Оценка случайной погрешности. Доверительный интервал
Методика оценки случайной погрешности основана на положениях теории вероятностей и математической статистики. Оценить случайную ошибку можно только в том случае, когда проведено неоднократное измерение одной и той же величины.
Пусть в результате проделанных измерений получено п значений величины х: х1 , х2 , …, хп . Обозначим через среднеарифметическое значение
. (3)
В теории вероятностей доказано, что при увеличении числа измерений п среднеарифметическое значение измеряемой величины приближается к истинному:
При небольшом числе измерений (п £ 10) среднее значение может существенно отличаться от истинного. Для того, чтобы знать, насколько точно значение характеризует измеряемую величину, необходимо определить так называемый доверительный интервал полученного результата.
Поскольку абсолютно точное измерение невозможно, то вероятность правильности утверждения «величина х имеет значение, в точности равное » равна нулю. Вероятность же утверждения «величина х имеет какое-либо значение» равна единице (100%). Таким образом, вероятность правильности любого промежуточного утверждения лежит в пределах от 0 до 1. Цель измерения – найти такой интервал, в котором с наперед заданной вероятностью a (0 < a < 1) находится истинное значение измеряемой величины. Этот интервал называется доверительным интервалом, а неразрывно связанная с ним величина a – доверительной вероятностью (или коэффициентом надежности). За середину интервала принимается среднее значение, рассчитанное по формуле (3). Половина ширины доверительного интервала представляет собой случайную погрешность Ds x (рис. 1).
Рис.1
Очевидно, что ширина доверительного интервала (а следовательно, и ошибка Ds x) зависит от того, насколько сильно отличаются отдельные измерения величины хi от среднего значения . «Разброс» результатов измерений относительно среднего характеризуется среднеквадратичной ошибкой s , которую находят по формуле
, (4)
где .
Ширина искомого доверительного интервала прямо пропорциональна среднеквадратичной ошибке:
. (5)
Коэффициент пропорциональности tn,a называется коэффициентом Стьюдента; он зависит от числа опытов п и доверительной вероятности a.
На рис. 1, а, б наглядно показано, что при прочих равных условиях для увеличения вероятности попадания истинного значения в доверительный интервал необходимо увеличить ширину последнего (вероятность «накрывания» значения Х более широким интервалом выше). Следовательно, величина tn,a должна быть тем больше, чем выше доверительная вероятность a .
С увеличением количества опытов среднее значение приближается к истинному; поэтому при той же вероятности a доверительный интервал можно взять более узким (см. рис. 1, а,в). Таким образом, с ростом п коэффициент Сьюдента должен уменьшаться. Таблица значений коэффи-циента Стьюдента в зависимости от п и a дана в приложениях к настоящему пособию.
Следует отметить, что доверительная вероятность никак не связана с точностью результата измерений. Величиной a задаются заранее, исходя из требований к их надежности. В большинстве технических экспериментов и в лабораторном практикуме значение a принимается равным 0,95.
Расчет случайной погрешности измерения величины х проводится в следующем порядке:
1) вычисляется сумма измеренных значений, а затем – среднее значение величины по формуле (3);
2) для каждого i-го опыта рассчитываются разность между измеренным и средним значениями , а также квадрат этой разности (отклонения) (D хi)2 ;
3) находится сумма квадратов отклонений, а затем – средне-квадратичная ошибка s по формуле (4);
4) по заданной доверительной вероятности a и числу проведенных опытов п из таблицы на с. 149 приложений выбирается соответствующее значение коэффициента Стьюдента tn,a и определяется случайная погрешность Ds x по формуле (5).
Для удобства расчетов и проверки промежуточных результатов данные заносятся в таблицу, три последних столбца которой заполняются по образцу табл.1.
Таблица 1
| Номер опыта | … | х | D х | (D х)2 |
| … | ||||
| … | ||||
| … | … | |||
| п | … | |||
| S = | S = |
В каждом конкретном случае величина х имеет определенный физический смысл и соответствующие единицы измерения. Это может быть, например, ускорение свободного падения g (м/с2), коэффициент вязкости жидкости h (Па×с) и т.д. Пропущенные столбцы табл. 1 могут содержать промежуточные измеряемые величины, необходимые для расчета соответствующих значений х.
Пример 1. Для определения ускорения а движения тела измерялось время t прохождения им пути S без начальной скорости. Используя известное соотношение , получим расчетную формулу
. (6)
Результаты измерений пути S и времени t приведены во втором и третьем столбцах табл. 2. Проведя вычисления по формуле (6), заполним
четвертый столбец значениями ускорения ai и найдем их сумму, которую запишем под этим столбцом в ячейку « S = ». Затем рассчитаем среднее значение по формуле (3)
.
Таблица 2
| Номер опыта | S, м | t, c | а, м/с2 | Dа, м/с2 | (Dа)2, (м/с2)2 |
| 2,20 | 2,07 | 0,04 | 0,0016 | ||
| 2,68 | 1,95 | -0,08 | 0,0064 | ||
| 2,91 | 2,13 | 0,10 | 0,0100 | ||
| 3,35 | 1,96 | -0,07 | 0,0049 | ||
| S = | 8,11 | S = | 0,0229 |
Вычитая из каждого значения ai среднее, найдем разности D ai и занесем их в пятый столбец таблицы. Возводя эти разности в квадрат, заполним последний столбец. Затем рассчитаем сумму квадратов отклонений и запишем ее во вторую ячейку « S = ». По формуле (4) определим среднеквадратичную погрешность:
.
Задавшись величиной доверительной вероятности a = 0,95, для числа опытов п = 4 из таблицы в приложениях (с. 149) выбираем значение коэффициента Стьюдента tn,a = 3,18; с помощью формулы (5) оценим случайную погрешность измерения ускорения
Ds а = 3,18×0,0437 » 0,139 (м/с2) .