III. Примерные задания различных олимпиад
Права участников олимпиады
4.1. Организаторы олимпиады и учителя-предметники могут быть поощрены руководством общеобразовательного учреждения.
4.2. Обучающиеся, пожелавшие принять участие в 1-м этапе олимпиады, но по уважительной причине (болезни и т. д.) не сумевшие участвовать, могут получить специальное индивидуальное задание.
4.3. Каждый участник школьной олимпиады может ознакомиться со своей работой после объявления результатов и получить все необходимые пояснения от учителя- предметника во время последующих кружковых занятий, или задания олимпиады с полным ответом помещаются в информационном бюллетене.
Ответственность участников олимпиады
5.1. Члены оргкомитета олимпиады и учителя-предметники несут ответственность за неподготовку текстов олимпиады, срыв сроков, за сохранение конфиденциальности текстов олимпиадных заданий.
5.2. Участники олимпиады во время практической работы должны беспрекословно выполнять все требования членов жюри и оргкомитета, не пользоваться подсказками, не мешать остальным участникам в выполнении практических заданий.
5.3. Приказом по общеобразовательному учреждению подводятся итоги 1-го этапа олимпиады и определяется состав участников 2-го этапа предметной олимпиады по каждому классу.
Делопроизводство
6.1. Отчет о проведении олимпиады составляется ответственными лицами и передается заместителю по учебно- воспитательной работе (директору учебного заведения).
Задания олимпиады.
1.Найдите все значения m, при которых оба корня квадратного уравнения 
отрицательны.
(7 баллов)
2.Из двух городов, Нижневартовска и Ханты-Мансийска, расстояние между которыми 330,66 верст, в один и тот же момент выезжают два автомобиля и мчатся навстречу друг другу, один со скоростью 50,7 верст в час, другой – 49,5 верст в час. С автомобилем, выехавшим из Ханты-Мансийска, в момент его отправления вылетает любопытная северная муха и летит тоже навстречу нижневартовскому автомобилю со скоростью 100 верст в час. Встретив автомобиль ударом о лобовое стекло, глупая северная муха тотчас поворачивает назад и летит навстречу первому. Повстречав того, она (все с той же скоростью) летит обратно, пока не встретит снова второй автомобиль. Так неугомонная северная муха летает от одного автомобиля к другому до тех пор, пока они не встретятся. Тогда изможденная северная муха решает отдохнуть и влетает в салон одного из автомобилей.
Сколько верст успела пролететь странная северная муха до момента своей полной усталости?
Примечание, не влияющее на ход решения и ответ: 1 верста ≈ 1 км 67 м.
(9 баллов)
3.Постройте график функции 
.
(8 баллов)
4.Дан квадрат, сторона которого равна а. Вычислите площадь заштрихованной фигуры, образованной дугами окружностей радиуса а с центрами в вершинах квадрата.
(8 баллов)
5.На сторонах АВ и ВС параллелограмма АВСД вне его построены равносторонние треугольники АВМ и ВСN. Докажите, что треугольник ДМN равносторонний.
(5 баллов)
6.Сколько цифр содержит число 
?
(5 баллов)
7.Какое наибольшее число белых и черных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на любой горизонтали и любой вертикали черных фишек было ровно в два раза больше чем белых
(8 баллов).
8.Середина одной из сторон треугольника и основания высот, опущенных на другие стороны, образуют равносторонний треугольник. Верно ли, что исходный треугольник тоже равносторонний
(7 баллов)
9.В таблицу 29´29 вписаны числа от 1, 2, 3, …, 29 каждое по 29 раз. Оказалось, что сумма чисел над главной диагональю в три раза больше, чем сумма чисел под главной диагональю. Найдите число, вписанное в центральную клетку таблицы
(13 баллов).
10.Все числа следующего ряда : 0,4,18,48, ?, 180 получены по некоторой формуле. Определите эту формулу и неизвестное число
(13 баллов).
1. (7 баллов)
Решение.
Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были отрицательными, необходимо и достаточно 
1) 
. По условию 
, следовательно 
, 
.
2)
Значит, 
.
Ответ: при .
Баллов)
Решение.
3. (9 баллов)
Решение.
Каждый час автомобили приближаются друг к другу на расстояние 50,7+49,5=100,2 верст. Следовательно, их встреча произойдет через 330,66/100,2=3,3 часа. Так как муха вылетела одновременно с автомобилями и летала до их встречи, она летала 3,3 часа, пролетая каждый час 100 верст. Всего она пролетела 100×3,3=330 верст.
Ответ: 330 верст.
5. Построить. Стороны треугольника ДМN найти по теореме косинусов. Эти стороны равны.
6. 
.
Ответ: 13 цифр.