166
9.3.3. Непрерывное вероятностное пространство…………………….…...168
9.3.4. Геометрическая вероятность…………………………………………168
9.3.5. Формулы сложения вероятностей…………………………………...169
9.3.6. Условная вероятность. Независимые события. Умножение
вероятностей…………………………………………………………..170
Тема 9.4. Формула полной вероятности…………………………………….….172
9.4.1. Формула Байеса………………………………………………………174
9.4.2. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли…………175
Тема 9.5. Законы распределения случайной величины……………………….178
9.5.1. Биноминальное распределение случайной величины……………...178
9.5.2. Асимптотические формулы Бернулли. Случайная величина, распределенная по закону Пуассона………………………………...181
9.5.3. Локальная и интегральная формулы Лапласа………………………182
Тема 9.6. Дискретные случайные величины…………………………………...184
9.6.1. Зависимость и независимость двух случайных величин…………..185
9.6.2. Математическое ожидание случайной величины…………………..188
9.6.3. Дисперсия случайной величины……………………………………..191
Тема 9.7. Непрерывные случайные величины. Плотность и функция распределения случайной величины………………………………...193
9.7.1. Математическое ожидание случайной величины…………………..198
9.7.2. Дисперсия случайной величины…………………………………….199
9.7.3. Нормальное распределение………………………………………….201
Раздел 10. Элементы математической статистики……………………………...203
Тема 10.1. Задачи математической статистики………………………………….203
10.1.1.Выборочный метод. Генеральная совокупность…………………...204
10.1.2.Вариационный ряд……………………………………………………205
10.1.3.Точечные оценки параметров генеральной совокупности………...206
Тема 10.2. Интервальные оценки………………………………………………...210
10.2.1.Понятие интервальной оценки………………………………………210
10.2.2.Доверительный интервал для математического ожидания
нормального распределения при известной дисперсии……………211
10.2.3.Доверительный интервал для математического ожидания
нормального распределения при неизвестной дисперсии…………212
10.2.4.Доверительный интервал дисперсии нормального распределения.214
Тема 10.3. Задачи статистической проверки гипотез…………………………...215
10.3.1.Основные понятия и статистическая проверка гипотез……………215
10.3.2.Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании
нормального распределения при известной дисперсии……………219
10.3.3.Проверка гипотезы о равенстве дисперсий…………………………221
10.3.4.Проверка статистической значимости выборочного
коэффициента корреляции…………………………………………...222
Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат…………………..223
Список использованной и рекомендуемой литературы:
Основная
1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Том 1,– М.:
Высшая школа, 1988.
2. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Том 2, – М.:
Высшая школа, 1988.
3. Жукова Г.С., Рушайло М.Ф. Математический анализ. Том 1,-М.: РХТУ,
2000.
4. Жукова Г.С., Рушайло М.Ф. Математический анализ в примерах и задачах:
Ч.1. 2-е изд., испр. и доп.-М.:РХТУ,2002.
5. Рушайло М.Ф. Элементы теории вероятностей и математической
статистики: Учебное пособие / Под ред.
Г.С.Жуковой / М.: РХТУ, 2002.
6. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов.
Учебное пособие (Линейная алгебра,
Аналитическая геометрия, Дифференци–
альное исчисление, Функции многих
переменных) – М.: Новое знание, 2002.
7. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов.
Учебное пособие (Интегральное исчис–
ление, Дифференциальные уравнения,
Ряды) – М.: Новое знание, 2003.– 90 с.
8. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов.
Учебное пособие (Теория вероятностей
и математическая статистика). – М.:
Новое знание, 2003.
9. Венцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей.
-М.: Радио и связь, 1983.
Дополнительная
1. Крамер Г. Математические методы статистики.–
М.: Мир, 1975.
2. Уилкс С. Математическая статистика. – М.:
Наука, 1967.
3. Кендалл М., Дж.Стюарт А. Теория распределений. – М.: Наука,
1966.
4. Карманов В.Г. Математическое программирование.
– М.: Наука, 1975.
5. Башина О.Е., Спирин А.А. и др. Общая теория статистики. – М.:
Финансы и статистика, 2003.
6. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры. - М.:Наука, 1985.
7.Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И. А. Сборник задач по
аналитической геометрии и линейной
алгебре. - М.:Наука, 1987 .
8.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического
анализа. М.: Наука, 1972.
9.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. - М. : Наука,, 1980.
10.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные
интегралы. Ряды. Функции комплексного
переменного.-М.:Наука,1981
Раздел 1. Элементы теории множеств, векторной алгебры и аналитической геометрии. Вещественные числа
Тема 1.1. Элементы линейной алгебры