Теорема сложения скоростей в

релятивистской механике

где u и u’ – скорости в двух инерциаль-

ных системах координат,

движущихся относительно

друг друга со скоростью v,

совпадающей по направле-

нию с u (знак - ) или противо-

положно ей направленной

(знак +).

Количество вещества

где N – число молекул,

N_A – постоянная Авогадро,

M – молярная масса,

m – масса вещества.

Уравнение Клапейрона-Менделеева

где p – давление газа,

V – его объем,

R – молярная газовая постоянная,

T – термодинамическая температура.

Уравнение молекулярно-кинетичес-

кой теории газов

где n – концентрация молекул,

‹ε_пост› - средняя кинетическая энер-

гия поступательного движе-

ния молекулы,

m₀ – масса молекулы,

‹v_кв› - средняя квадратичная скорость.

Средняя энергия молекулы

где i – число степеней свободы,

k – постоянная Больцмана.

Внутренняя энергия идеального газа

Скорости молекул:

средняя квадратичная

средняя арифметическая

наиболее вероятная

Средняя длина свободного пробега

молекулы

где d – эффективный диаметр молекулы.

Среднее число столкновений моле-

кулы в единицу времени

Распределение молекул в потенциаль-

ном поле сил

где П – потенциальная энергия молекулы

Барометрическая формула

Уравнение диффузии

где D – коэффициент диффузии;

ρ – плотность;

dS – элементарная площадка,

перпендикулярная оси Ох.

Уравнение теплопроводности æ

где æ – теплопроводность.

Сила внутреннего трения

где η – динамическая вязкость.

Коэффициент диффузии

Вязкость (динамическая)

Теплопроводностьæ

где с_v – удельная изохорная теплоем-

кость.

Молярная теплоемкость идеального

Газа

изохорная ;

изобарная .

Первое начало термодинамики

Работа расширения газа при процессе

изобарном

изотермическом

адиабатном

где γ = С_p/C_v.

Уравнение Пуассона

Коэффициент полезного действия

цикла Карно

где Q и T – количество теплоты, полу-

ченное от нагревателя и его

температура;

Q₀ и T₀ – количество теплоты пере-

данное холодильнику и его

температура.

Изменение энтропии при переходе из

состояния 1 в состояние 2

Примеры решения задач

1. Движение тела массой 1 кг задано уравнением s=6t²+3t+2.Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу, действующую на тело в конце второй секунды.

Решение. Мгновенную скорость находим как производную от пути по времени:

Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени:

Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: F=ma, где а, согласно условию задачи, - ускорение в конце второй секунды. Тогда

Ответ: v = 18t² + 3; а = 36t; F = 72Н.

2. Стержень длиной 1 м движется мимо наблюдателя со скоростью 0,8 с. Какой покажется наблюдателю его длина?

Дано: l₀ = 1 м, v = 0,8 с.

Найти: l.

Решение. Зависимость длины тела от скорости в релятивистской механике выражается формулой

(1)

где l₀ – длина покоящегося стержня; v – скорость его движения; с – скорость света в вакууме. Подставляя в формулу (1) числовые значения, имеем

Ответ: l = 0,6 м.

3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями 1)v = 0,5c и u = 0,75c; 2) v = c и u = 0,75c.Найти их относительную скорость в первом и втором случаях.

Дано: 1) v = 0,5c, u = 0,75c; 2) v = c, u = 0,75c.

Найти: u₁’; u₂’.

Решение.Согласно теореме сложения скоростей в теории относительности,

где v, u – скорости соответственно первой и второй частиц; u’ – их относительная

скорость; с – скорость света в вакууме. Для первого и второго случаев находим:

Это означает, что, во-первых, ни в какой инерциальной системе отсчета скорость процесса не может превзойти скорость света, и, во-вторых, скорость распространения света в вакууме абсолютна.

Ответ: u₁’ = 0,91c, u₂’ = c.

4. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массой 0,5 и 1 кг. Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол α = 60⁰, и отпустили. На какую высоту поднимут оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Дано: m₁ = 0,5 кг, m₂ = 1 кг, α = 60⁰, l = 0,8 м.

Найти: h₁; ΔЕ_g.

Решение. Так как удар шаров неупругий, то после удара шары будут двигаться с общей скоростью v. Закон сохранения количества движения при этом ударе имеет вид

(1)

Здесь v₁ и v₂ – скорости шаров до удара. Скорость большего шара до удара равна нулю (v₂ = 0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол α (см. рис. 1) ему сообщается потенциальная энергия, которая затем переходит в кинетическую: m₁gh₁ = m₁v₁²/2. Таким образом, h₁ = l(1 – cos α) = 2l sin²(α/2), поэтому

(2)

Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:

(3)

Кинетическая энергия, которой обладают шары после удара, переходит в потенциальную:

(4)

где h – высота поднятия шаров после столкновения. Из формулы (4) находим h = v²/(2g), или с учетом (3),

h = 2(0,5кг)² · 0,8 м · 0,25/(0,5 кг + 1 кг) = 0,044 м.

При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется разностью кинетических энергий до и после удара:

Используя уравнения (2) и (3), получаем

ΔЕ_g = 2 · 9,81 м/с² · 0,8 м · 0,5 кг (1 – 0,5 кг/1,5 кг) · 0,25 = 1,3 Дж.

Ответ: h = 0,044 м, ΔЕ_g = 1,3 Дж.

5. Молот массой 70 кг падает с высоты 5 м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Систему молот – изделие – наковальня считать замкнутой.

Дано: m₁ = 70 кг, h = 5 м, m₂ = 1330 кг.

Найти: Е_g.

Решение. По условию задачи, система молот – изделие – наковальня считается замкнутой, а удар неупругий. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара.

Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т.е. незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии деформации изделия имеем

(1)

где v – скорость молота в конце падения с высоты h; v’ – общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h определяется без учета сопротивления воздуха и трения по формуле

(2)

Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения количества движения

(3)

Для рассматриваемой системы закон сохранения количества движения имеет вид m₁v = (m₁ + m₂)v, откуда

(4)

Подставив в формулу (1) выражения (2) и (4), получим

Вычислим на калькуляторе выражение 70 · 9,8 · 5 по программе

70 × 9,8 × 5 × 1330 = х→П 1330 + 70 = F х↔П = 3258,5.

Ответ: E_g = 3258 Дж.

6. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением s = 2t² + 4t + 1. Определить работу силы за 10 с с начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.

Дано: m = 1 кг, s = 2t² + 4t + 1.

Найти: A, T = f (t).

Решение. Работа, совершаемая силой, выражается через криволинейный интеграл

(1)

Сила, действующая на тело, по второму закону Ньютона равна

или (2)

Мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени. В соответствии с этим находим

Тогда

(5)

Из выражения (3) определим ds:

(6)

Подставив (5) и (6) в уравнение (1), получим

По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10 с с начала ее действия:

Кинетическая энергия определяется по формуле

(7)

Подставляя (3) в (7), имеем

Ответ: А = 960 Дж, Т = m (8t² + 16t + 8).

7. Протон движется со скоростью 0,7 с (с – скорость света). Найти количество движения и кинетическую энергию протона.

Дано: v = 0,7 с.

Найти: р, Т.

Решение. Количество движения протона определяется по формуле

р = m · v. (1)

Так как скорость протона сравнима со скоростью света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, воспользовавшись релятивистским выражением для массы:

(2)

где m – масса движущегося протона; m₀ = 1,67 · 10^-27 кг – масса покоя протона; v – скорость движения протона; с = 3 · 10⁸ м/с – скорость света в вакууме; v/c = β – скорость протона, выраженная в долях скорости света.

Подставляя уравнение (2) в (1) и учитывая, что β = v/c, получаем

В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией и Е и энергией покоя Е₀ этой частицы:

(3)

где

Вычислим энергию покоя протона:

Е₀ = 1,67 · 10^-27 кг (3 · 10⁸ м/с)² = 1,5 · 10^-10 Дж.

Тогда (см. формулу (3))

Ответ: р = 4,91 · 10^-19 кг · м/с, Т = 0,6 · 10^-10 Дж.

8.Тонкий стержень массой 300 г и длиной 50 см вращается с угловой скоростью 10 с^-1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти угловую скорость, если в процессе вращения в той же плоскости стержень переместится так, что ось вращения пройдет через конец стержня.

Дано: m = 300 г = 0,3 кг, l = 50 см = 0,5 м, ω₁ = 10 с^-1.

Найти: ω₂.

Решение. Используем закон сохранения момента количества движения

(1)

где J_i – момент инерции стержня относительно оси вращения.

Для изолированной системы тел векторная сумма моментов количества движения остается постоянной. В данной задаче вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменится. В соответствии с (1) запишем

. (2)

Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен

(3)

По теореме Штейнера,

где J – момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; J₀ - момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс;

d – расстояние от центра масс до выбранной оси вращения.

Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:

(4)

Подставляя, формулы (3) и (4) в (2), имеем:

откуда

Ответ: ω₂ = 2,5 с^-1.

9. Маховик массой 4 кг вращается с частотой 720 мин^-1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.

Дано: ω = 0, m = 4 кг, n = 720 мин^-1 = 12 с^-1; Δt = 30 с, R = 0,4 м.

Найти: M, N.

Решение. Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения:

(1)

где J – момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; Δω – изменение угловой скорости за промежуток времени Δt.

По условию, Δω = - ω₀, где ω₀ – начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость ω = 0. Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика; тогда ω₀ = 2πn и Δω = 2πn. Момент инерции маховика J = mR², где m – масса маховика; R – его радиус. Формула (1) принимает вид

откуда

Угол поворота (т.е. угловой путь φ) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:

Так как φ = 2πN, ω₀ = 2πn, то число полных оборотов

Ответ: М = 1,16 Н∙м, N = 180.

10. В сосуде объемом 2 м³ находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27 ^оС. Определить давление и молярную массу смеси газов.

Дано: V = 2 м³, m₁ = 4 кг, М₁ = 4 ∙ 10^-3 кг/моль, m₂ = 2 кг, М₂ = 2 ∙ 10^-3 кг/моль, Т = 300 К.

Найти: Р; М.

Решение. Воспользуемся уравнением Клапейрона – Менделеева, применив его к гелию и водороду:

p₁V = m₁RT/M₁; (1)

p₂V = m₂RT/M₂, (2)

где р₁ – парциальное давление гелия; m₁ – масса гелия; M₁ – его молярная масса;

V – объем сосуда; Т – температура газа; R = 8,31 Дж/(моль ∙ К) – молярная газовая постоянная; р₂ – парциальное давление водорода; m₂ – масса водорода; М₂ – его молярная масса. Под парциальным давлением р₁ и р₂ понимается то давление, которое производил бы газ, если бы он только один находился в сосуде. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:

р = р₁ + р₂. (3)

Из уравнения (1) и (2) выразим р₁ и р₂ и подставим в уравнение (3). Имеем

(4)

Молярную массу смеси газов найдем по формуле

(5)

где ν₁ и ν₂ – число молей гелия и водорода соответственно.

Число молей газов определим по формулам

(6)

(7)

Подставляя (6) и (7) в (5), найдем

(8)

Подставляя числовые значения в формулы (4) и (8), получаем

Вычислим выражение по программе

4 ÷ 4 Вп 3 - = х→П 2 ÷ 2 Вп 3 - = + П→х = х→П 8,31 × 300 ÷ 2 = × П→х =

Показание индикатора 2493000.

Таким образом, р = 2493 кПа.

Ответ: р = 2493 кПа, М = 3 ∙ 10^-3 кг/моль.

11. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К?

Дано: m = 2 кг, Т = 400 К, М = 2 ∙ 10^-3 кг/моль.

Найти: ‹ε_пост›; ‹ε_вр›.

Решение. Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода – двухатомная, связь между атомами считается жесткой. Тогда число степеней свободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия ‹ε_i› = kT/2, где k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура. Поступательному движению приписывается три (i = 3), а вращательному две (i = 2) степени свободы. Энергия одной молекулы

‹ε_пост› = ‹ε_вр› =

Число молекул, содержащихся в массе газа,

где ν – число молей; N_A – постоянная Авогадро. Тогда средняя кинетическая

энергия поступательного движения молекул водорода

‹ε_пост› = (1)

где R = k ∙ N_A – молярная газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул водорода

‹ε_вр› = (2)

Подставляя числовые значения в формулы (1) и (2), имеем

‹ε_пост› =

‹ε_вр› =

Ответ: ‹ε_пост› = 4986 кДж, ‹ε_вр› = 2324 кДж.

12.Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 27 ^оС и давлении 100 кПа.

Дано: V = 2 л = 2 ∙ 10^-3 м³, М = 32 ∙ 10^-3 кг/моль, Т = 300 К, р = 100 кПа = = 10⁵ Па, d = 2,9 ∙ 10^-10 м.

Найти: ‹λ›; Z.

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода вычисляется по формуле

‹λ› = , (1)

где d – эффективный диаметр молекулы кислорода; n – число молекул в единице объема, которое можно определить из уравнения

(2)

где k – постоянная Больцмана. Подставляя (2) в (1), имеем

‹λ› = (3)

Число соударений Z, происходящих между всеми молекулами за 1 с, равно

(4)

где N – число молекул кислорода в сосуде объемом 2 ∙ 10^-3 м³; ‹Z› - среднее число соударений одной молекулы за 1 с. Число молекул в сосуде

N = n ∙ V. (5)

Среднее число соударений молекулы за 1 с равно

(6)

где ‹ν› - средняя арифметическая скорость молекулы

(7)

Подставляя в (4) выражения (5), (6) и (7), находим

Подставляя числовые значения, получим

Ответ: Z = 9 ∙ 10²⁸ с^-1, ‹λ› = 3,56 ∙ 10^-8 м.

13. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего трения азота, находящегося при температуре Т = 300 К и давлении 10⁵ Па.

Дано: ρ₀ = 1,25 кг/м³, М = 28 ∙ 10^-3 кг/моль, Т = 300 К, р = 10⁵ Па,

d = 3,1 ∙ 10^-10 м.

Найти: D; η.

Решение. Коэффициент диффузии определяется по формуле

, (1)

где ‹ν› - средняя арифметическая скорость молекул, равная

‹ν› = (2)

‹λ› - средняя длина свободного пробега молекул. Для нахождения ‹λ› воспользуемся формулой из решения примера 12:

‹λ› = (3)

Подставляя (2) и (3) в выражение (1), имеем

(4)

Коэффициент внутреннего трения

(5)

где ρ – плотность газа при температуре 300 К и давлении 10⁵ Па. Для нахождения ρ воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его для двух состояний азота – при нормальных условиях Т₀ = 273 К, р = 1,01 ∙ 10⁵ Па и в условиях задачи:

p₀V₀ = (m/M)RT₀; pV = (m/M)RT. (6)

Учитывая, что ρ₀­ = m/V₀, ρ = m/V, имеем

ρ = ρ₀рТ₀/(р₀Т). (7)

Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен через коэффициент диффузии (см. формулы (1) и (5)):

η = D ∙ ρ = Dρ₀pT₀/(p₀T). (8)

Подставляя числовые значения в (4) и (8), получим

Ответ: D = 4,7 ∙ 10^-5 м²/с, η = 5,23 ∙ 10^-5 кг/(м ∙ с).

14. Кислород массой 160 г нагревают при постоянном давлении от 320 до 340 К. Определить количество теплоты, поглощенное газом, изменение внутренней энергии и работу расширения газа.

Дано: m = 160 г = 16 ∙ 10^-2 кг, Т₁ = 320 К, Т₂ = 340 К.

Найти: Q; ΔU;A.

Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении,

(1)

Здесь с_р и С_р = Мс_р – удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном давлении; М = 32 ∙ 10^-3 кг/моль – молярная масса кислорода. Для всех двухатомных газов

С_р = 7/2 ∙ R; С_р = 3,5 ∙ 8,31 Дж/(моль ∙ К) = 29 Дж/(моль ∙ К).

Изменение внутренней энергии газа находим по формуле

ΔU = (m/M)C_V (T₂ – T₁), (2)

где C_V – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Для всех двухатомных газов

C_V = 5/2R; C_V = 2,5∙ 8,31 Дж/(моль ∙ К) = 20,8 Дж/(моль ∙ К).

Работа расширения газа при изобарном процессе А = р ∙ ΔV, где

ΔV = V₂ – V₁ – изменение объема газа, которое можно найти из уравнения Клапейрона – Менделеева. При изобарном процессе

pV₁ = (m/M)RT₁; (3)

pV₂ = (m/M)RT₂. (4)

Почленным вычитанием выражением (4) из (3) находим

р(V₂ – V₁) = (m/M)R(T₂ – T₁),

следовательно

А = (m/M)R(T₂ – T₁). (5)

Подставляя числовые значения в формулы (1), (2) и (5), получаем:

Ответ: Q = 2900 Дж; ΔU = 2080Дж; А = 840 Дж.

15. Объем аргона, находящегося под давлением 80 кПа, увеличился от 1 до 2 л. На сколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение производилось: а) изобарно; б) адиабатно.

Дано: V₁ = 10 м³; V₂ = 2 ∙ 10 м³; р = 0,8 ∙ 10⁵ Па, М = 40 ∙ 10^-3 кг/моль,

i = 3.

Найти: ΔU.

Решение. Применим первый закон термодинамики. Согласно этому закону, количество теплоты Q, переданное системе, расходуется на увеличение внутренней энергииΔU и на внешнюю механическую работу А:

Q = ΔU + А. (1)

Величину ΔU можно определить, зная массу газа m, удельную теплоемкость при постоянном объеме c_V и изменение температуры ΔТ:

ΔU = т ∙ c_V ∙ ΔТ. (2)

Однако удобнее изменение внутренней энергии ΔU определять через молярную теплоемкость С_V, которая может быть выражена через число степеней свободы:

(3)

Подставляя величину c_V из формулы (3) в (2), получаем

. (4)

Изменение внутренней энергии зависит от характера процесса, при котором идет расширение газа. При изобарном расширении газа, согласно первому закону термодинамики, часть количества теплоты идет на изменение внутренней энергии ΔU, которая выражается формулой (4). Найти ΔU для аргона по формуле (4) нельзя, так как масса газа и температура в условиях задачи не даны. Поэтому необходимо провести преобразование формулы (4).

Запишем уравнение Клапейрона – Менделеева для начального и конечного состояний газа:

или

(5)

Подставив (5) в формулу (4), получим

(6)

Это уравнение является расчетным для определения ΔU при изобарном расширении.

При адиабатном расширении газа теплообмена с внешней средой не происходит, поэтому Q = 0. Уравнение (1) запишется в виде

ΔU + А = 0. (7)

Это соотношение устанавливает, что работа расширения газа может быть произведена только за счет уменьшения внутренней энергии газа (знак минус пред ΔU):

А = - ΔU. (8)

Формула работы для адиабатного процесса имеет вид

(9)

где γ – показатель степени адиабаты, равный отношению теплоемкостей: Для аргона – одноатомного газа (i = 3) – имеем γ = 1,67.

Находим изменение внутренней энергии при адиабатном процессе для аргона, учитывая, формулы (8) и (9):

(10)

Для определения работы расширения аргона формулу (10) следует преобразовать, учитывая при этом параметры, данные в условии задачи. Применив уравнение Клапейрона – Менделеева для данного случая p₁V₁ = (m/M)RT₁, получим выражение для подсчета изменения внутренней энергии:

(11)

Подставляя числовые значения в (6) и (11), имеем:

а) при изобарном расширении

б) при адиабатном расширении

Ответ: а) ΔU = 121 Дж; б) ΔU = - 44,6 Дж.

16. Температура нагревателя тепловой машины 500 К. Температура холодильника 400 К. Определить к. п. д. тепловой машины, работающей по циклу Карно, и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж теплоты.

Дано: Т = 500 К, Т₀ = 400 К, Q = 1675 Дж.

Найти: η; N.

Решение. Коэффициент полезного действия машины определяется по формуле

η = (Т – Т₀)/Т (1)

или

η = А/Q. (2)

Из выражений (2) и (1) находим

А = η ∙ Q = (Т – Т₀)/Т.

Произведем вычисления:

Эта работа совершается за 1 с, следовательно, полная мощность машины 335 Вт.

Ответ: η = 0,2, N = 335 Вт.

17. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы и температуры их становятся одинаковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.

Решение. Пусть температура горячей воды Т₁, холодной Т₂, а

температура смеси Θ. Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса

или Т₁ – Θ = Θ – Т₂,

откуда

Θ = (Т₁ + Т₂)/2. (1)

Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды,

Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды,

Изменение энтропии системы равно

или с учетом соотношения (1) имеем

ΔS = c ∙ m

так как (Т₁ + Т₂)² > 0 и 4Т₁Т₂ > 0, то ΔS > 0.